學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精互動課堂重難突破本課時重點是對直線參數方程的理解,關鍵是理解參數t的幾何意義，難點是應用直線的參數方程解決相關問題.一、直線參數方程的意義相對于直線的一般方程，參數方程更能反映一條直線上點的特征.判斷與其他曲線的關系時，直接代入橫坐標和縱坐標對應的參數表達式,方便運算。又由于直線參數方程的標準方程中的參數有一定的幾何意義，對于那些需要直接求線段長度或者求有向線段的數量值的問題會更加方便快捷.用坐標的觀點理解直線參數方程中的參數，在解決有關直線問題時，可以自然地將新舊知識聯系起來,特別是在求直線被圓錐曲線所截得的弦長或弦中點問題時，可以提供更廣闊的思考空間；具體問題中根據實際情況可以使用參數方程的標準式和非標準式,使解題的方法靈活多樣，有利于一題多解和創新思維的培養.二、直線參數方程的形式對于同一條直線的普通方程隨著參數選取的不同，會得到不同的參數方程。例如，對于直線普通方程y=2x+1，如果令x=t即可得到參數方程（t為參數)；如果令x=2t則得到參數方程(t為參數)。這樣隨便給出的參數方程中的參數t不具有一定的幾何意義，但是在實際應用中也能簡化某些運算.而過定點M0(x0，y0）、傾斜角為α的直線l的參數方程都可以寫成為（t為參數），我們把這一形式稱為直線參數方程的標準形式,其中t表示直線l上以定點M0為起點,任意一點M(x，y）為終點的有向線段的數量且cos2α+sin2α=1是標準參數方程的基本特征。三、直線參數方程中參數的幾何意義1.對于一般的參數方程，其中的參數可能不具有一定的幾何意義，但是對于直線參數方程中的參數有一定的幾何意義.過定點M0(x0，y0）、傾斜角為α的直線l的參數方程都可以寫成為x=x0+tcosα，y=y0+tsinα（t為參數）,其中t表示直線l上以定點M0為起點，任意一點M(x,y)為終點的有向線段M0M的數量,也就是:(1)直線l上的動點M到定點M0的距離等于參數t的絕對值,即｜M0M|=｜t｜。（2)若t>0,則M0M的方向向上;若t〈0，則M0M的方向向下；若t=0，則點M與點M2.根據直線的參數方程判斷直線的傾斜角。根據參數方程判斷傾斜角，首先要看參數方程的形式是不是標準形式，如果是標準形式,根據方程就可以判斷出傾斜角，例如x=2+tcos20°，y=-4+tsin20°（t為參數),可以直接判斷出直線的傾斜角是20°.但是如果不是標準形式，就不能直接判斷出傾斜角了.例如判斷直線x=tsin20°+3，y=—tcos20°（t為參數）的傾斜角，有兩種方法:第一種方法:化為普通方程,求傾斜角。把參數方程改寫成消去t，有y=-（x-3)cot20°，即y=(x-3)tan110°，所以直線的傾斜角為110°。第二種方法:化參數方程為直線的標準參數方程令-t=t＇,則所以直線的傾斜角為110°。3.直線的一般參數方程轉化為標準參數方程的方法。給出直線的非標準式參數方程(t為參數)，根據標準式的特點，參數t的系數應分別是傾斜角的正弦和余弦值,根據三角函數的性質,知其平方和為1,所以可以化為2(t為參數)，再近一步令,根據直線傾斜角的范圍讓α在［0,π）范圍內取值，并且把看成相應的參數t＇，即得標準式的參數方程(t＇為參數).由轉化的過程可以看出,在一般參數方程(t為參數)中，具有標準式參數方程中參數的幾何意義。所以有些較簡單的問題可以不必轉化為標準式而直接使用,求出相應的t,再乘以即可繼續使用參數的幾何意義。四、根據直線的參數方程，判斷直線間的平行和垂直等問題對于斜率存在的直線方程,主要從斜率的關系進行考慮,根據斜率進行判斷。而直線的參數方程可以和普通方程之間進行互化，所以對于直線的參數方程也可以找到直線平行和垂直的關系.下面分別對直線參數方程的一般形式和標準形式進行說明.首先給出直線l1的參數方程（t為參數)和直線l2的參數方程（t為參數）。先考慮直線斜率都存在（b1和b2都不為0）的情況：直線l1和l2的斜率分別為和.如果斜率相等即＝a1b2-a2b1=0且兩條直線不重合時,直線l1和l2平行。如果斜率都不存在即b1=b2=0時，如果兩條直線不重合，則一定有直線l1和l2平行，代入上式仍然成立。所以可得一般性結論:如果不重合的兩條直線l1和l2平行，那么a1b2—a2b1=0，反之也成立，即不重合的直線l1∥l2a1b2—a2b1=0。由兩條直線垂直的條件知斜率存在的直線斜率乘積應為—1,即=-1a1a2+b1b2=0.并且易證，對于斜率不存在的情況上式也正確。所以若直線l1和l2垂直，則a1a2+b1b2=0，反之也成立，即l1⊥l2a1a2+b1b2=0.對于標準方程，由于容易看出直線的傾斜角，所以可以直接根據傾斜角來判斷直線的平行和垂直.五、根據標準參數t的幾何意義解題時，有如下常用結論1。直線與圓錐曲線相交,交點分別對應t1、t2，則弦長l=|t1—t2|.2.弦的中點M對應的參數tm=3。若直線的定點P0（x0，y0）恰是弦的中點，則t1+t2=0,反之亦然。活學巧用【例1】寫出直線2x-y+1=0的參數方程,并求直線上的點M（1，3)到點A（3,7)、B（8,6)的距離。解析：要寫出參數方程，首先根據直線的普通方程可以看出直線的斜率為2，設直線的傾斜角為α,則tanα=2，則sinα=,cosα=，根據后邊要求的點M恰好在直線上，為了后邊的運算方便,選擇M作為直線上的定點。要求點M到A、B的距離可以根據參數方程的特點及幾何意義或者兩點之間的距離公式都可以.解:根據直線的普通方程可知斜率是2，設直線的傾斜角為α，則tanα=2，sinα=，cosα=，所以直線的參數方程是（t為參數)。經驗證易知點A(3，7)恰好在直線上,所以有1+t=3，即t=5，即點M到點A的距離是5.而點B（8,6)不在直線上，所以不能使用參數t的幾何意義,可以根據兩點之間的距離公式求出距離為點評:本題主要考查直線參數方程的轉化和參數的幾何意義.常見錯誤：①轉化參數方程時不注意后邊的題目內容，隨便取一個定點；②把點B（8，6)當成直線上的點很容易由1+t=8,得t=.【例2】設直線的參數方程為（t為參數),點P在直線上,且與點M0（—4，0)的距離為2，如果該直線的參數方程改寫成（t為參數)，則在這個方程中點P對應的t值為（）A。±1B.0C.±D。±解析：由｜PM0|=，知PM0=或PM0=—,即t=±代入第一個參數方程,得點P的坐標分別為（-3，1）或(—5，—1)；再把點P的坐標代入第二個參數方程可得t=1或t=—1。答案：A點評:直線參數方程的標準形式中的參數具有相應的幾何意義，合理使用其幾何意義，可以簡化運算，使解題過程更加簡潔.這也正是直線參數方程標準式的優越性所在.【例3】求直線l1：(t為參數）與直線l2：x+y-2=0的交點到定點（4,3)的距離。解：∵l1的參數方程不是標準方程,則利用換參數的方法把l1的參數方程改寫成（t＇為參數）.把l1的參數方程的標準形式代入x+y-2=0中，得4+t＇+3+t＇—2=0.解得t＇=—，∴｜t＇｜=.由|t＇｜的幾何意義為交點到點(4，3）的距離,∴所求的距離為|t＇｜=.【例4】求經過點（1，1），傾斜角為135°的直線截橢圓+y2=1所得的弦長。解析：首先可以根據條件寫出直線的參數方程(t為參數)，代入橢圓的方程可得一個關于t的二次方程,根據參數的幾何意義可知所求弦長就是方程兩根之差的絕對值。解：由條件可知直線的參數方程是（t為參數)，代入橢圓方程可得，即5t2+62t+2=0.設方程的兩實根分別為t1、t2,則由二次方程的根與系數的關系可得則直線截橢圓的弦長是|t1-t2|=點評:本題主要使用參數方程中兩點的距離公式，易錯的地方是:轉化參數方程時，計算135°的正弦和余弦值時出錯，再者就是距離公式不會靈活使用，而一味地要使用參數的幾何意義。【例5】已知直線l過點P（3，2)，且與x軸和y軸的正半軸分別交于A、B兩點,求｜PA|·|PB|的值為最小時的直線l的方程。解析：本題可以使用直線的普通方程來解，也可以使用參數方程來解，但是使用普通方程解，運算較為麻煩.如果設出直線的傾斜角，寫出直線的參數方程來解，就可以把問題轉化為三角函數的最小值問題，便于計算.解:設直線的傾斜角為α，則它的方程為(t為參數）,由A、B是坐標軸上的點知yA=0，xB=0，∴0=2+tsinα，即｜PA|=|t|=;0=3+tcosα，即｜PB|=|t｜=-故｜PA｜·|PB|=∵90°<α〈180°，∴當2α=270°，即α=135°時，｜PA｜·｜PB|有最小值.∴直線方程為（t為參數)，化為普通方程即x+y—5=0.點評：直線的參數方程和普通方程可以進行互化，特別是要求直線上某一定點到直線與曲線交點距離時通常要使用參數的幾何意義，宜用參數方程的標準形式，而對于某些比較簡單的直線問題比如求直線和坐標軸或者與某條直線交點時宜用直線的普通方程.【例6】設直線l過點P（—3,3），且傾斜角為.（1)寫出直線l的參數方程;（2)設此直線與曲線C:(θ為參數）交于A、B兩點,求|PA｜·|PB｜;（3)設A、