3.6利用導數研究不等式恒(能)成立問題【題型解讀】【知識儲備】1.恒成立與能成立問題的解決策略大致分四類：=1\*GB3①構造函數，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數最值；=4\*GB3④換元分離，簡化運算；在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘數’”.依托端點效應，縮小范圍，借助數形結合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數、不等式、方程、導數、數列等知識，滲透著函數與方程、等價轉換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創造性等數學素養起到了積極的作用，成為高考的一個熱點．【題型精講】【題型一端點效應處理不等式求參】例1（2022·山東濟南歷城二中高三月考）已知函數f(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－ax－1，g(x)＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1．(1)當a＝1時，求證：當x≥0時，f(x)≥0；(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．【題型精練】1．（2022·天津·崇化中學期末）設函數f(x)＝(1－x2)ex．(1)討論f(x)的單調性；(2)當x≥0時，f(x)≤ax＋1，求實數a的取值范圍．2.（2022·山東濟南高三期末）設函數f(x)＝(1＋x－x2)ex(e＝2.71828…是自然對數的底數)．(1)討論f(x)的單調性；(2)當x≥0時，f(x)≤ax＋1＋2x2恒成立，求實數a的取值范圍．【題型二分離參數法處理不等式求參】方法技巧分離參數法解決恒(能)成立問題的策略(1)分離變量．構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.例2（2022·山東青島高三期末）已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．(1)求函數f(x)的單調區間；(2)若對任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實數a的取值范圍．【題型精練】1．（2022·天津市南開中學月考）已知函數f(x)＝ex＋ax2－x．(1)當a＝1時，討論f(x)的單調性；(2)當x≥0時，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍．2.（2022·安徽省江淮名校期末）已知函數f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e為自然對數的底數．(1)求函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程；(2)若g(x)≥f(x)對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范圍．【題型三最值法處理不等式求參】方法技巧最值法處理不等式求參根據不等式恒成立構造函數轉化成求函數的最值問題，一般需討論參數范圍，借助函數單調性求解．例3（2022·河南高三期末）已知函數f(x)＝ex(ex－a)－a2x．(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．【題型精練】1．（2022·廣東·高三期末）已知a∈R，設函數f(x)＝aln(x＋a)＋lnx．(1)討論函數f(x)的單調性；(2)若f(x)≤＋lneq\f(x,a)－1恒成立，求實數a的取值范圍．【題型四同構法處理不等式求參】例4（2022·黑龍江工農·鶴崗一中高三期末）已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)當a＝e時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．【題型精練】1.（2022·全國高三課時練習）已知函數f(x)＝eax－x．(1)若曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處切線的斜率為1，求f(x)的單調區間；(2)若不等式f(x)≥eaxlnx－ax2對x∈(0，e]恒成立，求a的取值范圍．【題型五雙變量不等式求參】例5（2022·遼寧省實驗中學分校高三期末）已知函數f(x)＝eq\f(a＋1,x)＋alnx，其中參數a<0．(1)求函數f(x)的單調區間；(2)設函數g(x)＝2x2f′(x)－xf(x)－3a(a<0)，存在實數x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g(x1)<g(x2)成立，求a的取值范圍．【題型精練】1.（2022·江蘇·昆山柏廬高級中學期末）設f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3．(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；(2)如果對于任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．2.（2022·山東·歷城二中期末）設函數f(x)＝eq\f(e(x2－ax＋a),ex)(a∈R)．(1)若曲