第四章指數函數與對數函數單元綜合測試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數是指數函數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A,是冪函數，對于B，系數不為1，不是指數函數，對于C,是底數為的指數函數，對于D,底數不滿足大于0且不為1，故不是指數函數，故選：C2．方程的根所在的區間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，顯然單調遞增，又因為，，由零點存在性定理可知：的零點所在區間為，所以的根所在區間為.故選：B3．已知函數，則的（

）A．圖象關于原點對稱，且在上是增函數B．圖象關于軸對稱，且在上是增函數C．圖象關于原點對稱，且在上是減函數D．圖象關于軸對稱，且在上是減函數【答案】A【解析】定義域為，，為奇函數，圖象關于原點對稱；當時，為增函數，為減函數，為增函數.故選：A.4．若，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，故.故選：B5．函數的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，，排除A，所以，故函數是偶函數，圖象關于對稱，排除B，當時，，排除D，故選：C6．若關于的方程在內有解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意在內有解，，時，，時，，所以．故選：A．7．已知函數，若函數有四個不同的零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得：或，因函數，由解得，因此函數有四個不同的零點，當且僅當方程有三個不同的根，函數在上遞減，函數值集合為，在上遞增，函數值集合為，函數在上遞減，函數值集合為，在上遞增，函數值集合為，在同一坐標系內作出直線與函數的圖象，如圖，方程有3個不同的根，當且僅當直線與函數的圖象有3個公共點，觀察圖象知，當或，即或時，直線與函數的圖象有3個公共點，所以實數的取值范圍是.故選：A8．存在兩個常數和，設函數的定義域為，則稱函數在上有界.下列函數中在其定義域上有界的個數為（

）①②；③A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】對于①，，又因為，當且僅當，即時取等；所以.對于②，，，，所以對于③，因為當時，，所以時，，，，因為當時，，所以時，，所以.故在其定義域上有界的函數為①.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（多選）下列函數不存在零點的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】A選項中，令，解得，故和1是函數的零點；B選項中，令，則，因為，所以該方程無解，所以函數無零點；C選項中，令，解得，故1和1是函數的零點；D選項中，令，方程無解，故函數無零點．故選：BD．10．下列說法中正確的是（

）A．函數的值域為B．函數的零點所在區間為C．函數與互為反函數D．函數與函數為同一函數【答案】ABC【解析】A選項：函數，當時，取最小值為，所以函數的值域為；B選項：因為函數在上單調遞增，所以函數至多有一個零點，且，，所以其零點所在區間為，B選項正確；C選項：，即，可得，所以函數與函數互為反函數，C選項正確；D選項：函數與函數的定義域均為，，，不為同一函數，D選項錯誤；故選：ABC.11．已知實數滿足，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故選項A正確；，故選項B錯誤；，故選項C正確；,,故選項D錯誤．故選：AC．12．已知函數，，則下列結論正確的是（

）A．，恒成立，則實數a的取值范圍是B．，恒成立，則實數a的取值范圍是C．，，則實數a的取值范圍是D．，，【答案】AC【解析】對于A選項，，恒成立，即，為減函數，所以，A選項正確；對于B選項，，恒成立，即，所以，B選項不正確；對于C選項，，，即，的圖像為開口向上的拋物線，所以在對稱軸處取最小值，在離對稱軸最遠處取最大值，所以，C選項正確；對于D選項，，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域為，值域為，不滿足要求，D選項不正確；故選：AC.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的定義域為___________．【答案】【解析】要使函數有意義，則，解得或，所以函數的定義域為．故答案為：．14．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據國家有關規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上定義為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經過___________個小時才能駕駛．（結果保留整數，參考數據）【答案】5【解析】設個小時后血液中酒精含量為，則，即，當，可得，所以該駕駛員至少經過個小時才能駕駛．故答案為：5.15．寫出一個滿足函數在上單調遞增的值_____________.【答案】（答案不唯一）【解析】因為，當時在定義域上單調遞增，當時，畫出，的圖象如下所示：要使函數在上單調遞增，由圖可知當時均可滿足函數在上單調遞增；故答案為：（答案不唯一）16．已知函數，若，，則________．【答案】【解析】因為，所以，所以，所以函數的定義域為，又因為，，，所以，所以，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）化簡或計算下列各式：(1)；(2)【解析】（1）.（2）.18．（12分）冰雪裝備器材產業是冰雪產業的重要組成部分，加快發展冰雪裝備器材產業，對籌辦2022年冬奧會、殘奧會，帶動我國近3億人參與冰雪運動有重要支撐作用.東北某家生產企業，生產某種冰雪產品的年固定成本為100萬元，每生產千件需投入，當年產量不足80千件時（萬元），當年產量不小于80千件時，（萬元）.每件產品售價為500元.經市場分析，該企業產品可以全部售完；(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；(2)當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少?【解析】(1)每件產品售價500元，則千件銷售額為萬元，由題可知當時：，當時：；(2)當時，，此時當時（萬元），當時，，當且僅當“”即“”時“＝”成立，所以當年產量為30千件時獲利最大，最大利潤350萬元.19．（12分）已知函數是定義在上的偶函數，且當時，，函數在軸左側的圖象如圖所示．(1)求函數的解析式；(2)若關于的方程有個不相等的實數根，求實數的取值范圍．【解析】（1）由圖象知：，即，解得：，當時，；當時，，，為上的偶函數，當時，；綜上所述：；（2）為偶函數，圖象關于軸對稱，可得圖象如下圖所示，有個不相等的實數根，等價于與有個不同的交點，由圖象可知：，即實數的取值范圍為.20．（12分）已知函數且在上最大值和最小值的和為12，令．(1)求實數的值.(2)并探究是否為定值，若是定值，寫出證明過程；若不是定值，請說明理由；(3)解不等式：．【解析】（1）因為函數且在上為單調函數，所以，解得或．因為且，所以；（2）由（1）得，，所以；（3）由（2）得，，且，所以，所以，所以，整理得，，解得，所以原不等式的解集為．21．（12分）已知函數的圖象過點．(1)求函數和的解析式；(2)設，若對于任意，都有，求m的取值范圍．【解析】（1）因為函數的圖象過點，所以，解得，所以．（2）因為且，所以且，因為在上單調遞減，在上單調遞增所以的最大值是或．因為．所以，若，只需，即，則，設，任取且，則，因為，所以，，即，所以，所以，即，所以在區間上單調遞增，且，所以，即，所以，所以m的取值范圍是．22．（12分）已知函數(1)設函數是定義在上的奇函數，當時，，求函數的解析式；(2)已知集合①求集合；②