專題03軸對稱軸對稱圖形1．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）下列四個數(shù)學符號中，是軸對稱圖形的是（）A．⊥ B．≌ C．≥ D．≠【分析】利用軸對稱圖形的概念可得答案．【解答】解：四個數(shù)學符號中，是軸對稱圖形的是：⊥，故選：A．2．（2023秋?鐘山區(qū)期中）下列四個漢字中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，故此選項正確；D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選：C．3．（2023春?綏陽縣期中）下列四個騰訊軟件圖標中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故本選項正確．故選：D．4．（2023秋?花溪區(qū)期中）甲骨文是我國目前發(fā)現(xiàn)最早的文字，其顯著特點是圖畫性強，下列甲骨文圖畫是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．【解答】解：A．該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B．該圖形是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C．該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D．該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：B．軸對稱變換作圖1．（2023秋?綏陽縣期中）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點A（﹣2，2），點B（﹣3，﹣1），點C（﹣1，1）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′，并寫出點A′的坐標；（2）求出△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質作圖，即可得出答案．（2）利用割補法求三角形的面積即可．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求．點A′的坐標為（2，2）．（2）△ABC的面積為＝2．2．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）如圖，已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點A的坐標為（3，4）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出C1的坐標；（2）在x軸上有一點P，使得PB+PC的和最小，畫出點P的位置．（用實線保留畫圖的痕跡）【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質作圖，即可得出答案．（2）取點B關于x軸的對稱點B'，連接B'C，交x軸于點P，則點P即為所求．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．C1的坐標為（﹣3，2）．（2）如圖，取點B關于x軸的對稱點B'，連接B'C，交x軸于點P，連接BP，此時PB+PC＝PB'+PC＝CB'，為最小值，則點P即為所求．3．（2023春?六盤水期中）如圖，△ABC的頂點A、B、C都在小正方形的頂點上，利用網格線按下列要求畫圖．（1）畫△A1B1C1，使它與△ABC關于直線l成軸對稱；（2）在直線l上找一點P，使點P到點A、B的距離之和最短；（3）在直線l上找一點Q，使點Q到邊AC、BC的距離相等．【分析】（1）分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可．（2）連接A1B交直線l于點P，點P即為所求作．（3）∠ACB的角平分線與直線l的交點Q即為所求作．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求作．（2）如圖，點P即為所求作．（3）如圖，點Q即為所求作．4．（2023秋?綏陽縣期中）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．A、B、C三點在格點上．（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱圖形△A1B1C1；（2）寫出點A1、B1、C1的坐標；（3）在x軸上求作一點P，使PA+PB1最短．（不寫作法，寫出結論）【分析】（1）利用軸對稱的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可．（2）根據(jù)點的位置寫出坐標即可．（3）作點B1關于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，連接B1P，點P即為所求．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）A1（﹣2，4）、B1（﹣1，1）、C1（﹣3，2）．（3）如圖，點P即為所求．線段的垂直平分線1．（2024春?清鎮(zhèn)市期中）如圖，P為線段AB的垂直平分線上一點，若PB＝3cm，則PA的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質解答即可．【解答】解：∵P為線段AB的垂直平分線上一點，PB＝3cm，∴PA＝PB＝3cm，故選：D．2．（2024春?南明區(qū)校級期中）如圖，AB的中垂線為CP交AB于點P，且AC＝2CP．甲、乙兩人想在AB上取D、E兩點，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：甲作∠ACP、∠BCP的角平分線，分別交AB于D、E兩點，則D、E即為所求；乙作AC、BC的中垂線，分別交AB于D、E兩點，則D、E即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列正確的是（）A．兩人都正確 B．兩人都錯誤 C．甲正確，乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確【分析】求出∠A＝30°，∠ACP＝60°，求出∠ACD＝30°＝∠A，即可推出AD＝CD，同理BE＝CE，即可判斷甲，根據(jù)線段垂直平定縣性質得出AD＝CD，BE＝CE，即可判斷乙．【解答】解：甲、乙都正確，理由是：∵CP是線段AB的垂直平分線，∴BC＝AC，∠APC＝∠BPC＝90°，∵AC＝2CP，∴∠A＝30°，∴∠ACP＝60°，∵CD平分∠ACP，∴∠ACD＝∠ACP＝30°，∴∠ACD＝∠A，∴AD＝DC，同理CE＝BE，即D、E為所求；∵D在AC的垂直平分線上，∴AD＝CD，同理CE＝BE，即D、E為所求，故選：A．3．（2023秋?印江縣期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于P點，若AB＝5cm，BC＝3cm，則△PBC的周長等于（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質得出AC＝AB＝5cm，再根據(jù)線段垂直平分線的性質得出AP＝BP，故AP+PC＝AC，由此即可得出結論．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AB＝5cm，∴AC＝5cm，∵AB的垂直平分線交AC于P點，∴BP+PC＝AC，∴△PBC的周長＝（BP+PC）+BC＝AC+BC＝5+3＝8cm．故選：C．4．（2023春?水城區(qū)期中）如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1、l2相交于點O．若∠1＝40°，則∠AOC＝（）A．50° B．80° C．90° D．100°【分析】連接BO，并延長BO到P，根據(jù)線段的垂直平分線的性質得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根據(jù)四邊形的內角和為360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根據(jù)外角的性質得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得結論．【解答】解：連接BO，并延長BO到P，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝40°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；故選：B．5．（2023春?水城區(qū)期中）如圖，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分線的交點，則∠BOC的度數(shù)是160°．【分析】連接OA，根據(jù)三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到OA＝OB，OA＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質計算即可．【解答】解：連接OA、OB，∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵O是AB，AC垂直平分線的交點，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA+∠OCA＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝10°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝160°，故答案為：160°．6．（2023春?六盤水期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD＝DE，連接AE．（1）求證：AB＝EC；（2）若△ABC的周長為18cm，AC＝8cm，求DC長．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質得到AE＝EC，AB＝AE，等量代換證明結論；（2）根據(jù)三角形的周長公式得到AB+BC+AC＝18cm，根據(jù)AB＝EC，BD＝DE計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周長為18cm，∴AB+BC+AC＝18（cm），∵AC＝8cm，∴AB+BC＝10（cm），∵AB＝EC，BD＝DE，∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝5（cm）．求關于坐標軸對稱的點的坐標1．（2023秋?綏陽縣期中）在直角坐標系中，點A（2，﹣8）、B關于y軸對稱，則點B的坐標是（）A．（﹣2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（8，2）【分析】直接利用關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，進而得出答案．【解答】解：∵點A與點B關于y軸對稱，點A的坐標是（2，﹣8），∴點B的坐標是：（﹣2，﹣8）．故選：A．2．（2023秋?織金縣校級期中）在平面直角坐標系中，點A（m，2）與點B（3，n）關于x軸對稱，則m、n的值分別為（）A．3，2 B．﹣3，2 C．2，3 D．3，﹣2【分析】根據(jù)關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得m、n的值，進而可得答案．【解答】解：∵點A（m，2）與點B（3，n）關于x軸對稱，∴m＝3，n＝﹣2．故選：D．3．（2023秋?綏陽縣期中）已知M（a，3）和N（4，b）關于y軸對稱，則a+b的值為﹣1．【分析】根據(jù)“關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”求出a、b的值，然后相加計算即可得解．【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）關于y軸對稱，∴a＝﹣4，b＝3，∴a+b＝﹣4+3＝﹣1．故答案為：﹣1．4．（2023秋?云巖區(qū)校級期中）在社團剪紙活動中，小羅同學將剪好的窗花放在適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祪龋cA（3，n）與點B（m，2）恰好關于x軸對稱，則mn的值為．【分析】根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特點可得n、m的值，進而可得mn的值．【解答】解：∵點A（3，n）與點B（m，2）關于x軸對稱，∴m＝3，n＝﹣2，∴mn＝3﹣2＝，故答案為：．5．（2023春?綏陽縣期中）已知點P（a+1，2a﹣3）關于x軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍是﹣1＜a＜．【分析】點P（a+1，a﹣3）關于x軸的對稱點在第一象限，則點P（a+1，a﹣3）在第四象限，符號為（+，﹣）．【解答】解：依題意得p點在第四象限，∴，解得：﹣1＜a＜．故答案為：﹣1＜a＜．6．（2023秋?七星關區(qū)校級期中）已知點A（a﹣1，5）和點B（2，b﹣1）關于x軸對稱，求（a+b）2023的值．【分析】根據(jù)關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，可得a，b的值，再根據(jù)負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù)，可得答案．【解答】解：∵點A（a﹣1，5）和點B（2，b﹣1）關于x軸對稱，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，解得a＝3，b＝﹣4，則（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．等腰（等邊）三角形的性質1．（2024春?清鎮(zhèn)市期中）等腰三角形的一個角為50°，則這個等腰三角形的底角為（）A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°【分析】已知給出了一個內角是50°，沒有明確是頂角還是底角，所以要進行分類討論，分類后還要用內角和定理去驗證每種情況是不是都成立．【解答】解：當50°是等腰三角形的頂角時，則底角為（180°﹣50°）×＝65°；當50°是底角時亦可．故選：C．2．（2023秋?印江縣期中）如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【分析】由AC＝CD，根據(jù)等邊對等角，得∠A＝∠CDA，由∠A的度數(shù)得到∠CDA的度數(shù)；由CD＝BD，根據(jù)等邊對等角，得∠B＝∠DCB，由∠CDA＝∠B+∠DCB得到∠B的度數(shù)；由BD＝BE，根據(jù)等邊對等角，得∠BDE＝∠BED，由∠B＝25°得到∠BDE的度數(shù)，再根據(jù)∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB得到答案．【解答】解：∵AC＝CD＝BD＝BE，∴△ACD、△BCD、△BDE是3個等腰三角形，又∵∠A＝50°，∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED．∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝50°，∴∠B＝25°．∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣25°）＝77.5°，∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣50°﹣77.5°＝52.5°．故選：D．3．（2023秋?綏陽縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在BC邊上，在線段AC的延長線上取點D，使得CD＝CE，連接DE，CF是△CDE的中線，若∠FCE＝52°，則∠A的度數(shù)為（）A．38° B．34° C．32° D．28°【分析】利用等腰三角形的三線合一求出∠ECD，再求出∠ACB即可解決問題．【解答】解：∵CE＝CD，F(xiàn)E＝FD，∴∠ECF＝∠DCF＝52°，∴∠ACB＝180°﹣104°＝76°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝76°，∴∠A＝180°﹣152°＝28°，故選：D．4．（2023春?碧江區(qū)校級期中）若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質列式求出a、b的值，再分a是腰長與底邊兩種情況討論求解．【解答】解：根據(jù)題意得，a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、2，∵4、4、2能組成三角形，∴三角形的周長為10，②a＝2是腰長時，三角形的三邊分別為4、2、2，不能組成三角形，綜上所述，三角形的周長為10．故選：C．5．（2024春?清鎮(zhèn)市期中）已知一個等腰三角形兩邊分別為4cm和9cm，則腰長是9cm．【分析】分4cm是等腰三角形的底邊長和9cm是底邊長兩種情況討論即可．【解答】解：當4cm是等腰三角形的底邊長時，腰長為9cm，9cm，符合題意；當9cm是等腰三角形的底邊長時，腰長為4cm，4cm，4+4＜9，不能構成三角形，不符合題意．故答案為：9．6．（2023春?水城區(qū)期中）若等腰三角形的周長為26cm，底邊為11cm，則腰長為（）A．11cm B．11cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不對【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的周長公式即可得到結論．【解答】解：∵11cm是底邊，∴腰長＝（26﹣11）＝7.5cm，故選：C．7．（2023秋?綏陽縣期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為（）A．7 B．7或11 C．11 D．7或10【分析】因為已知條件給出的15或12兩個部分，哪一部分是腰長與腰長一半的和不明確，所以分兩種情況討論．【解答】解：根據(jù)題意，①當15是腰長與腰長一半時，AC+AC＝15，解得AC＝10，所以底邊長＝12﹣×10＝7；②當12是腰長與腰長一半時，AC+AC＝12，解得AC＝8，所以底邊長＝15﹣×8＝11．所以底邊長等于7或11．故選：B．8．（2023春?銅仁市期中）如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠BAE＝20°，則∠DCE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】過點E作EJ∥CD．利用等邊三角形的性質以及平行線的性質求解即可．【解答】解：過點E作EJ∥CD．∵△ACE是等邊三角形，∴∠AEC＝60°，∵AB∥CD，EJ∥CD，∴AB∥EJ，∴∠AEJ＝∠BAE＝20°，∴∠CEJ＝60°﹣20°＝40°，∴∠DCE＝∠CEJ＝40°，故選：B．9．（2023春?碧江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC上一點，點E是AC上一點，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度數(shù)．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和得到∠C＝50°，進而得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，進而求出結論．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵∠BAD＝55°，∴∠DAE＝25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．10．（2023春?銅仁市期中）如圖，等邊三角形△ABC中，BD是中線，延長BC至E使得CE＝BC，作DF⊥BE于F．（1）求證：BF＝EF；（2）若AB＝10，求CE．【分析】（1）先依據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得到DC＝AC＝BC，從而可求得DC＝CE，從而可求得∠E的度數(shù)，然后依據(jù)∠DBE＝∠E，最后，在依據(jù)等腰三角形三線合一的性質進行證明即可；（2）依據(jù)等腰三角形的三線合一的性質可求得DC的長，然后依據(jù)CE＝DC其解即可．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，BD是中線，∴DC＝BC．又∵CE＝BC，∴DC＝CE．∴∠E＝∠CDE，而∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴DB＝DE；∵DF⊥BC，∴BF＝EF．（2））∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝AB＝10．∵CE＝BC，∴CE＝DC＝5．含30°的直角三角形1．（2023春?七星關區(qū)期中）如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）A．6米 B．9米 C．12米 D．15米【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長度，再加上離地面的距離就是折斷前樹的高度．【解答】解：如圖，根據(jù)題意BC＝3米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），∴3+6＝9（米）．故選：B．2．（2023春?水城區(qū)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，則BC＝（）A．1 B．2 C． D．【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質直接求解即可．【解答】解：根據(jù)含30度角的直角三角形的性質可知：BC＝AB＝1．故選：A．3．（2023春?云巖區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，則AD的長為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【分析】先求出∠A＝∠BCD＝30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質求解即可得．【解答】解：∵CD是△ABC的高，∠B＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∴BC＝2BD＝2×1＝2，∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3，故選：B．4．（2023春?貴陽期中）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝12，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】過P作PC⊥ON，根據(jù)等腰三角形形三線合一及直角三角形30°角所對直角邊等于斜邊一半即可得到答案．【解答】解：過P作PC⊥ON，∵∠AOB＝60°，PC⊥ON，∴∠OPC＝90°﹣60°＝30°，∵OP＝12，∴OC＝OP＝6，∵PC⊥ON，PM＝PN，MN＝2，∴MC＝MN＝1，∴OM＝OC﹣MC＝6﹣1＝5，故選：C．5．如圖，Rt△ABC中，∠B＝60°，AD是高，BD＝2，CD＝7，則AB長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)直角三角形的性質求出∠BAD＝30°，再根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”求解即可．【解答】解：∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD＝4，故選：A．6．（2023春?貴陽期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD＝2，求DF的長．【分析】（1）證明△DCE中的三個角均為60°，然后再求得∠F＝30°，則可得出答案；（2）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC進行求解即可．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°；（2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．∵∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝2．∴CF＝2．∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．等腰（等邊）三角形的判定與性質1．（2023秋?鐘山區(qū)期中）如圖，已知∠ABC＝60°，點D為BA邊上一點，BD＝8，點O為線段BD上的中點，以點O為圓心，線段OB的長為半徑作弧，交BC于點E，連接DE，則BE的長是（）A．3 B．4 C．4 D．4【分析】根據(jù)題意和等邊三角形的判定，可以得到BE的長．【解答】解：連接OE，由已知可得，OE＝OB＝BD＝4，∵∠ABC＝60°，∴△BOE是等邊三角形，∴BE＝OB＝4，故選：B．2．（2023春?銅仁市期中）如圖，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點M，且過點M的直線DE∥BC，分別交AB、AC于D、E兩點，若AB＝12，AC＝10，則△ADE的周長為22．【分析】由∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點M，且過點M的直線DE∥BC，易證得△DBM與△ECM是等腰三角形，繼而可得△ADE的周長等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DMB＝∠MBC，∠EMC＝∠MCB，∵∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點M，∴∠DBM＝∠MBC，∠ECM＝∠MCB，∴∠DBM＝∠DMB，∠ECM＝∠EMC，∴DM＝DB，EM＝EC，∴△ADE的周長為：AD+DE+AE＝AD+DM+EM+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝12+10＝22．故答案為：22．3．（2023秋?印江縣期中）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下五個結論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ為等邊三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正確的有①②④⑤．（注：把你認為正確的答案序號都寫上）【分析】①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正確．④先證明△ACP≌△BCQ，即可判斷出CP＝CQ，即可得④正確；②根據(jù)∠PCQ＝60°，可得△PCQ為等邊三角形，證出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正確．③沒有條件證出OP＝OQ，得出③錯誤；⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正確；即可得出結論．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，結論①正確．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ為等邊三角形，結論④正確；∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，結論②正確．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO，∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴結論⑤正確．沒有條件證出OP＝OQ，③錯誤；綜上，可得正確的結論有4個：①②④⑤．故答案為：①②④⑤．4．（2023春?綏陽縣期中）已知：在銳角△ABC中，AB＝AC．D為底邊BC上一點，E為線段AD上一點，且∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，連接CE．（1）求證：∠ABE＝∠DAC；（2）若∠BAC＝60°，試判斷BD與CD有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）若∠BAC＝α，那么（2）中的結論是否還成立．若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)外角的性質，推出∠BED＝∠ABE+∠BAE，由∠BAC＝∠BAE+∠DAC，根據(jù)∠BED＝∠BAC進行等量代換即可；（2）在AD上截取AF＝BE，連接CF，作CG∥BE交直線AD于G，∠BED＝∠BAC，結合（1）所推出的結論，求證△ACF≌△BAE，根據(jù)全等三角形的性質、三角形內角和定理推出∠CFG＝180°﹣∠AFC＝180°﹣∠BEA＝∠BED，由CG∥BE，可得∠CGF＝∠BED，BD：CD＝BE：CG，繼而推出∠CFG＝∠CGF，即CG＝CF，通過等量代換可得BE＝AF＝2CF，把比例式中的BE、CG用2CF、CF代換、整理后即可推出BD＝2DC，總上所述BD與CD的數(shù)量關系與∠BAC的度數(shù)無關；（3）根據(jù)（2）所推出的結論即可推出若∠BAC＝α，那么（2）中的結論仍然還成立．【解答】（1）證明：∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝∠BAC，∴∠ABE+∠BAE＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BAE+∠DAC，∴∠DAC＝∠ABE；（2）解：在AD上截取AF＝BE，連接CF，作CG∥BE交直線AD于G，∠BED＝∠BAC，∵∠FAC＝∠EBA，∴在△ACF和△BAE中，，∴△ACF≌△BAE（SAS），∴CF＝AE，∠ACF＝∠BAE，∠AFC＝∠AEB．∵∠AFC＝∠BEA∴180°﹣∠AFC＝180°﹣∠BEA∴∠CFG＝∠BEF，∴∠CFG＝180°﹣∠AFC＝180°﹣∠BEA＝∠BED，∵CG∥BE，∴∠CGF＝∠BED，∴∠CFG＝∠CGF，∴CG＝CF，∵∠BED＝2∠DEC，∵∠CFG＝∠DEC+∠ECF，∠CFG＝∠BED，∴∠ECF＝∠DEC，∴CF＝EF，∴BE＝AF＝2CF，∵CG∥BE，∴BD：CD＝BE：CG，∴BD：CD＝2CF：CF＝2，∴BD＝2DC，∴BD與CD的數(shù)量關系與∠BAC的度數(shù)無關；（3）解：∵BD與CD的數(shù)量關系與∠BAC的度數(shù)無關，∴若∠BAC＝α，那么（2）中的結論仍然還成立．5．（2023春?七星關區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長．【分析】（1）證明∠ABC＝∠ACB＝60°；證明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解決問題．（2）證明BD＝OD；同理可證CE＝OE；即可解決問題．【解答】解：（1）△ODE是等邊三角形；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE為等邊三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可證CE＝OE；∴△ODE的周長＝BC＝10．垂直平分線（角平分線）的基本作圖1．（2023春?銅仁市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以邊A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于F、G兩點，連接F、G分別交于AB于E、BC于D，連接AD，若CD＝3，則BC的長為（）A．6 B．6 C．9 D．3【分析】利用基本作圖得到DE垂直平分AB，則根據(jù)線段垂直平分線的性質得到DB＝DA，所以∠DAB＝∠B＝30°，再計算出∠CAD＝30°，接著利用含30度角直角三角形三邊的關系求AD，從而得到BD的長，然后計算BD+CD即可．【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ACD中，AD＝2CD＝6，∴BD＝6，∴BC＝BD+CD＝6+3＝9．故選：C．2．（2023秋?貴陽期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步驟作圖：①以點D為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交DA，DC于E，F(xiàn)兩點；②分別以點E，F(xiàn)為圓心以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③連接DP并延長交BC于點G．則BG的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)角平分線的定義以及平行四邊形的性質，即可得到CG＝CD，進而得到BG的長．【解答】解：由題可得，DG是∠ADC的平分線．∴∠ADG＝∠CDG，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CG＝CD＝3，∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故選：A．3．（2023春?六盤水期中）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若AC＝3，AB＝9，則△ACD的周長為（）A．12 B．11 C．10 D．9【分析】證明DB＝DC，推出△ADC的周長＝AC+AB，可得結論．【解答】解：由作圖可知MN垂直平分線段BC，∴DB＝DC，∴△ADC的周長＝AC+CD+AC＝AC+DB+AD＝AC+AB＝3+9＝12．故選：A．4．（2024春?清鎮(zhèn)市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AC，AB于點M，N兩點，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于點P，射線AP交邊BC于點D，若CD＝3cm，AB＝10cm，則△ABD的面積等于15cm2．【分析】由作圖過程可知，AD為∠BAC的平分線．過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質可得CD＝DE＝3cm，再利用三角形的面積公式計算即可．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，由作圖過程可知，AD為∠BAC的平分線，∵∠C＝90°，∴CD＝DE＝3cm，∴△ABD的面積等于＝＝15（cm2）．故答案為：15．5．（2023秋?綏陽縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線MN交AC于點D，連接BD；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）求∠DBC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）分別求出∠ABD＝36°，∠ABC＝72°可得結論．【解答】解：（1）如圖，直線MN即為所求．（2）∵MN垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°．6．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高．（1）求作：∠B的平分線交AD于點E，交AC于點F．（尺規(guī)作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡）（2）當∠ABC＝50°時，求∠AEF的度數(shù)．【分析】（1）利用基本作圖作∠ABC的平分線即可；（2）先根據(jù)高的定義和角平分線的定義得到∠ADB＝90°，∠CBF＝25°，再根據(jù)三角形內角和計算出∠BED，然后根據(jù)對頂角相等得到∠AEF的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，BF為所作；（2）∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝90°，∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABC＝×50°＝25°，∴∠BED＝90°﹣∠DBE＝90°﹣25°＝65°，∴∠AEF＝∠BED＝65°．軸對稱性質的應用1．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，若∠A＝55°，則∠1+∠2＝（）A．75° B．110° C．105° D．125°【分析】根據(jù)三角形的內角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根據(jù)翻折變換的性質可得∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，然后利用平角等于180°列式計算即可得解．【解答】解：∵∠A＝55°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣55°＝125°，∵△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，∴∠1+∠2＝180°﹣（∠A′ED+∠AED）+180°﹣（∠A′DE+∠ADE）＝360°﹣2×125°＝110°．故選：B．2．（2023秋?云巖區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若原來點A坐標是（2，5），則經過第2023次變換后點A的對應點的坐標為（）A．（2，﹣5） B．（﹣2，﹣5） C．（﹣2，5） D．（2，5）【分析】觀察軸對稱變換可得每4次變換是一個周期，2023除以4