2024-2025學年重慶市江津區高二上學期期中數學質量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．已知圓經過點和點，且圓心在直線上，則圓的半徑為（

）A． B． C． D．4．已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別是4和6，高是，則它的側面積為（

）A．10 B． C．40 D．445．已知點是的重心，若，則（

）A． B． C． D．6．已知直線為空間中一條直線，平面，，為兩兩相互垂直的三個平面，則（

）A．若，則與和相交 B．若，則或C．若，則，且 D．若，則7．已知海面上有一監測站，其監測范圍為以為圓心，半徑為的圓形區域，在A正東方向處有一貨船，該船正以的速度向北偏西方向行駛，則貨船行駛在監測站監測范圍內的總時長為（

）A． B． C． D．8．橢圓的右頂點為A，上頂點為，，點為橢圓上一點且，則的值為（

）A． B． C． D．2二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓，圓，則（

）A．直線的方程為B．圓經過，兩點，則圓的面積的最小值為C．與圓和圓都相切的直線共有四條D．若，分別為圓，圓上兩動點，則的最大值為1010．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，則（

）A．的周長為B．存在點，使得C．若，則的面積為D．使得為等腰三角形的點共有4個11．在矩形中，，點是邊的中點，將沿翻折，直至點落在邊上.當翻折到的位置時，連結，，則（

）

A．四棱錐體積的最大值為B．存在某一翻折位置，使得C．為的中點，當時，二面角的余弦值為D．為的中點，則的長為定值三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線與圓相切，則實數的值為.13．已知橢圓的左焦點為，過原點的直線與橢圓交于，兩點，，，則橢圓的離心率為.14．已知正四面體的棱長為，在棱上，且，則此正四面體的外接球球心到平面的距離為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線的方程為.(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過（1）中的點引直線交坐標軸正半軸于，兩點，求面積的最小值.16．在銳角中，角所對的邊分別為，，，且.(1)求證：；(2)若的角平分線交于，且，求線段的長度的取值范圍.17．在平面直角坐標系中，已知圓，不與軸垂直的直線過點且與圓相交于，兩點.(1)已知，求直線的方程；(2)已知點且的面積為，求直線的方程.18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，點在棱上，且平面.(1)求證：為中點；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)若點為棱上一動點（含端點），求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.19．在平面直角坐標系中，已知橢圓與軸和軸的交點分別為，，，（在左側，在下側），直線（且）與直線交于點，過點且平行于的直線交于點（異于點），交軸于點，直線交于點（異于點），直線交軸于點.(1)當時，求出，兩點的坐標；(2)直線與直線是否相互平行？若是，請寫出證明過程；若不是，請說明理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】設傾斜角為，因為直線的方向向量是，則直線的斜率，故傾斜角的正切值為，且，所以的傾斜角為.故選：A.2．【正確答案】C【詳解】因為，所以，所以.故選：C3．【正確答案】B【詳解】因為圓心在直線，設圓心為，因為圓經過點和，可得，解得，故圓心為，則圓的半徑為.故選：B.4．【正確答案】C【詳解】正四棱臺的側面為等腰梯形，又正四棱臺的上、下底面的邊長為4，6，高為，所以側面梯形的斜高為，所以棱臺的側面積為.故選：C5．【正確答案】D【詳解】如圖，由點是的重心，可得

，結合，可得，，所以.故選：D6．【正確答案】D【詳解】對A選項，由，則與和相交或平行或在面內，所以A選項錯誤；對B選項，當時，且且，所以B選項錯誤；對C選項，當時，與，可以成任意角，所以C選項錯誤；對D選項，如圖，易得，所以D選項正確；故選：D7．【正確答案】C【詳解】依題意，如圖，易知在監測范圍內行駛的總距離為，故在監測范圍內行駛的總時長為.故選：C8．【正確答案】A【詳解】橢圓的右頂點，上頂點，設，則，由可得，解得，即，又由，則，將代入橢圓方程，得，即，解得或（舍），所以.故選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】圓，其圓心，半徑，圓，其圓心，半徑，對于A，直線的方程為，即，所以A正確；對于B，因為，當為圓的直徑時，該圓面積最小，面積的最小值為，所以B正確；對于C，因為，可得，可知圓與圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，所以C錯誤；對于D，當，，，共線時，取得最大值，所以D正確.故選：ABD.10．【正確答案】AB【詳解】對于，由題意，，，故周長為，所以A正確；對于B，當點位于上下頂點時，為直角，所以B正確.對于C，當時，如圖：設，，則.所以，所以C錯誤；對于D，若是以為頂點的等腰三角形，點位于上下頂點；若是以為頂點的等腰三角形，則，此時滿足條件的點有兩個；同理，若是以為頂點的等腰三角形，滿足條件的點有兩個；故使得為等腰三角形的點共六個，所以D錯誤.故選：AB11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，當平面平面時，四棱錐的體積最大，此時四棱錐的高為點到的距離，直角梯形的面積為，四棱錐體積的最大值為，所以A正確；對于B，若，又，則平面，即，矛盾，所以B錯誤；對于C，取中點，連接，，如圖：

由題意，，，所以為二面角的平面角，在中，，，，所以C正確；對于D，取中點，連接，，，則，，且四邊形為平行四邊形，，，所以，即，，不變，由余弦定理知定值，所以D正確.故選：ACD12．【正確答案】2【詳解】將方程整理，可得，（）則圓心為，半徑為，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，由.故2.13．【正確答案】【詳解】解：設是橢圓的右焦點，連接，，由對稱性可知：，，則四邊形為平行四邊形，則，即，且，因為，則AF2=2在中，由余弦定理可得，即，解得，所以橢圓的離心率為.

故答案為.14．【正確答案】/【詳解】在正四面體中，，，，在，中，，取中點，連接，，如圖，，，而，，

令正的中心為，連接，，，的延長線交于點，則為中點，有，，，顯然平面，正四面體的外接球球心在上，連接，則，而，在中，，解得，且，令點到平面的距離為，由得：，即，解得，因此球的球心到平面的距離有，即.故15．【正確答案】(1)證明見解析(2)4【詳解】（1）由，可得，令，所以直線過定點.（2）由（1）知，直線恒過定點，由題意可設直線的方程為，設直線與軸，軸正半軸交點為，，令，得；令，得，所以面積，當且僅當，即時，面積最小值為4.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由，根據正弦定理可得，即，所以；可得，所以，即，顯然，故，，所以.（2）在中，由正弦定理可得，可得，即，所以，因為是銳角三角形，且，所以解得，可得，所以，所以線段長度的取值范圍是.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）①直線的斜率不存在時，，不滿足題意.②直線的斜率存在時，設直線的方程為：，則圓心到直線的距離，由，可得，解得，故直線.（2）①直線的斜率不存在時，，不滿足題意.②直線的斜率存在時，設直線的方程為：，則，到直線的距離，故，由可得，化簡得，即，解得，故直線.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）連結交于點，連結，因為底面是矩形，所以為中點，因為平面，平面，平面平面，所以，又因為為中點，所以為中點.（2）取的中點，連結，，因為底面為矩形，所以，因為，為中點，所以，，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，所以，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，則由題意可得：，，，P0,0,1，，，則，，，由上可知為平面的一個法向量，設平面的法向量為n=x,y,z，令，則，，所以，所以，，所以平面與平面夾角的正弦值為.（3）由（2），，因為點在棱上（含端點）所以設，則，設與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.19．【正確答案】(1)，(2)平行，證明見解析【詳解】（1）由橢圓方程可知：，則，，，，直線，即，聯立方程，解得，即，直線，故，直線，故.由，化簡得，解得或（舍去