4.3利用導數求極值最值（精練）【題組一無參函數的極值（點）】1．（2021·陜西漢中市）設是函數的一個極值點，則（）A．﹣3 B． C． D．3【答案】C【解析】∵由已知可得，∴．故選：C．2．（2021·浙江）函數在處（）A．有極大值 B．無極值 C．有極小值 D．無法確定極值情況【答案】B【解析】，則，令，解得，令，解得，令，或，所以函數在單調遞增；在單調遞減，所以在處無極值.故選：B3．（2021·全國專題練習）已知函數，則（）A．在上為增函數 B．在上為減函數C．在上有極大值 D．在上有極小值【答案】A【解析】，，令，則，因此在上，，單減；在上，，單增；又，因此，即，故在及上，單增，無極值，故選：A4．（2021·全國高三專題練習）函數（e為自然對數的底數），則下列說法正確的是（）A．在R上只有一個極值點 B．在R上沒有極值點C．在處取得極值點 D．在處取得極值點【答案】C【解析】由題意，，∴若，即或，令，則，∴當時，；當時，；∴在上遞減，在上遞增；又，而，故在上存在一個零點.∴在R上至少存在兩個極值點，分別為、.故選：C5．（2021·安徽池州市）若函數，則（）A．既有極大值，也有極小值 B．有極小值，無極大值C．有極大值，無極小值 D．既無極大值，也無極小值【答案】B【解析】依題意，；令，解得，故當時，，當時，，故當時，函數有極小值，且函數無極大值，故選：B．6．（2021·江蘇）若函數的極大值點與極大值分別為a，b，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，或，，或，在單調遞增，在單調遞減，為極大值點，且，，，，故選：C.7．（2021·江西上饒市）函數的所有極大值點從小到大排成數列，設是數列的前項和，則（）A．1 B． C． D．0【答案】B【解析】在，先在時討論時極值點．由已知，由得，或，，易知當（）時，，當（）時，，所以的極大值點是，所以，是等差數列，公差，首項為，，是偶數，所以．故選：B．8．（2021·安徽省太和中學高三）設函數，則（）A．有極大值，且有最大值B．有極小值，但無最小值C．若方程恰有一個實根，則D．若方程恰有三個實根，則【答案】D【解析】由題意，∴當或時，，當時，，在和上遞增，在上遞減．極大值＝，極小值＝，或時，，時，，時，，∴也是最小值．無最大值．作出的圖象，和直線，如圖，當或時，有一個根，當時，有三個根．故選：D．9．（2021·安徽師范大學附屬中學）函數的極值點是___________.【答案】1【解析】的定義域為，，所以令，解得，令，解得，所以為的極值點.故答案為：1.10．（2021·湖北武漢市·華中師大一附中）寫出一個定義在上且使得命題“若，則1為函數的極值點”為假命題的函數__________．【答案】答案不唯一)【解析】由題意，且在處不存在變號零點，例如，則，所以，且，符合題意.故答案為：答案不唯一)11．（2021·陜西寶雞市）設是函數的一個極值點，則___________.【答案】【解析】因為，是函數的一個極值點所以，所以所以故答案為：【題組二圖像與極值（點）】1．（2021·全國課時練習）已知函數的導函數為，函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A．在，上為減函數B．在，上為增函數C．的極小值為，極大值為D．的極大值為，極小值為【答案】D【解析】根據函數的圖象可知：當時，，即，因此當時，函數單調遞增；當時，，即，因此當時，函數單調遞減，顯然當，函數有極小值，極小值為；當時，，即，因此當時，函數單調遞減；當時，，即，因此當時，函數單調遞增，顯然當，函數有極大值，極大值為，由上可以判斷D是正確的.故選：D2．（2021·甘肅蘭州市·蘭州一中）設三次函數的導函數為，函數的部分圖象如下圖所示，則（）A．的極大值為，極小值為B．的極大值為，極小值為C．的極大值為，極小值為D．的極大值為，極小值為【答案】A【解析】觀察圖像知，當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增；故當時，函數取得極小值為；當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減；故當時，函數取得極大值為；故選：A3．（2021·全國課時練習）若函數可導，則“有實根”是“有極值”的（）．A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，但在零點左側和右側都同時大于零或者小于零時在零點處無極值，但有極值則在極值處一定等于.所以“有實根”是“有極值”的必要不充分條件.故選：A4．（2021·浙江高二課時練習）設，則函數（）A．有且僅有一個極小值 B．有且僅有一個極大值C．有無數個極值 D．沒有極值【答案】A【解析】，，∴單調遞增且，∴當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，故有唯一的極小值點.故選：A.5．（2021·全國課時練習）如圖是f(x)的導函數f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由導函數f′(x)的圖象知在x＝－2處f′(－2)＝0，且其兩側導數符號為左正右負，x＝－2是極大值；在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側導數符號為左負右正，x＝－1是極小值；在x＝－3處f′(2)＝0，且其兩側導數符號為左正右負，x＝2是極大值；所以f(x)的極小值點的個數為1，故選：A10．（2021·全國課時練習）下列說法正確的是（）A．當時，則為的極大值B．當時，則為的極小值C．當時，則為的極值D．當為的極值且存在時，則有【答案】D【解析】不妨設函數則可排除ABC由導數求極值的方法知當為的極值且存在時，則有故選：D11．（2021·陜西西安市）設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是A．函數有極大值和極小值B．函數有極大值和極小值C．函數有極大值和極小值D．函數有極大值和極小值【答案】D【解析】則函數增；則函數減；則函數減；則函數增；選D.【題組三已知極值（點）求參數】1．（2021·江蘇蘇州市）已知函數在x=1處取得極大值，則m的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或【答案】B【解析】由題意得：，因為在x=1處取得極大值，所以，解得或，當時，，令，解得或，當時，，為增函數，當時，，為減函數，所以在處取得極小值，不符合題意，故舍去，當時，，令，解得或，當時，，為增函數，當時，，為減函數，所以在處取得極大值，故滿足題意綜上.故選：B2．（2021·四川涼山彝族自治州）若是函數的極值點，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數，所以，因為是函數的極值點，所以，即，兩邊取以e為底的對數得：，即，令，即，因為，所以在上遞增，所以，即，故選：C3．（2021·浙江）已函，若在處取得極小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，滿足題意；當時，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，滿足題意；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，滿足題意；當時，在上單調遞增，不滿足題意；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，不滿足題意．故的取值范圍為，故選：D．4．（2021·湖南師大附中）已知函數在處取得極值0，則（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或9【答案】B【解析】因為，由題有，即，解得或，檢驗：當時，不合題意，舍掉；當'時，，令，得或；令得.所以在，上單調遞增，在上單調遞減，符合題意，則.故選：B.5．（2021·四川成都市）在中，，，分別為，，所對的邊，若函數有極值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，根據有極值點，則有兩個不同的實數根.所以，即由余弦定理可得，由，所以，由，則所以的范圍是故選：B6．（2021·安徽宣城市）若函數存在兩個極值點，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數，，由函數存在兩個極值點，，有兩個不等實數根，，，解得．且，．則，令，．，在上單調遞減．．的取值范圍是．故選：A．7．（2021·浙江高三月考）已知，若不是函數的極小值點，則下列選項符合的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，得.下面利用數軸標根法畫出的草圖，借助圖象對選項A，B，C，D逐一分析.對選項A：若，由圖可知是的極小值點，不合題意；對選項B：若，由圖可知不是的極小值點，符合題意；對選項C：若，由圖可知是的極小值點，不合題意；對選項D：若，由圖可知是的極小值點，不合題意；故選：B.8（2021·全國高三其他模擬）已知函數，若函數有三個極值點，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，求導，得，令，得，或.要使有三個極值點，則有三個變號實根，即方程有兩個不等于1的變號實根.，令，則，令，得.易知，且，；，.所以，當時，方程即有兩個變號實根，又，所以，即.綜上，的取值范圍是.故選：C.【題組四無參函數的最值】1．（多選）（2021·江蘇泰州市）函數y＝f（x）的導函數的圖象如圖所示，以下命題錯誤的是（）A．﹣3是函數y＝f（x）的極值點B．﹣1是函數y＝f（x）的最小值點C．y＝f（x）在區間（﹣3，1）上單調遞增D．y＝f（x）在x＝0處切線的斜率小于零．【答案】BD【解析】根據導函數圖象可知當x∈（﹣∞,﹣3）時，，在時，，∴函數y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上單調遞減，在上單調遞增，故C正確；則﹣3是函數y＝f（x）的極小值點，故A正確；∵在上單調遞增，∴﹣1不是函數y＝f（x）的最小值點，故B不正確；∵函數y＝f（x）在x＝0處的導數大于0，∴切線的斜率大于零，故D不正確；故選：BD2．（多選）（2021·廣東潮州市·高三二模）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A． B．C．時，取得最大值 D．時，取得最小值【答案】AB【解析】由圖象可知：當時，；當時，；在，上單調遞增，在上單調遞減；對于A，，，A正確；對于B，，，B正確；對于C，由單調性知為極大值，當時，可能存在，C錯誤；對于D，由單調性知，D錯誤.故選：AB.3．（多選）（2021·山東濰坊市·高三三模）已知函數，則下列結論正確的是（）A．的周期為 B．的圖象關于對稱C．的最大值為 D．在區間在上單調遞減【答案】ACD【解析】由于，故A正確；由于，即的圖象不關于對稱，故B錯誤；當時，，函數單調遞增；當或時，，函數單調遞減；所以，故C正確；由C項分析可知，在上單調遞減，故D正確；故選：ACD.4．（2021·全國高考真題）函數的最小值為______.【答案】1【解析】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.5．（2021·江西高三二模）已知函數，則在上的最大值是__________．【答案】【解析】由題意可知，，，．當時，，函數在區間上單調遞增，則．故答案為：6．（2021·湖南）函數的最小值為_________.【答案】【解析】當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，的最小值為【題組五已知最值求參數】1．（2021·湖南）已知是的極值點，則在上的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，且，∴，則，∴當時，，單調遞減；當或時，，單調遞增；∴在上，單調遞增；，單調遞減；∵，∴在上最大值是.故選：A.2．（多選）（2021·云南）已知函數，若在區間上的最大值為28，則實數k的值可以是（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因為，所以，令，解得，所以在和時，，在時，，所以函數在和上單調遞增，函數在上單調遞減，則在內單調遞增，所以在內，最大；在時單調遞減，所以在內，最大；在時單調遞增，所以在內，最大；因為，且在區間上的最大值為28，所以，即k的取值范圍是，故選：AB.3（2021·江西）已知函數有最小值，則函數的零點個數為（）A．0 B．1 C．2 D．不確定【答案】C【解析】由題意，，因為函數有最小值，且，所以函數存在單調遞減區間，即有解，所以有兩個不等實根，所以函數的零點個數為2.故選：C.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的最值，考查了運算求解能力，屬于基礎題.4．（2021·四川眉山市）若曲線在點處的切線方程為，則的最小值為（）A．1 B． C． D．1【答案】C【解析】由，則切點為求導，則切線斜率，切線方程為，即則令，則，令，得當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；故當時，函數取得最小值，即的最小值為故選：C5．（2021·西藏拉薩市·高三二模（理））設函數，直線是曲線的切線，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得.設切點，則;則切線方程為即又因為是曲線的切線所以則.令.則.則有時，在上遞減;時，在上遞增﹐所以時，取最大值即的最大值為.故選：D．6．（2021·全國高三專題練習（理））已知函數在上單調遞減，則實數的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由在上單調遞減，得，即，令，則，當時，，則，所以，即，所以在是單調遞減函數，，得，的最小值為.故選：D.7．（2021·上海）函數在，上最大值為2，最小值為0，則實數取值范圍為（）A．， B．， C．， D．【答案】A【解析】.，，令，則或(舍負)，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.函數在，上最大值為2，最小值為0，且，（1），.故選：A.8．（2021·青海）函數+m在[0，2]上的最小值是2e，則最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【