冬奧專題10隨機變量及其分布一、單選題1．（2021·湖南·雅禮中學高三階段練習）“冰墩墩”是2022年北京冬奧會吉祥物，在冬奧特許商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包裝上標注隱藏款抽中的概率為，出廠時每箱裝有6個盲盒．小明買了一箱該款盲盒，他抽中k(0≤k≤6，k∈N)個隱藏款的概率最大，則k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由題意可得小明抽中個隱藏款的概率為，其中，要使得最大，只需要最大，則，即，則，又因為，則，故選：B.2．（2021·江蘇·鎮江崇實女子中學高二期中）為準備2022年北京—張家口冬奧會，某冰上項目組織計劃招收一批9—14歲的青少年參加集訓，以選拔運動員，共有10000名運動員報名參加測試，其測試成績X（滿分100分）服從正態分布，成績為90分及以上者可以進入集訓隊，已知80分及以上的人數為228人，請你通過以上信息，推斷進入集訓隊的人數為（）附：，，A．13 B．18 C．26 D．30【答案】A【解析】正態分布，可知80分及以上的人數為228人，則，由正態分布曲線的對稱性可得：，故，∴，則分及以上的人數為人.故選：A.3．（2021·全國·高三專題練習（理））為準備年北京張家口冬奧會，某冰上項目組織計劃招收一批歲的青少年參加集訓，以選拔運動員，共有名運動員報名參加測試，其測試成績(滿分分)服從正態分布，成績為分及以上者可以進入集訓隊.已知分及以上的人數為人，請你通過以上信息，推斷進入集訓隊的人數為（）附：，，.A． B． C． D．【答案】C【解析】正態分布，分及以上的人數為人，則，由正態分布曲線的對稱性可得：，故，∴，則分及以上的人數為人.故選C.二、多選題4．（2022·全國·高二課時練習）為了增強學生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學開展了冬奧會項目科普活動.為了了解學生對冰壺這個項目的了解情況，在北京市中小學中隨機抽取了10所學校，10所學校中了解這個項目的人數如圖所示：若從這10所學校中隨機選取2所學校進行這個項目的科普活動，記為被選中的學校中了解冰壺的人數在30以上的學校個數，則（）A．的取值范圍為 B．C． D．【答案】BC【解析】的取值范圍為，了解冰壺的人數在30以上的學校有4所.，，，，所以.故選：BC.三、解答題5．（福建省漳州市2022屆高三畢業班第一次教學質量檢測數學試題）北京冬奧會某個項目招募志愿者需進行有關專業?禮儀及服務等方面知識的測試，測試合格者錄用為志愿者.現有備選題10道，規定每次測試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為合格，已知每位參加筆試的人員測試能否合格是相互獨立的.若甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題.求：(1)甲?乙兩人至多一人測試合格的概率；(2)甲答對的試題數X的分布列和數學期望.【解析】(1)根據題意，甲測試合格的概率為；乙測試合格的概率為；故甲?乙兩人都測試合格的概率為，則甲?乙兩人至多一人測試合格的概率為.(2)由題可知，甲答對的試題數X可以取，又，，，，故的分布列如下：則.6．（2021·遼寧·高二階段練習）2022年北京冬奧會的志愿者中，來自甲、乙、丙三所高校的人數分別為：甲高校學生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學生志愿者6名，教職工志愿者3名；丙高校學生志愿者5名，教職工志愿者4名.(1)從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學生又有教職工的概率；(2)先從三所高校中任選一所，再從這所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職工志愿者的概率.【解析】(1)設事件A為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是學生，則；設事件B為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是教職工，則；設事件C為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者中既有學生又有教職工，則.(2)設事件D為這名志愿者是教職工志愿者，事件為選甲高校，事件為選乙高校，事件為選丙高校.，，，.所以這名志愿者是教職工志愿者的概率為：7．（2022·重慶市天星橋中學一模）第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京舉行，冬季兩項是冬奧會的正式項目之一，冬季兩項是把越野滑雪和射擊兩種特點不同的競賽項目結合在一起進行的運動，要求運動員既要有由動轉靜的能力，又要有由靜轉動的能力.20km男子個人賽是冬季兩項中最古老的奧運項目，分成5個階段：第1圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直達終點．比賽時，運動員單個出發，隨身攜帶槍支和20發子彈，每輪射擊發射5發子彈，每脫靶一次加罰1分鐘．成績的計算是越野滑雪的全程時間加被罰的時間，比賽結束所耗總時間少者獲勝．已知甲、乙兩名參賽選手在射擊時每發子彈命中目標的概率均為0.8．(1)試求甲選手在一輪射擊中，被罰時間X的分布列及期望；(2)若甲、乙兩名選手在滑道上滑行所耗時間相同，在前三輪射擊中甲選手比乙選手多罰了3分鐘，試求在四輪射擊結束后，甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少的概率（保留小數點后4位）．（參考數據：，．）【解析】(1)因為一輪射擊中，共發射5發子彈，脫靶一次罰時1分鐘，所以一輪射擊中，被罰時間X的值可能為0，1，2，3，4，5．，，，，，，所以X的分布列為X012345P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032依題意，被罰時間X滿足二項分布，所以；(2)依題意，甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少，在第四輪射擊中，共有兩種可能，第一種情況，甲5發子彈都擊中，乙擊中0發或1發；第二種情況，甲擊中4發子彈，乙擊中0發，所以甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少的概率為．8．（2022·湖北·高三期末）由文化和旅游部會同國家體育總局共同編制的《滑雪旅游度假地等級劃分》（以下簡稱《標準》）日前發布實施．《標準》的發布得到旅游業界的廣泛關注，將有力推動我國冰雪旅游高質量發展，助力北京2022年冬奧會舉辦．為推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．促銷期間滑雪場的收費標準是：滑雪時間x小時收費標準免費80元/人120元/人不足1小時的部分按1小時計算．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，，兩人滑雪時間都不會超過3小時．(1)求甲、乙兩人所付的滑雪費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量X，求N的分布列和期望（結果用分數表示）．【解析】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為0、80、120元，兩人都付0元的概率為；兩人都付80元的概率為；兩人都付120元的概率為．則兩人所付費用相同的概率為；（2）設甲、乙所付費用之和為X，X可能取值為0、80、120、160、200，240則所以，隨機變量X的分布列為：X080120160200240P元．9．（2022·山西懷仁·高三期末（理））2022年第24屆冬季奧林匹克運動會，簡稱“北京張家口冬奧會”，將在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和張家口市聯合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京將承辦所有冰上項目，延慶和張家口將承辦所有的雪上項目.下表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：2022年北京冬奧會賽程表（第七版，發布自2020年11月）2022年2月北京賽區延慶賽區張家口賽區開閉幕式冰壺冰球速度滑冰短道速滑花樣滑冰高山滑雪有舵雪橇鋼架雪車無舵雪橇跳臺滑雪北歐兩項越野滑雪單板滑雪冬季兩項自由式滑雪當日決賽數5日**11*11*1166日**1*1111117說明：“*”代表當日有不是決賽的比賽；數字代表當日有相應數量的決賽.(1)（i）若在這兩天每天隨機觀看一個比賽項目，求恰好看到冰球和跳臺滑雪的概率；（ii）若在這兩天每天隨機觀看一場決賽，求兩場決賽不在同一賽區的概率；(2)若在2月6日（星期日）的所有決賽中觀看三場，記為賽區的個數，求的分布列及期望.【解析】(1)記“在這兩天每天隨機觀看一個項目，恰好看到冰球和跳臺滑雪”為事件．由表可知，在這兩天每天隨機觀看一個項目，共有種不同方法，其中恰好看到冰球和跳臺滑雪，共有2種不同方法．所以，恰好看到冰球和跳臺滑雪的概率（A）．記“在這兩天每天隨機觀看一場決賽，兩場決賽恰好在同一賽區”為事件．由表可知，在這兩天每天隨機觀看一場決賽共有種不同方法，其中兩場決賽恰好在北京賽區共有2種不同方法，在張家口賽區共有．所以（B）．所以兩場決賽不在同一賽區得概率為(2)隨機變量的所有可能取值為1，2，3．根據題意，，，．隨機變量的分布列是：123數學期望．10．（2021·廣東·廣州市真光中學高三階段練習）為了增強學生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動為了了解學生在越野滑輪和早地冰壺兩項中的參與情況，在北京市中小學學校中隨機抽取了10所學校，10所學校的參與人數如下：(1)現從這10所學校中隨機選取2所學校進行調查求選出的2所學校參與越野滑輪人數都超過40人的概率；(2)現有一名早地冰壺教練在這10所學校中隨機選取2所學校進行指導，記X為教練選中參加旱地冰壺人數在30人以上的學校個數，求X的分布列和數學期望；(3)某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降?轉彎?八字登坡滑行這3個動作進行技術指導.規定：這3個動作中至少有2個動作達到“優”，總考核記為“優”在指導后，該校甲同學3個動作中每個動作達到“優”的概率為0.4.求在指導后的考核中，甲同學總考核成績為“優”的概率.【解析】(1)解：記“選出的兩所學校參與越野滑輪人數都超過40人”為事件，現從這10所學校中隨機選取2所學校進行調查，可得基本事件總數為種，參與越野滑輪人數超過40人的學校共4所，隨機選擇2所學校共種，所以；(2)解：的所有可能取值為0，1，2，參加旱地冰壺人數在30人以上的學校共4所，，，．的分布列為：012；(3)甲同學總考核成績為“優”的概率為.11．（2021·廣東·高三階段練習）北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結束后進行了一次考核.為了解本次培訓活動的效果，從中隨機抽取80名志愿者的考核成績，根據這80名志愿者的考核成績得到的統計圖表如下所示.女志愿者考核成績頻率分布表考核成績頻數頻率20.050130.32518ma0.100b0.075若參加這次考核的志愿者考核成績在內，則考核等級為優秀.(1)分別求出m，a，b的值，以及這次培訓考核等級為優秀的男志愿者人數；(2)若從樣本中考核等級為優秀的志愿者中隨機抽取3人進行學習心得分享，記抽到男志愿者的人數為，求的分布列及數學期望.【解析】(1)由女志愿者考核成績的頻率分布表可知被抽取的女志愿者的人數為．因為，所以所以，因為被抽取的志愿者人數是80，所以被抽取的男志愿者人數是．由男志愿者考核成績頻率分布直方圖可知男志愿者這次培訓考核等級為優秀的頻率為，則這次培訓考核等級為優秀的男志愿者人數為；(2)由（1）知，考核評定為優秀的女志愿者為7人，男志愿者為5人，由題意可知X的可能取值為0，1，2，3．，，，X的分布列為X0123P故12．（2022·廣東·執信中學高三階段練習）2021年5月12日，2022北京冬奧會和冬殘奧會吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展覽中心．為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場舉辦了一場贏取吉祥物掛件的“雙人對戰”游戲，游戲規則如下：參與對戰的雙方每次從裝有3個白球和2個黑球（這5個球的大小、質量均相同，僅顏色不同）的盒子中輪流不放回地摸出1球，摸到最后1個黑球或能判斷出哪一方獲得最后1個黑球時游戲結束，得到最后1個黑球的一方獲勝．設游戲結束時對戰雙方摸球的總次數為X．(1)求隨機變量X的概率分布；(2)求先摸球的一方獲勝的概率，并判斷這場游戲是否公平．【解析】（1）由題可得，X的所有可能取值為2，3，4，且，，，X的分布列為X234P（2）先摸球的一方獲勝，包括以下幾種情況：雙方共摸3次球，出現白黑黑、黑白黑、白白白這三種情況，即，雙方共摸4次球，出現的恰好是三白一黑且前三次必定出現一次黑球的情形，概率為，所以先摸球的一方獲勝的概率為．因為，所以這場游戲是不公平的．13．（2021·河南·輝縣市第一高級中學高二階段練習（理））在第24屆冬奧會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了冬奧會志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現隨機抽取了80名候選者的面試成績分五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個組的頻率成等差數列，第一組和第五組的頻率相同.（1）求，的值，并估計這80名候選者面試成績平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）和中位數（中位數精確到0.1）；（2）冰球項目的場地服務需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通過該項志愿服務的選拔，需要通過抽簽的方式決定最終的人選，現將5張寫有“中簽”和5張寫有“未中簽”字樣的字條隨機分配給每一位候選人，記男生中簽的人數為，求的分布列及數學期望.【解析】（1）由題意可知：，解得，，所以平均值等于中位數等于（2）可能取值為，，，所以的分布列為：所以數學期望.14．（2022·全國·高三專題練習）水立方、國家體育館、五棵松體育館、首都體育館、國家速滑館是2022冬奧會的比賽場館.現有8名大學生報名參加冬奧會志愿者比賽場館服務培訓，其中1人在水立方培訓，3人在國家體育館培訓，4人在五棵松體育館培訓.（1）若從中一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館培訓，求所抽調的2人來自不同場館的概率；（2）若從中一次抽調3名大學生志愿者到首都體育館培訓，要求這3人中來自水立方的人數和來自國家體育館的人數都不超過來自五棵松體育館的人數.設從五棵松抽出的人數為，求隨機變量的概率分布列及數學期望.【解析】（1）、設“從中一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館，所抽調2人來自不同場館”，在8名大學生一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館培訓，所有基本事件種情況.若2人都來自國家體育館有種情況，若2人都來自五棵松體育館有種情況，所以抽調的2人來自不同場館的概率.（2）由題意的所有可能取值為.及來自五棵松體育館的人數至少是1人，則滿足題設條件的情況共有：種.當時，只有一種情況水立方、國家體育館、五棵松體育館各抽1人，共種，此；當時，水立方1人、五棵松體育館2人或國家體育館各1人，五棵松體育館2人，共=24種，,當時，3人都來自于五棵松體育館，共種.的分布列如下：.15．（2021·黑龍江·哈九中高三階段練習（理））冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆.第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行，為了弘揚奧林匹克精神，增強學生的冬奧會知識，某市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.為了了解學生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與情況，在全市中小學學校中隨機抽取了10所學校，10所學校的參與人數如下：（1）現從這10所學校中隨機選取2所學校進行調查，求選出的2所學校參與旱地冰壺人數在30人以下的概率.（2）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉彎、八字登坡滑行這3個動作進行技術指導.規定：這3個動作中至少有2個動作達到“優”，總考核記為“優”.在指導前，該校甲同學3個動作中每個動作達到“優”的概率為0.1.在指導后的考核中，甲同學總考核成績為“優”.能否認為甲同學在指導后總考核達到“優”的概率發生了變化?請說明理由.【解析】（1）記“選出的兩所學校參與旱地冰壺人數在30人以下”為事件，參與旱地冰壺人數在30人以下的學校共6所，隨機選擇2所學校共種，所以.因此選出的2所學校參與旱地冰壺人數在30人以下的概率為.（2）答案不唯一.答案示例1：可以認為甲同學在指導后總考核為“優”的概率發生了變化.理由如下：指導前，甲同學總考核為“優”的概率為.…指導前，甲同學總考核為“優”的概率非常小，一旦發生，就有理由認為指導后總考核達到“優”的概率發生了變化.答案示例2：無法確定.理由如下：指導前，甲同學總考核為“優”的概率為.…雖然概率非常小，但是也可能發生，所以，無法確定總考核達到“優”的概率發生了變化.16．（2020·北京延慶·高二期中）為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核．記表示學生的考核成績，并規定為考核合格．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如圖莖葉圖：（Ⅰ）請根據圖中數據，寫出該考核成績的中位數、眾數，若從參加培訓的學生中隨機選取1人，估計這名學生考核為合格的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取3人，設表示這3人中成績滿足的人數，求的分布列和數學期望．【解析】（Ⅰ）由莖葉圖得：該考核成績的中位數為：，眾數為77，30名學生中，合格學生人數為26人，從參加培訓的學生中隨機選取1人，估計這名學生考核為合格的概率為；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取3人，的學生共有7人，其中成績滿足的有3人，設表示這3人中成績滿足的人數，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123數學期望．17．（2022·全國·高三專題練習（理））單板滑雪型池比賽是冬奧會比賽中的一個項目，進入決賽階段的12名運動員按照預賽成績由低到高的出場順序輪流進行三次滑行，裁判員根據運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進行評分，最終取單次最高分作為比賽成績．現有運動員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪型池世界杯分站比賽成績如下表：分站運動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假設甲、乙二人每次比賽成績相互獨立．（1）從上表5站中隨機選取1站，求在該站運動員甲的成績高于運動員乙的成績的概率；（2）從上表5站中任意選取2站，用表示這2站中甲的成績高于乙的成績的站數，求的分布列和數學期望；（3）假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會單板滑雪型池比賽，根據以上數據信息，你推薦誰參加，并說明理由．（注：方差，其中為，，…，的平均數）【解析】(1)解：設“該站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績”為事件；運動員甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為：86.20、92.80、87.50、89.50、86.00，運動員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為：88.40、88.60、89.10、88.20、87.70，其中第2站和第4站甲的成績高于乙的成績，∴；(2)的可能取的值為0，1，2，則，，，所以的分布列為：012；(3)答案一：推薦乙．理由是：從2021賽季前5站的成績可以看出：任意1站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績的概率為，乙的成績高于該站運動員甲的成績的概率為．因為，所以乙的成績好于甲的成績的可能性大．答案二：推薦乙．用“”表示任意1站運動員甲的成績高于乙的成績，用“”表示任意1站運動員甲的成績低于乙的成績，則，，，，用“”表示運動員乙的成績高于甲的成績，用“”表示運動員乙的成績低于甲的成績，則，，，因為，所以乙的成績好于甲的成績．答案三：推薦乙．甲5站的平均成績為：，乙5站的平均成績為：，甲5站成績方差為：，乙5站成績方差為：，說明甲乙二人水平相當，表明乙的發揮比甲的更穩定，所以預測乙的成績會更好．答案四：推薦甲．甲5站的平均成績為：，乙5站的平均成績為：，甲乙5站的平均成績雖然相同，但是甲成績的極大值為92.80，乙成績的極大值為89.10，甲成績的極大值高于乙成績的極大值，所以甲的成績會比乙的更好．18．（2021·河北衡水中學模擬預測）第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京市和張家口巿聯合舉行．某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識講解員選技大賽．選手需關注活動平臺微信公眾號后，進行在線答題，滿分為200分．經統計，有40名選手在線答題總分都在內．將得分區間平均分成5組，得到了如圖所示的頻率分布折線圖．（1）請根據頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并估計這40名選手的平均分；（2）根據大賽要求，在線答題總分不低于190分的選手進入線下集訓，線下集訓結束后，進行兩輪考核．第一輪為筆試，考試科目為外語和冰雪運動知識，每科的筆試成績從高到低依次有，，，四個等級．兩科均不低于，且至少有一科為，才能進入第二輪面試，第二輪得到“通過”的選手將獲得“冬奧知識講解員”資格．已知總分高于195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；總分不超過195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；若兩科筆試成績均為，則無需參加“面試”，直接獲得“冬奧知識講解員”資格；若兩科筆試成績只有一個，則要參加面試，總分高于195分的選手面試“通過”的概率為，總分不超過195分的選手面試“通過”的概率為．若參加線下集訓的選手中有2人總分高于195分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識講解員”資格的概率．【解析】（1）根據頻率分布直方圖的中位數的計算公式，可得數據的平均分為：．頻率分布直方圖如圖所示：（2）由題意，可得總分不低于190分的選手有人，其中有2人總分高于195分，2人總分不高于195分，設高于195分的選手獲得“冬奧知識講解員”資格為事件，不超過195分的選手獲得“冬奧知識講解員”資格為事件，則，，故．19．（2021·全國·高三專題練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京舉行實踐“綠色奧運、科技奧運、人文奧運”理念，舉辦一屆“有特色、高水平”的奧運會，是中國和北京的莊嚴承諾，也是全世界的共同期待.為宣傳北京冬奧會，激發人們參與冬奧會的熱情，某市開展了關于冬奧知識的有獎問答.從參與的人中隨機抽取100人，得分情況如下：（1）得分在80分以上稱為“優秀成績”，從抽取的100人中任取2人，記“優秀成績”的人數為，求的分布列及數學期望；（2）由直方圖可以認為，問卷成績值服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.①求；②用所抽取100人樣本的成績去估計城市總體，從城市總人口中隨機抽出2000人，記表示這2000人中分數值位于區間的人數，利用①的結果求.參考數據：，，，，.【解析】（1）得分80以上的人數為，可能取值為0，1，2，，，分布列為：012.（2）取，①②，20．（2021·湖北·漢川市實驗高級中學高二期中）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量（單位：元），求的分布列與數學期望.【解析】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為，兩人都付40元的概率為，兩人都付80元的概率為，故兩人所付費用相同的概率為.（2）由題設甲、乙所付費用之和為，可能取值為0，40，80，120，160，則：，，，，.的分布列為：04080120160.21．（2021·湖南·模擬）為迎接2022年冬奧會，某市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績，并規定為考核優秀.為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓