建立函數模型解決實際問題知識方法精講1．一次函數的應用1、分段函數問題分段函數是在不同區間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際．2、函數的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數．3、概括整合（1）簡單的一次函數問題：①建立函數模型的方法；②分段函數思想的應用．（2）理清題意是采用分段函數解決問題的關鍵．2．二次函數的性質二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減小；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．3．二次函數圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．4．二次函數的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．5．拋物線與x軸的交點求二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．6．根據實際問題列二次函數關系式根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．7．二次函數的應用（1）利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數模型解決實際問題利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?梁溪區校級期中）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分（如圖，畫2條直線，最多能把白紙分成4部分（如圖，畫3條直線，最多能把白紙分成7部分（如圖，當在一張白紙上畫15條直線，最多能把白紙分成的部分是A．120 B．121 C．122 D．123二．填空題（共2小題）2．（2021秋?鹿城區校級期中）如圖，在中，已知，，，是線段上的一點，以為圓心，為半徑的半圓交邊于點，交的延長線于點，射線交于點，則的最大值為．3．（2021秋?蜀山區校級月考）如圖，是一個迷宮游戲盤的局部平面簡化示意圖，該矩形的長、寬分別為，，其中陰影部分為迷宮中的擋板，設擋板的寬度為，小球滾動的區域（空白區域）面積為．則關于的函數關系式為：（化簡為一般式）．三．解答題（共17小題）4．（2021秋?泗水縣期中）某商店以每件80元的價格購進一批商品，現以單價100元銷售，每月可售出300件．經市場調查發現：每件商品銷售單價每上漲1元，該商品平均每月的銷售量就減少10件，設每件商品銷售單價上漲了元．（1）若在顧客得實惠的前提下，當每件商品銷售單價上漲多少元時，該商店每月的銷售利潤為6210元？（2）寫出月銷售該商品的利潤（元與每件商品銷售單價上漲（元之間的函數關系式；當銷售單價定為多少元時，每月銷售該商品的利潤最大？最大利潤為多少？5．（2021秋?禪城區校級期中）在中，它的邊，高．（1）如圖1，正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在，上．問正方形的邊長是多少？（2）如圖2，點、分別在，上，且，點為上一點，連接、，則當時，的面積最大值．6．（2021秋?郾城區期中）下面是小麗同學根據學習函數的經驗，對函數的圖象與性質進行的探究過程．（1）函數的自變量的取值范圍是．（2）列表011.5234244.2542442表格中的值為．（3）如圖，在平面直角坐標系中，畫出了函數的部分圖象，用描點法將這個函數的圖象補充完整；（4）對于上面的函數，下列四個結論：①函數圖象關于軸對稱；②函數既有最大值，也有最小值；③當時，隨的增大而減小；④函數圖象與軸有2個公共點．所有正確結論的序號是：．（5）結合函數圖象，解決問題：關于的方程有個不相等的實數根．7．某移動通訊公司開設了兩種通訊業務：“全球通”使用者先繳50元月租費，然后每通話1分鐘，再付話費0.4元；“神州行”不繳月租費，每通話付費0.6元．若一個月內通話，兩種方式的費用分別為元和元．（1）寫出、與之間的函數關系式；（2）一個月內通話多少分鐘，兩種移動通訊費用相同；（3）某人估計一個月內通話，應選擇哪種移動通訊合算些．8．（2021秋?肅州區期末）喜迎元旦，某商店銷售一種進價為50元件的商品，售價為60元件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價每上漲1元，則每星期就會少賣出10件．（1）假設設每件商品的售價上漲元為正整數），每星期銷售該商品的利潤為元，求與之間的函數關系式．（2）每件商品的售價上漲多少元時，該商店每星期銷售這種商品可獲得最大利潤？此時，該商品的定價為多少元？獲得的最大利潤為多少？9．（2021秋?黔西南州期末）某服裝批發市場銷售一種襯衫，每件襯衫的進貨價為50元，規定每件的售價不低于進貨價．經市場調查，每月的銷售量（件與每件的售價（元滿足一次函數關系，部分數據如表：售價（元件）556065銷售量（件700600500（1）求出與之間的函數關系式；（不需要求自變量的取值范圍）（2）物價部門規定，該襯衫每件的利潤不允許高于進貨價的，設銷售這種襯衫每月的總利潤為（元，求與之間的函數關系式，當每件襯衫的售價定為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？10．我國是世界上淡水資源匱乏國家之一，北方地區的缺水現象更為嚴重，有些地方甚至連人畜飲水都得不到保障，為了節約用水，不少城市作出了對用水大戶限制用水的規定．北方某市規定：每一個用水大戶，月用水量不超過規定標準噸時，按每噸1.6元的價格交費，如果超過了標準，超標部分每噸還要加收元的附加費用．據統計，某戶7、8兩月的用水量和交費情況如下表：月份用水量（噸交費總數（元7140264895152（1）求出該市規定標準用水量的值；（2）寫出交費總數（元與用水量（噸的函數關系式．11．（2021秋?前進區期末）小明一家利用元旦三天駕車到某景點旅游．小汽車出發前油箱有油，行駛若干小時后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量與行駛時間之間的關系．如圖所示．根據圖象回答下列問題：（1）小汽車行駛后加油，中途加油；（2）求加油前油箱余油量與行駛時間的函數關系式；（3）如果小汽車在行駛過程中耗油量速度不變，加油站距景點，車速為，要到達目的地，油箱中的油是否夠用？請說明理由．12．（2021秋?任城區期末）桿秤是我國傳統的計重工具，如圖，秤鉤上所掛的不同重量的物體使得秤砣到秤紐的水平距離不同．稱重時，秤鉤所掛物重為（斤時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為（厘米）．如表中為若干次稱重時所記錄的一些數據，且是的一次函數．（斤00.751.002.253.25（厘米）1247注：秤桿上秤砣在秤紐左側時，水平距離（厘米）為正，在右側時為負．（1）根據題意，完成上表；（2）請求出與的關系式；（3）當秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為15厘米時，秤鉤所掛物重是多少斤？13．（2021秋?錦江區校級期末）元旦節期間，某天小王和小明都乘車從成都到重慶，成都、重慶兩地相距約為300千米，小王先乘車從成都出發，小明坐動車先以80千米小時速度追趕小王．如圖，線段表示小王離成都的距離（千米）與時間（小時）之間的函數關系；折線表示小明離成都的距離（千米）與（小時）之間的函數關系．請根據圖象解答下列問題：（1）小明到達重慶后，小王距重慶還剩多少千米？（2）求線段和對應的函數解析式；（3）求小明從成都出發后多長時間與小王相遇．14．（2021秋?武漢期末）個體戶小陳新進一種時令水果，成本為20元，經過市場調研發現，這種水果在未來40天內的日銷售量與時間（天的關系如表：時間（天1351036日銷售量9490867624未來40天內，前20天每天的價格（元與時間（天的函數關系式為且為整數），后20天每天的價格（元與時間（天的函數關系式為且為整數）．（1）直接寫出與時間（天之間的關系式；（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？（3）在實際銷售的前20天中，個體戶小陳決定每銷售水果就捐贈元利潤且為整數）給貧困戶，通過銷售記錄發現，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間（天的增大而增大，求前20天中個體戶小陳共捐贈給貧困戶多少錢？15．（2021?青島）科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關數據．無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽略空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同．其中無人機離地面高度（米與小鋼球運動時間（秒之間的函數關系如圖所示；小鋼球離地面高度（米與它的運動時間（秒之間的函數關系如圖中拋物線所示．（1）直接寫出與之間的函數關系式；（2）求出與之間的函數關系式；（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機的高度差最大是多少米？16．（2021?廣西模擬）新冠疫情期間，某網店銷售的消毒用紫外線燈很暢銷，該網店店主結合店鋪數據發現，日銷量（件是售價（元件）的一次函數，其售價、日銷售量、日銷售純利潤（元的四組對應值如表：售價（元件）150160170180日銷售量（件200180160140日銷售純利潤（元8000880092009200另外，該網店每日的固定成本折算下來為2000元．注：日銷售純利潤日銷售量（售價進價）每日固定成本（1）①求關于的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；②該商品進價是元件，當售價是元件時，日銷售純利潤最大，最大純利潤是元．由于疫情期間，每件紫外線燈的進價提高了元，且每日固定成本增加了100元，但該店主為響應政府號召，落實防疫用品限價規定，按售價不高于170元件銷售，若此時的日銷售純利潤最高為7500元，求的值．17．（2021秋?朝陽區期末）如圖，某矩形花園一邊靠墻，墻長，另外三邊用長為的籬笆圍成，其中一邊開有一扇寬為的門（不包括籬笆）．設矩形花園垂直于墻的一邊長為，面積為．（1）的長為（用含的代數式表示）．（2）求與之間的函數關系式，并寫出的取值范圍．（3）求花園面積的最大值．18．小明大學畢業后積極響應政府號召回鄉創業，準備經營水果生意，他在批發市場了解到某種水果的批發單價與批發量有如下關系：批發量批發單價（元65（1）寫出批發該種水果的資金金額（元與批發量