編者小注：本專(zhuān)輯專(zhuān)為2022年上海高二數(shù)學(xué)選修一研發(fā)，供中等生及以上學(xué)生使用。題源主要來(lái)自于上海四校、八大、13名校、統(tǒng)考之試題，專(zhuān)練等。思路設(shè)計(jì)為選擇題、填空題、解答題各10道，每道題都包含詳細(xì)解析，難度從低到高，有難度層級(jí)，適合現(xiàn)在雙減形式下的備課要求。專(zhuān)題11曲線與方程重難點(diǎn)綜合專(zhuān)練（原卷版）一、單選題1．已知曲線：與曲線：恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．下面各對(duì)方程中，兩個(gè)方程表示同一曲線的是（）A．與 B．與C．與 D．與3．（2021·上海·高二期中）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn) B．線段的最大值為C．點(diǎn)的軌跡是正方形 D．點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為4．關(guān)于曲線，給出下列四個(gè)命題：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；③點(diǎn)（）可能在曲線上；④曲線圍成的面積小于；上述命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·上海·閔行中學(xué)高二期末）若曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱(chēng)這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A． B．C． D．6．雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中,把到定點(diǎn),距離之積等于（）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線C.已知點(diǎn)是雙紐線C上一點(diǎn),下列說(shuō)法中正確的有（）①雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)；②；③雙紐線C上滿(mǎn)足的點(diǎn)P有兩個(gè)；④的最大值為.A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③7．方程為的曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；④，；以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．48．已知曲線（為常數(shù)），給出下列結(jié)論：①曲線為中心對(duì)稱(chēng)圖形；②曲線為軸對(duì)稱(chēng)圖形；③當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在曲線上，則或；其中，正確結(jié)論是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③9．（2021·上海中學(xué)高二期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．10．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）祖暅原理也稱(chēng)祖氏原理，是我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)求積的著名命題：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.由曲線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，滿(mǎn)足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則滿(mǎn)足以下哪個(gè)關(guān)系式（）A． B． C． D．二、填空題11．（2021·上海市新場(chǎng)中學(xué)高二期中）已知定點(diǎn)和曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程是________12．曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③若點(diǎn)在曲線上，則；④若點(diǎn)在曲線上，則的面積.其中，所有正確的序號(hào)是______.13．曲線C為：到兩定點(diǎn)、距離乘積為常數(shù)16的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.（1）曲線C一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（2）曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，但不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（3）的面積不大于8（4）曲線C在一個(gè)面積為60的矩形范圍內(nèi).14．是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，作軸，為垂足，則中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)________．15．（2021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期末）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．16．直線上有動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，等腰直角，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____．17．（2021·上海浦東新·高二期中）關(guān)于曲線，則以下結(jié)論正確的序號(hào)是____________．①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②曲線中；③曲線不是封閉圖形，且它與圓無(wú)公共點(diǎn)；④曲線與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形．18．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二階段測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)圍成的平面區(qū)域的面積為_(kāi)__________.19．（2021·上海徐匯·高二期末）已知函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程是______.20．在三棱錐中，，，，點(diǎn)在側(cè)面上，且到直線的距離為，則的取值范圍是__________．三、解答題21．（2021·上海市延安中學(xué)高二期末）已知拋物線，F(xiàn)是它的焦點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).（1）若P的縱坐標(biāo)為，求；（2）求線段的中點(diǎn)Q的軌跡方程.22．已知定點(diǎn)，和曲線上的動(dòng)點(diǎn)C.（1）求線段AB的垂直平分線的方程：（2）若點(diǎn)G是的重心，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程.23．（2021·上海市大同中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知曲線，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）如圖，設(shè)點(diǎn)為曲線與軸的正半軸交點(diǎn)，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，若，求的最大值．24．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期末）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).（1）若，求此時(shí)直線的方程；（2）若與直線垂直的直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線相交于點(diǎn)、，設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，如圖，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線上的點(diǎn)、在其準(zhǔn)線上的射影分別為、，若△的面積是△的面積的兩倍，如圖，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.25．（2021·上海市松江二中高二期末）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，動(dòng)直線交拋物線于坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（3）以下給出曲線C的四個(gè)方面的性質(zhì)，請(qǐng)分別進(jìn)行研究，并寫(xiě)出簡(jiǎn)要的理由：①對(duì)稱(chēng)性；②范圍：③漸近線；④時(shí)，寫(xiě)出由確定的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.26．（2021·上海市莘莊中學(xué)高二期末）已知兩點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，且滿(mǎn)足，其中．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程，并討論C的軌跡形狀；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線交曲線C于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求實(shí)數(shù)的值.27．（2021·上海中學(xué)高二期中）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，，，將沿DM翻折，在翻折過(guò)程中A點(diǎn)記為P點(diǎn)．（1）從翻折至的過(guò)程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度；（2）翻折過(guò)程中，二面角P?BC?D的平面角為θ，求的最大值.28．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：（），且在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的軌跡；（2）若過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，求的面積.29．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．點(diǎn)的軌跡是曲線．（1）求曲線的方程；（2）若，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)