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題型筆記17.1機(jī)械振動

一、簡諧運動的描述與規(guī)律①從平衡位置開始計時，函數(shù)表達(dá)式為

x=Asincot,圖象如圖甲所示；

1.機(jī)械振動

筆記：機(jī)械振動A

OEl.一

定義：物體（或物體的一部分）在某一中心位置兩側(cè)振動圖像~7ft/Tt

-A—/

所做的往復(fù)運動稱為機(jī)械振動，簡稱振動.

甲乙

回復(fù)力：振動物體所受的總是指向平衡位置的力，

②從最大彳立移處開始1十時，函數(shù)表達(dá)式

具體問題中一定要注意分析回復(fù)力.

為x=Acoscot,圖象力口圖乙月斤示.

①方向：總是指向平衡位置.

描述質(zhì)點的位移與時間的規(guī)律

②來源：屬于效果力，可以是某一個力，也可以圖像意義

（不是質(zhì)點的運動軌跡）

是幾個力的合力或某個力的分力.

①振幅A、周期人各時刻質(zhì)點的位置

注意：回復(fù)力并不表示合力，回復(fù)力為0,合力不

②各時刻回復(fù)力、加速度、速度、位移

一定為0。

的方向.

位移X：由平衡位置指向振動質(zhì)點所在位置的有向

I）曲線切線的斜率為正，速度方向

線段，是矢量，位移的最大值就是振幅.

圖像信息為正；斜率為負(fù)，速度方向為負(fù)

振幅A：振動物體距離平衡位置的最大距離，是

II）曲線切線的斜率的絕對值表示

標(biāo)量，表示振動的強(qiáng)弱，振動系統(tǒng)能量的大小.

該時刻速度大小

周期T和頻率/：表示振動快慢的物理量，兩者互

③某段時間內(nèi)位移、回復(fù)力、加速度、

為倒數(shù)，當(dāng)7與/■由振動系統(tǒng)本身決定時，則叫固有

速度、動能、勢能的變化情況.

周期和固有頻率.

2.簡諧運動①相隔AE=(〃+2)T(〃=0,1,2,…)的兩

質(zhì)點的位移與時間遵從正弦函數(shù)

個時刻，彈簧振子的位置關(guān)于平衡位置

定義的規(guī)律，即振動圖像（XI圖像）是一條正

對稱，位彩;等大反向，速度也等大反向.

弦曲線，這樣的振動叫做簡諧振動.X

x=Asin(①，+90)A

K\_____

位移表達(dá)式A代表振幅，①=24代表運動快O\7\t

-A\

慢，①方十夕0代表相位，9°叫做初相.2、

對稱規(guī)律

F=~kx,其中“一”表示回復(fù)力②相隔△/=〃?（〃=1,2,3,…）的兩個時

動力學(xué)特征

與位移的方向相反.亥彈簧振子在同一位置，位移和速度

k都相同.

運動學(xué)特征a=~~x

m③振動物體來回通過相同的兩點間的

①振幅越大，系統(tǒng)能量越大.時間相等，如fBC=tCB；振動物體經(jīng)過

能量特征②在運動過程中，動能和勢能相互轉(zhuǎn)關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段的

化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒時間相等，如fBC=加，＜?，如圖所示.

--

相隔T或"7的兩個時刻啊婢秫JCB'0BC

處于同一位置且振動狀態(tài)匚二3.簡諧運動的兩種模型

注意：等型\筆記：彈簧振子

.■■

做簡諧運動的物體在一領(lǐng)期內(nèi)運慳K2ZZ

1

周期性特征

——1al

的路程一定為44；

Tv

半個周期內(nèi)運動的路程一定為2A-.。意圖MF

-------1

；個周期內(nèi)運動的路程不一捌二上彈簧振子（水平）1

NWNX

11單簧成壽子俚4I'U

2

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簡諧①彈簧質(zhì)量要忽略注意：阻尼運動不是簡諧運動，振幅與周期都是

運動②無摩擦等阻力發(fā)生變化的.由于摩擦阻力的作用，使振動系統(tǒng)的能量

條件③在彈簧彈性限度內(nèi)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能.阻尼運動的振動圖像，如下圖所示：

回復(fù)力彈簧彈力提供彈力與重力的合力提供

平衡

彈簧原長處kx=mg處

位置

/m

丁=

周期22不考

與振幅無關(guān)

彈性勢能與動能彈性勢能、重力勢能與2.受迫振動與共振

能量

的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)動能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)筆記：受迫振動與共振

轉(zhuǎn)化

機(jī)械能守恒.機(jī)械能守恒.受迫振動：系統(tǒng)在外界周期性變化的驅(qū)動力作用

下的振動叫受迫振動，系統(tǒng)做受迫振動時，振動穩(wěn)定

模型筆記：單擺后的頻率等于驅(qū)動力的頻率，跟系統(tǒng)的固有頻率無關(guān).

受迫振動的周期或頻率：7=7驅(qū)、/=/?

?

共振：驅(qū)動力的頻率跟系統(tǒng)的固有頻率相等時，

本意圖受迫振動的振幅最大的現(xiàn)象叫共振.

受迫振動的振幅的影響因素：如下圖所示共振曲

線，圖中方表示固定頻率，通過共振曲線直觀的反映

簡諧①擺線為不可伸縮的輕細(xì)線

系統(tǒng)做受迫振動的振幅A與驅(qū)動力/的關(guān)系.

運動②無空氣阻力等

條件③最大擺角小于等于5°

擺球重力沿與擺線垂直方向（即切向）的分力

回復(fù)力回復(fù)力：/回一根gsin。一~i~x~日

°ff

負(fù)號表示回復(fù)力/回與位移x的方向相反a

平衡當(dāng)驅(qū)動力的頻率/偏離固定驅(qū)動力的頻率fo較大

最低點

位置時，受迫振動的振動A較小；

（惠更斯發(fā)現(xiàn)）7=27r^!當(dāng)驅(qū)動力的頻率/等于固定驅(qū)動力的頻率fo時,受

迫振動的振動A最大.

周期①L為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的受迫振動中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化：做受迫振動的系統(tǒng)

距離.的機(jī)械能不守恒，系統(tǒng)與外界時刻進(jìn)行能量交換.

②g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?共振的應(yīng)用：共振篩、聲音的共鳴等

能量三、機(jī)械振動的考法總結(jié)

重力勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒

轉(zhuǎn)化

1.簡諧運動的描述與規(guī)律

二、受迫振動和共振筆記

7學(xué)需送據(jù)振動圖像，分析：

L阻尼振動

M①振球:周期、頻率及振動表達(dá)式；

筆記：阻尼運動

丁②任意a刻質(zhì)點的速度、加速度、位移、路程和

阻尼：當(dāng)振動系統(tǒng)受到阻力作用時

卷嶷相關(guān)期的問題.

到了阻尼.U

阻尼振動：振動過程中，由于受到敘的作用工必知結(jié)論

系統(tǒng)要克服阻力做功，振動系統(tǒng)的能量逐宗邀b,振T或”7的兩個時刻振動物體處于同一位置

且振彰狀態(tài)相同.

幅逐漸減小，這樣的振動叫阻尼振動.%一—

3

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②做簡諧運動的物體在一個周期內(nèi)運動的路程大②對于水平方向的彈簧振子，彈性勢能與動能的

小一定為4A；相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，振動周期7=27吊；

半個周期內(nèi)運動的路程一定為2A；

③對于豎直方向的彈簧振子，彈性勢能、重力勢

3個周期內(nèi)運動的路程不一定為A.

能與動能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

【原型題】（多選）一個質(zhì)點做簡諧運動的圖象如圖所考法總結(jié)：

示，下列說法正確的是（）①改變振子質(zhì)量對周期、振幅、能量的影響；

②振子為疊加型連接體時，分析連接體內(nèi)力的變

化規(guī)律.

【原型題】（多選）一水平彈簧振子做簡諧振動，則以下

說法正確的是（）

A.質(zhì)點的振動幅度為4cm

A.振子的質(zhì)量越大，則該振動系統(tǒng)的周期越長

B.質(zhì)點振動的頻率為0.25Hz

B.振子的質(zhì)量越大，則該彈簧振子系統(tǒng)的機(jī)械能

C.第5s末，質(zhì)點的速度為零，加速度最大

越大

D./=1.5s和t=4.5s兩時刻質(zhì)點的位移大小相等，

C.振子運動位移最大時，突然增大振子的質(zhì)量，

都是陋cm

彈簧振子的周期變大，振幅不變；

E.在9s內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的路程是18cm

D.已知振動周期為T,若\t=T,則在t時刻和（f

F.位移減小時，加速度減小，速度增大

+△/）時刻振子運動的加速度一定相同

G.物體運動方向指向平衡位置時，速度的方向與

E.若t時刻和（f+Af）時刻彈簧的長度相等，則Nt

位移的方向相反；背離平衡位置時，速度方向與位移

一定為振動周期的整數(shù)倍

方向相同

F.振子的動能相等時，彈簧的長度不一定相等

H.速度和加速度第一次同時恢復(fù)為原來的大小和

G若振子由A、2物體疊加而成，如圖所示，兩物

方向所經(jīng)歷的時間為一個周期

體間摩擦力的變化周期與彈簧振子的運動周期相同.

1.Z=2"（"=0,1,2……）時，質(zhì)點的動能最大，且運動

的過程中機(jī)械能不變.

///////////////,

J.質(zhì)點振動的表達(dá)式為x=2sin與

【解析】ACDF；彈簧振子的振動周期振子

【解析】BCDEFGHJ；由振動圖像可知，振幅為2cm,周

質(zhì)量越大，振動系統(tǒng)的周期越長，故A正確；同一振動系

7T

期為4s,頻率為0.25Hz,故質(zhì)點振動的表達(dá)式為x=2sin]統(tǒng)，振幅越大則機(jī)械能越大，而振幅與周期、振子質(zhì)量及

頻率等均無關(guān)，振子動能為。時，彈性勢能最大，此時的

t,A錯誤，B正確，J正確；由圖像可知，第5s末，質(zhì)點

彈性勢能就是振動系統(tǒng)的機(jī)械能，最大彈性勢能僅與彈簧

位移最大，此時回復(fù)力最大，質(zhì)點的速度為零，加速度最

的最大伸長量有關(guān)，錯誤；振子質(zhì)量增大，周期變大，

大，C正確；根據(jù)三角函數(shù)的周期性規(guī)律可知，/=1.5s和B

振子運動的最大位移就是振幅，故振幅不變，C正確；

f=4.5s兩時刻質(zhì)點的位移大小相等，都是也cm,D正確；

若N=T,則在t時刻和《十△%）時刻振子的位移相同，加

9s內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的路程的求法，周期為4s,9s=2x4s+1x4s,

速度也相同，故D正確；反例：從平衡位置再回到平衡位

兩個周期質(zhì)點經(jīng)過的路程為849個周期質(zhì)點經(jīng)歷的路程置，經(jīng)歷的時間最少為當(dāng)彈簧的長度相等，故E錯誤；

為A,故質(zhì)點經(jīng)過的總路程為9A=18cm故E正確；要衡位置對稱的兩個位置，振子的動能相等，彈簧的

減小時，振幅減小，回復(fù)力減小，加速度減小，F(xiàn)正確；A隨B一起做簡諧運動，A也會到到

勢能減小，質(zhì)點的速度增大，F(xiàn)正確；根據(jù)簡港振動的）復(fù)力的,A的回復(fù)力即是B對A的摩擦力，故A受

動特點可知，G正確，H正確；根據(jù)機(jī)械能《亙，動能的摩擦力時間變化與彈簧振子的運動周期相同，G正

大時，勢能最小，即彈簧恢復(fù)原長，t=2n（n=

質(zhì)點位移為0,速度最大，即動能最大..單擺的總結(jié)

2.彈簧振子的考法總結(jié)筆記

筆記力,周期的大小與擺線長度

的周期：7=2:

①彈簧振子運動特性滿足簡諧振動的運動隼

4

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和重力加速度大小有關(guān).

圖像的表達(dá)式：x=/6sinC++，)=/8cos，

考法總結(jié)：

乙圖：①平行紙面擺動時，單擺的有效擺長為/.

①改變擺球的質(zhì)量、對擺球施加外力（電磁力），分

析外界因素對單擺的周期影響；根據(jù)周期公式可知周期：7=2

77

②改變擺線的長度，分析單擺的周期與振幅的變振幅：A=/9（。為擺角）；初相：^>o=2

化規(guī)律；

定義：平衡點指向初始位置的方向為正方向，則振動

③改變擺線的長度，根據(jù)單擺前后周期大小，分圖像的表達(dá)式：x=/61sin（-^y^/+^）=l0cosyJ^t

析擺線改變的長度.

【原型題】如圖所示，小球的質(zhì)量為m,不考慮空氣②垂直紙面擺動時，單擺的有效擺長為（/+7）

根據(jù)周期公式可知周期：T=2R^

阻力，甲圖：為一單擺懸于。點，擺長為/,將小球拉

至側(cè)面，擺線與豎直方向的夾角為仇。小于等于5。，IT

振幅：A=/e（e為擺角）；初相：（po=2

靜止釋放，重力加速度為g;

定義：平衡點指向初始位置的方向為正方向，則振動

乙圖：在甲圖的基礎(chǔ)上，繩端通過兩節(jié)短繩與天

圖像的表達(dá)式：x=IBsincJ卷葉號=/8cos、備t

花板連接，分別分析小球平行紙面擺動與垂直紙面擺

動的情況；丙圖：小球在運動的過程中受到洛倫茲力，且洛倫茲

丙圖：在甲圖的基礎(chǔ)上，使小球帶+q的電荷量，力與繩力方向共線，洛倫茲力、繩力和重力沿繩方向的分

力的合力為0,且與回復(fù)力垂直，不影響回復(fù)力的大小，

并加上垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,

因此磁場并不影響小球在重力的作用力下做簡諧振動。

小球運動的過程中，擺線始終受力；

小球的振動與甲圖中的振動完全相同.

丁圖：在甲圖的基礎(chǔ)上，使小球帶+q的電荷量，丁圖：小球受到恒定的豎直向下的電場力作用，利用

并加上豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E;等效重力場的思想進(jìn)行解題，等效重力Ga=/ng+qE,等

戊圖：在甲圖的基礎(chǔ)上，若在。點的正下方的0,效重力加速度為8例=售詈.

點釘一個光滑釘子，使0（7=%,擺線與繩接觸無能量

根據(jù)周期公式可知周期：T=2K\P~

\lg等效

損失.

振幅：A=/e（。為擺角）；初相：（po=2

分析五種狀態(tài)下小球的振動周期與振動圖像的表

達(dá)式.定義：平衡點指向初始位置的方向為正方向，則振動

-JI

圖像的表達(dá)式：x=/9sin（t-\-2)=l3cos(0

戊圖：分情況進(jìn)行討論

情況一：從初始位置到最低點，由圖可知，單擺的有

效擺長為I.

根據(jù)周期公式可知周期：。=2

丙

jr

振幅：Ai=/e（e為擺角）；初相：<p0=2

定義：平衡點指向初始位置的方向為正方向，則振動

兀

9像的表達(dá)式：x=/9sin（/4-2)—/<9cos(

二：從最低點到左側(cè)最高點，如下圖所示，擺動

T戊做左側(cè)最南點時，擺角為夕，由圖可知，單擺的有效擺長

【解析】甲圖：由圖可知，單擺的有效擺長;

根據(jù)周期公式可知周期：T=2

7T

振幅：（。為擺角）；初相：90=2

5

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4.受迫振動與共振的考法

筆記

受迫振動的周期或頻率：T=T至、f=于單

受迫振動的振幅：

①當(dāng)驅(qū)動力的頻率/偏離固定驅(qū)動力的頻率%較

大時，受迫振動的振動A較??；

根據(jù)周期公式可知周期：乃=、/亍

②當(dāng)驅(qū)動力的頻率/等于固定驅(qū)動力的頻率弁時,

振動幅度的推算：

受迫振動的振動A最大.

根據(jù)機(jī)械能守恒可知：mg1（1—cos。）二根g（l—cos￡）

【原型題】如圖所示，在一條張緊的繩子上掛幾個擺,

化簡得：4cos。一cos￡=3其中A、B的擺長相等.當(dāng)A擺振動的時候，通過張緊

再利用公式：cosa=l—2sin2sina=a（a很小時）的繩子給B、C、。擺施加驅(qū)動力，使其余各擺做受迫

代入化簡得：片28振動.觀察8、C、。擺的振動發(fā)現(xiàn)（）

故振動幅度：Az=l巧.2吟19片

定義：平衡點指向初始位置的方向為正方向，則振動

圖像的表達(dá)式：x=/9sin（d^f+芻=2/6cos（d^r）

【原型題】將一單擺向左拉至水平標(biāo)志線上，從靜止

釋放，當(dāng)擺球運動到最低點時，擺線碰到障礙物，擺A.C擺的頻率最小

球繼續(xù)向右擺動.用頻閃照相機(jī)拍到如圖所示的單擺運B.D擺的周期最大

動過程的頻閃照片，以下說法正確的是（）C.B擺的擺角最大

D.B、C、。的擺角相同

【解析】C；由A擺擺動從而帶動其他3個單擺做受迫振

動，受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，故其他各擺振動

周期跟A擺相同，頻率也相等，故A、B錯誤；受迫振動

中，當(dāng)固有頻率等于驅(qū)動力頻率時，出現(xiàn)共振現(xiàn)象，振幅

達(dá)到最大，由于8擺的固有頻率與A擺的頻率相同，故B

擺發(fā)生共振，振幅最大，故C正確，D錯誤.

A.這個實驗說明了動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)

化過程中機(jī)械能守恒

B.擺線碰到障礙物前后的擺長之比為9：4

C.擺線經(jīng)過最低點時，線速度不變,半徑減小,

擺線張力變大

D.擺線經(jīng)過最低點時，角速度變大,半徑減小,

擺線張力不變

【解析】ABC；小球的細(xì)線即使碰到障礙物,細(xì)線的拉力

不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原來的高度，機(jī)

械能守恒，選項A正確.頻閃照片拍攝的時間間隔二塞

題圖可知，擺線與障礙物碰撞前后的周期之比為苗2,

彳得,擺長之比為隔：故

據(jù)單擺的周期公式7=2;4,

正確.擺線經(jīng)過最低點時，線速度不變，半徑變小，根

聲

一相g=m7知，張力變大.根據(jù)v=cor,知角，增大,t

C正確，D錯誤.

6

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題型筆記17.2實驗:用單擺測定重力加速度

筆記(6)改變擺長，重做幾次實驗，計算出每次實驗的

1.實驗原理重力加速度值，求出它們的平均值，該平均值即為當(dāng)

當(dāng)偏角很小時，單擺做簡諧運動，其運動周期為T地的重力加速度值.

(7)將測得的重力加速度值與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎?/p>

=2:3它與偏角的大小及擺球的質(zhì)量無關(guān)，由此

相比較，分析產(chǎn)生誤差的可能原因.

4兀2/

得到義=筆.因此，只要測出擺長/和振動周期T,就4.注意事項

(1)構(gòu)成單擺的條件：細(xì)線的質(zhì)量要小、彈性要小,

可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值.

選用體積小、密度大的小球，擺角不超過5。.

2.實驗器材

(2)要使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動，不能形成圓錐

帶有鐵夾的鐵架臺、中心有小孔的金屬小球、不

擺,方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放.

易伸長的細(xì)線(約1m)、秒表、毫米刻度尺和游標(biāo)卡尺.

(3)測周期的方法：

3.實驗步驟

①要從擺球過平衡位置時開始計時.因為此處速度

(1)讓細(xì)線的一端穿過金屬小球的小孔，然后打一

大、計時誤差小，而最高點速度小、計時誤差大.

個比小孔大一些的線結(jié)，做成單擺.

②要測多次全振動的時間來計算周期.如在擺球過

(2)把細(xì)線的上端用鐵夾固定在鐵架臺上，把鐵架

平衡位置時開始計時，且在數(shù)“零”的同時按下秒表,

臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然

以后每當(dāng)擺球從同一方向通過平衡位置時計數(shù)1次.

下垂，在單擺平衡位置處做上標(biāo)記，如圖所示.

(4)本實驗可以采用圖象法來處理數(shù)據(jù).即用縱軸

表示擺長I,用橫軸表示將實驗所得數(shù)據(jù)在坐標(biāo)平

面上標(biāo)出，應(yīng)該得到一條傾斜直線,直線的斜率左=券.

鐵架臺擺線

這是在眾多的實驗中經(jīng)常采用的科學(xué)處理數(shù)據(jù)的重要

方法.

5.數(shù)據(jù)處理

。擺球

標(biāo)記處理數(shù)據(jù)有兩種方法：

公式法：測出次或次全振動的時間t,利

(3)用毫米刻度尺量出擺線長度八用游標(biāo)卡尺測(1)3050

出擺球的直徑，即得出金屬小球半徑r,計算出擺用7=方求出周期；不改變擺長，反復(fù)測量三次，算出

長l=l'+r.47r2/

三次測得的周期的平均值，然后利用公式8=紫求重

(4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(不

超過5。)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺力加速度.

動平穩(wěn)后測出單擺完成30?50次全振動所用的時間包圖象法：由單擺周期公式不難推出：/=看。，

計算出金屬小球完成一次全振動所用時間，胡南

匚川因此，分別測出一系列擺長/對應(yīng)的周期作/一/

t/7T,

就是單擺的振動周期，即T=京N為全振利勺次數(shù):小E

應(yīng)是一條通過原點的直線，如圖所示,

黑,即可利用g=4n2左求重力加

反復(fù)測3次，再算出周期的平均值T='錮線的姆率k=

'31履度.

(5)根據(jù)單擺周期公式T=2'當(dāng)?shù)氐闹?/p>

g

4兀2/物

力加速度8=景.

7

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6.誤差分析【解析】(1)AC(2)12.00.9930(3)A

(1)系統(tǒng)誤差的主要來源：懸點不固定，球、線不(1)橡皮的作用是使擺線擺動過程中懸點位置不變，從而保

符合要求，振動是圓錐擺而不是在同一豎直平面內(nèi)的證擺長不變，同時又便于調(diào)節(jié)擺長，A、C正確；(2)根據(jù)

游標(biāo)卡尺讀數(shù)規(guī)則可得擺球直徑為d=U

振動等.mm+0.1mmxO

=12.0mm,則單擺擺長為￡o=L—^=0.9930m(注意統(tǒng)一

(2)偶然誤差主要來自時間的測量，因此，要從擺

球通過平衡位置時開始計時，不能多計或漏計全振動單位)；(3)單擺擺角不超過5。，且計時位置應(yīng)從最低點(即

次數(shù).速度最大位置)開始，故A項的操作符合要求.

【原型題】某同學(xué)用單擺測當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?他測出

【原型題】某同學(xué)用實驗的方法探究影響單擺周期的

因素.了擺線長度L和擺動周期T,如圖(a)所示.通過改變懸

線長度3測出對應(yīng)的擺動周期T,獲得多組7與L

(1)他組裝單擺時，在擺線上端的懸點處，用一塊開有