機械振動一機械波課后習題

(2)彈簧振子在光滑水平面上作簡諧振動時，彈性力在半個周期內

所作的

功為

(B)

kA72⑶諧振動過程中，動能和勢能相等的位置的位移等于

(A)_A

4(D)

5.2填空題

(1)一質點在X軸上作簡諧振動，振幅A=4cm,周期T=2s,其平

衡位置取作坐標原點。若t=0時質點第一次通過x=-2cm處且

向X軸負方向運

動，則質點第二次通過x=—2cm處的時刻為—s。

(2)一水平彈簧簡諧振子的振動曲線如題5.2(2)圖所示。振子在位

移為零，

速度為一：A、加速度為零和彈性力為零的狀態，對應于曲線上

的

點。振子處在位移的絕對值為A、速度為零、加速

度為-?2

A和彈性力為一KA的狀態，則對應曲線上的

點。題5.2(2)圖

⑶一質點沿x軸作簡諧振動，振動范圍的中心點為x軸的原點，

已知周5.1

選擇題(1)一物體作簡諧振動,時刻的動能與t二T/8(A)l:4(B)

1：習題5?機械振動振動方程為-Acos(t-)

，則該物體在“0(T為振動周期)時刻的動能之比為：

2(C)1:1(D)2:1(A)kA2(C)kA7/4

(D)0

(B)

期為T,振幅為A

⑶若t=0時質點過x=0處且朝x軸正方向運動，則振動方程為

X=0

(b)若t=0時質點過x=A/2處且朝x軸負方向運動，則振動方程

為

X=0

5.3符合什么規律的運動才是諧振動？分別分析下列運動是不是諧

振動：

(1)拍皮球時球的運動；

(2)如題5.3圖所示，一小球在一個半徑很大的光滑凹球面內滾動

(設小球所經過的弧線很短).

題5.3圖題5.3圖(b)

5.4彈簧振子的振幅增大到原振幅的兩倍時，其振動周期、振動能

量、最

大速度和最大加速度等物理量將如何變化？

5.5單擺的周期受哪些因素影響？把某一單擺由赤道拿到北極去，

它的周

期是否變化？

5.6簡諧振動的速度和加速度在什么情況下是同號的？在什么情況

下是異

號的？加速度為正值時，振動質點的速率是否一定在增大？

5.7質量為1010°kg的小球與輕彈簧組成的系統，按x

=0.1cos(8t三)(SI)的

3

規律作諧振動，求：

Q)振動的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；

(2)最大的回復力、振動能量、平均動能和平均勢能，在哪些位置

上動能與勢能相

⑶t2=5s與tl=ls兩個時刻的位相差；

5.8—個沿x軸作簡諧振動的彈簧振子，振幅為A,周期為T,其

振動方程用余弦函數表示.如果t=o時質點的狀態分別是：

(l)x

o=-A;

(2)過平衡位置向正向運動；

(3)過處向負向運動；

2

(4)過x二-A處向正向運動.

J2

試求出相應的初位相，并寫出振動方程.

5.9一質量為1010"kg的物體作諧振動，振幅為24cm,周期為

4.0s，當t=0時位

移為24cm.求：

(l)t=0.5s時，物體所在的位置及此時所受力的大小和方向；

(2)由起始位置運動到x=12cm處所需的最短時間；

⑶在x=12cm處物體的總能量.

5.10有一輕彈簧，下面懸掛質量為1.0g的物體時，伸長為

4.9cm.用這個彈簧和一

個質量為8.0g的小球構成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開

1.0cm后，給予向

上的初速度VO=5.0cm/s,求振動周期和振動表達式.

5.11題5.11圖為兩個諧振動的x-t曲線,試分別寫出其諧振動方

程.

題5.11圖

5.12一輕彈簧的倔強系數為k,其下端懸有一質量為M的盤子.現

有一質量為m的物體從離盤底h高度處自由下落到盤中并和盤子粘在

一起，于是盤子開始振動.

Q)此時的振動周期與空盤子作振動時的周期有何不同？

(2)此時的振動振幅多大？

⑶取平衡位置為原點，位移以向下為正，并以彈簧開始振動時作

為計時起點，求

n

為=5cos(3t—)cm7兀x=5cos(3t)cmX1=5cos(3tgem4-

x2=5cos(3t)cm

(2)某時刻駐波波形曲線如圖所示，則a,b兩點位相差是

(A)n(B)n/2

(C)5n/4(D)0

(3)設聲波在媒質中的傳播速度為u,聲源的頻率為Vs.若聲源S不

動，而接收器R相對于媒質以速度VB沿著S、R連線向著聲源S

運動，

則位于S、R連線中點的質點P的振動頻率為

(B)4vs

(A)vs

(C)—Vs(D)七V

u+VBU-VB

6.2填空題

Q)頻率為100H乙傳播速度為300m/s的平面簡諧波，波線上兩

點振

動的相位差為n/3,則此兩點相距_____m

(2)一橫波的波動方程是y=0.02sin2n(100t-O.4x)(SI),則振幅是

波長是一，頻率是_,波的傳播速度是—0

(3)設入射波的表達式為％=Acos[2二(譏一p~]，波在x=0處

反射，

九

反射點為一固定端，則反射波的表達式為,

駐波的

表達式為,入射波和反射波合成的駐波的

波腹

所在處的坐標為O6.3產生機械波的條件是什

么？兩列波疊加產生干涉現象必須滿足什么條件？滿足什么條件的兩

列波才能疊加后形成駐波？在什么情況下會出現半波損失？

答：產生機械波必須具備兩個條件：有作機械振動的物體即波源；

有連續的介質。

兩列波疊加產生干涉現象必須滿足三個相干條件：頻率相同，振

動方向相

同，在相遇點的位相差恒定。

兩列波疊加后形成駐波的條件除頻率相同、振動方向相同、在相

遇點的位相差恒定三個相干條件外，還要求兩列波振幅相同，在同一

直線上沿相反方向傳播。

出現半波損失的條件是：波從波疏媒質入射并被波密媒質反射，

對于機械

波，還必須是正入射。

6.4波長、波速、周期和頻率這四個物理量中，哪些量由傳播介質

決定？哪些量由波源決定？

答：波速由傳播介質決定；周期和頻率由波源決定。

6.5波速和介質質元的振動速度相同嗎？它們各表示什么意思？波

的能量

是以什么速度傳播的？

答：波速和介質質元的振動速度不相同。波速是振動狀態在介質

中的傳播

速度，而質元的振動速度是質元在其平衡位置附近運動的速度。

波的能量

傳播的速度即為波速。

6-6振動和波動有什么區別和聯系？平面簡諧波波動方程和簡諧振

動方程有什么不同？又有什么聯系？振動曲線和波形曲線有什么不

同？行波和駐波有何區別？

答：(a)振動是指一個孤立的系統(也可是介質中的一個質元)在某固

定平衡位置附近所做的往復運動，系統離開平衡位置的位移是時間的

周期性函數，即可表示為y二f(t);波動是振動在連續介質中的傳播過

程，此時介質中所有質元都在各自的平衡位置附近作振動，因此介質

中任一質元離開平衡位

(b)在諧振動方程y二f(t)中只有一個獨立的變量時間t,它描述的

是介質中

一個質元偏離平衡位置的位移隨時間變化的規律；平面諧波方程

y=f(x,t)

中有兩個獨立變量，即坐標位置x和時間t,它描述的是介質中所

有質元偏離平衡位置的位移隨坐標和時間變化的規律.

當諧波方程y=ACOS??(t-為中的坐標位置給定后,即可得到該

點的振動方

u

程，而波源持續不斷地振動又是產生波動的必要條件之一.

(。振動曲線y=f(t)描述的是一個質點的位移隨時間變化的規律，

因此，其

縱軸為y,橫軸為t;波動曲線v=f(x,t)描述的是介質中所有質元

的位移隨位置，隨時間變化的規律，其縱軸為y,橫軸為x?每一幅圖

只能給出某一

時刻質元的位移隨坐標位置x變化的規律，即只能給出某一時刻

的波形圖，不同時刻的波動曲線就是不同時刻的波形圖.

(d)兩列頻率相同、振動方向相同、在相遇點的位相差恒定、振幅

相同、

在同一直線上沿相反方向的行波疊加后才會形成駐波。行波伴隨

有能量的

傳播，而駐波沒有能量的傳播。

6.7波源向著觀察者運動和觀察者向著波源運動都會產生頻率增高

的多

普勒效應，這兩種情況有何區別？

解:波源向著觀察者運動時，波面將被擠壓，波在介質中的波長，

將被壓縮

變短，(如題6.7圖所示)，因而觀察者在單位時間內接收到的完整

數目(u廠)

會增多，所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運動時，波面形

狀不變，但觀察者測到的波速增大，即u'u,VB,因而單位時間內通

過觀察者完整

波的數目-也會增多，即接收頻率也將增高.簡單地說，前者是通過

壓縮波面(縮短波長)使頻率增高，后者則是觀察者的運動使得單位時間

內通過的

波面數增加而升高頻率.

題6.7圖多普勒效應

6.8已知波源在原點的一列平面簡諧波，波動方程為y=A

COS(Bt—Cx)，其中A,B,C為正值恒量.求:

Q)波的振幅、波速、頻率、周期與波長；

⑵寫出傳播方向上距離波源為I處一點的振動方程；

⑶任一時刻，在波的傳播方向上相距為d的兩點的位相差.

6.9沿繩子傳播的平面簡諧波的波動方程為y=0.05cos(10二t-

4x),式中x,y以

米計，t以秒計求：

(1)繩子上各質點振動時的最大速度和最大加速度；

(2)求x二①加處質點在t=ls時的位相,它是原點在哪一時刻的

位相？這一位相所代表的運動狀態在t=1.25s時刻到達哪一點？

6.10如題6.10圖是沿x軸傳播的平面余弦波在t時刻的波形曲

線.⑴若波沿x軸正向傳播，該時刻O,A,B,C各點的振動位相是多

少？(2)若波沿x軸負向傳播，上述各點的振動位相又是多少？

解：Q)波沿x軸正向傳播，則在t時刻，有

題6.10圖

6.11一列平面余弦波沿x軸正向傳播,波速為5m/s,波長為

2m,原點處質點的振動曲線如題6.11圖所示.

Q)寫出波動方程；

(2)作出t=0時的波形圖及距離波源0.5m處質點的振動曲線.

題6.11圖⑶

6.12如題6.12圖所示，已知t=0時和t=0.5s時的波形曲線分別

為圖中曲線(a)和

(b),周期T>0.5s,波沿x軸正向傳播，試根據圖中繪出的條件求

Q)波動方程；

(2)P點的振動方程.

題6.12圖

6.13一列機械波沿x軸正向傳播，t=0時的波形如題6.13圖所

示，已知波速為10m/sl,波長為2m,求：

(1)波動方程；

(2)P點的振動方程及振動曲線;

(3)P點的坐標；

(4)P點回到平衡位置所需的最短時間.

6.14如題6.14圖所示，有一平面簡諧波在空間傳播,已知P點

的振動方程為yp=Acos(t:0).

(1)分別就圖中給出的兩種坐標寫出其波動方程；

(2)寫出距P點距離為b的Q點的振動方程.

題6.14圖

6.15已知平面簡諧波的波動方程為y=Acos二(4t?2x)(SI).

(1)寫出t=4.2S時各波峰位置的坐標式，并求此時離原點最近一

個波峰的位置，該波峰何時通過原點？

題6.15圖

6.16題6.16圖中⑻表示t=0時刻的波形圖，(b)表示原點(x=0)

處質元的振動曲線,試求此波的波動方程，并畫出x=2n處質元的振

動曲線.

題6.16圖

6.17一平面余弦波，沿直徑為14cm的圓柱形管傳播,波的強度

為

32

18.0x10-J/(m?s),頻率為300Hz,波速為300m/s,求波的

平均能量密度和最大

能量密度.

6.18如題6.18圖所示，3和S2為兩相干波源,振幅均為A,相

距一,3較S2位相

4

超前二，求：

2

(1)E外側各點的合振幅和強度；

(2)S2夕H則各點的合振幅和強度

6.19如題6.19圖所示,設B點發出的平面橫波沿BP方向傳播,

它在B點的振動方程為

yA210"cos2...t;C點發出的平面橫波沿CP方向傳播,它在C

點的振動方程為y2=210"cos(2二t二)，本題中y以m計，t以s

計.設BP=0.4m,CP=0.5m,波速u

=0.2m/s,求：

(1)兩波傳到P點時的位相差；

⑵當這兩列波的振動方向相同時，P處合振動的振幅；

題6.19圖

6.20一平面簡諧波沿x軸正向傳播，如題6.20圖所