第六章多元函數(shù)微分學(xué)6.1

多元函數(shù)的概念及偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算6.2高階偏導(dǎo)數(shù)、全微分6.3多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、二元函數(shù)的定義先看下面的例子.圖18-34例2示意圖一般地，二元函數(shù)的定義如下.解對(duì)于一元函數(shù)，一般假定在某個(gè)區(qū)間上有定義進(jìn)行討論.對(duì)于二元函數(shù)，類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進(jìn)行討論.所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成的部分平面或全部XOY坐標(biāo)面（見(jiàn)圖18-35）。圖18-35區(qū)域示意若區(qū)域能延伸到無(wú)限遠(yuǎn)處，就稱這區(qū)域是無(wú)界的，如圖18-35(c)所示，否則，它總可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)O為中心，而半徑適當(dāng)大的園內(nèi)，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖18-30(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域曲線叫閉區(qū)域.開(kāi)區(qū)域：不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開(kāi)區(qū)域.這是一個(gè)無(wú)界開(kāi)區(qū)域。x+y=0例1求函數(shù)的定義域

解：與一元函數(shù)相類似，確定函數(shù)的兩個(gè)要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則。對(duì)于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集.這是一個(gè)閉區(qū)域。的定義域例2求函數(shù)解：例3求的定義域．解所求定義域?yàn)橐弧⑵珜?dǎo)數(shù)

多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在二元函數(shù)z=f(x,y)中,有兩個(gè)自變量x,y,但若固定其中一個(gè)自變量,比如,令y=y0,而讓x變化.則z成為一元函數(shù)z=f(x,y0),我們可用討論一元函數(shù)的方法來(lái)討論它的導(dǎo)數(shù),稱為偏導(dǎo)數(shù).一、偏導(dǎo)數(shù)的定義閱讀教材P105多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)z=

f(x,y)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義。固定，給x增量，相應(yīng)的函數(shù)z有增量，稱為z關(guān)于

x

的偏增量。如果極限

存在，就稱其為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)處對(duì)

x

的偏導(dǎo)數(shù)，記作函數(shù)f

(x,y)在點(diǎn)處對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)，記作1.由偏導(dǎo)數(shù)定義知,所謂f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),就是將y看作常數(shù),將

f(x,y)看作一元函數(shù)來(lái)定義的.注因此,在實(shí)際計(jì)算時(shí),求f'x

(x,y)時(shí),只須將y看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.求f'y

(x,y)時(shí),只須將x看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.2.f'x

(x0,y0)就是f'x

(x,y),在點(diǎn)(x0,y0)的值.算f'x

(x0,y0)可用3種方法.f'y

(x0,y0)f'y

(x,y)f'y

(x0,y0)(1)用定義算.(2)先算f'x

(x,y),再算f'x

(x0,y0)f'y

(x,y),f'y

(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f‘x

(x,y0)

f'x

(x0,y0)f(x0,y),f'y

(x0,y),f'y

(x0,y0).例1.解:或f(x,2)=x2+6x+4,f'x(x,2)=2x+6,故f'x(1,2)=2+6=8.例2.解:例3.解:偏導(dǎo)數(shù)的概念可推廣到三元以上函數(shù)中去.比如,設(shè)u=f(x,y,z).它的求法,就是將y,z均看作常數(shù)來(lái)求即可.例4.解:是關(guān)于X.Y的輪換對(duì)稱函數(shù)課堂練習(xí)：求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

試證

1解

2解：

由于它們還是x,y

的函數(shù).因此,可繼續(xù)討論高階偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).類似,可得三階,四階,…,n

階偏導(dǎo)數(shù).例1.解:若不是,那么滿足什么條件時(shí),二階混合偏導(dǎo)數(shù)才相等呢?問(wèn)題:

是否任何函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)都相等?若z=f(x,y)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)則定理11、求下列函數(shù)的課堂練習(xí)

2、2；2；0；0一般說(shuō)來(lái),算這個(gè)改變量較麻煩,希望找計(jì)算它的近似公式.該近似公式應(yīng)滿足(1)容易算.(2）有一定的精度.在實(shí)際中,常需計(jì)算當(dāng)兩個(gè)自變量都改變時(shí),二元函數(shù)z=f(x,y)的改變量f(x0+

x,

y0+

y)–f(x0,

y0).一、全微分的概念多元函數(shù)的全微分類似一元函數(shù)的微分概念,引進(jìn)記號(hào)和定義.記

z=f(x0+

x,

y0+

y)–f(x0,

y0).稱為z=f(x,y)在點(diǎn)

(x0,

y0)的全增量.全微分的定義定義自然會(huì)提出以下問(wèn)題.(1)若z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)可微,微分式dz=A

x+B

y中系數(shù)A,B如何求,是否與z的偏導(dǎo)有關(guān)?

(2)在一元函數(shù)中,可微與可導(dǎo)是等價(jià)的.在二元函數(shù)中,可微與存在兩個(gè)偏導(dǎo)是否也等價(jià)?可微的條件分別稱為函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于自變量x，y的偏微分。

證略。多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微分函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在解在(2,1)處的全微分：解全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)解所求全微分定理1：如果函數(shù)在點(diǎn)(x,y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)(x,y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且復(fù)合函數(shù)的微分法一鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t如圖示若z=f(u,v,w)，都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有多個(gè)中間變量的情況，連鎖法則