專題41直線與圓、圓與圓的位置關系8題型分類1．直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內切d＝|r1－r2|內含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結論1．圓的切線方程常用結論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關系的常用結論(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．（一）判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系判斷．(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．題型1：直線與圓位置關系的判斷1-1．（2024·河北張家口·二模）已知點為圓上的動點，則直線與圓的位置關系為（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交1-2．（2024·安徽蚌埠·三模）直線與圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定1-3．（2024高三·黑龍江綏化·階段練習）若直線與圓相交，則點（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．以上都有可能題型2：圓上的點到直線距離個數問題2-1．（2024高二上·四川·期末）若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．2-2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為()A． B．C． D．2-3．（2024·江蘇南京·模擬預測）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．42-4．（2024高三上·貴州貴陽·期末）若圓上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（二）弦長問題①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數關系得弦長：．題型3：弦長問題3-1．（2024·寧夏銀川·三模）已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數，則滿足條件的直線l有條.3-2．（2024·廣東深圳·二模）過點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為.3-3．（2024·全國）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．3-4．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知直線：與圓：交于，兩點，則．（三）1.當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.(2)代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.注意驗證斜率不存在的情況．2.常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．題型4：切線問題4-1．（2024·河南開封·三模）已知點，，經過B作圓的切線與y軸交于點P，則．4-2．（2024·北京·模擬預測）經過點且與圓相切的直線方程為．4-3．（2024高三上·貴州·開學考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為.4-4．（2024高三上·湖北·開學考試）已知過點作圓的切線，則切線長為.4-5．（2024高二下·上海楊浦·期中）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為．4-6．（2024高三上·湖北·階段練習）已知，，過x軸上一點P分別作兩圓的切線，切點分別是M，N，當取到最小值時，點P坐標為.（四）涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長度表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求得結果．題型5：直線與圓位置關系中的最值(范圍)問題5-1．（2024高三上·北京昌平·期中）已知圓與直線相交于兩點，則的最小值是.5-2．（2024·江蘇鎮江·二模）已知，點A為直線上的動點，過點A作直線與相切于點P，若，則的最小值為.5-3．（2024高三下·安徽池州·階段練習）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為.5-4．（2024高三上·河南洛陽·開學考試）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.5-5．（2024·湖北·模擬預測）已知點在圓運動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．（五）圓與圓的位置關系(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．題型6：圓與圓的位置關系6-1．（2024·河北唐山·二模）已知圓：，圓：，則與的位置關系是（

）A．外切 B．內切 C．相交 D．外離6-2．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則b的取值范圍為（

）A． B． C． D．6-3．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知，，若圓上存在點P滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6-4．（2024高二上·北京·階段練習）圓．與圓的位置關系是（

）A．內切 B．相交 C．外切 D．外離題型7：兩圓的公共弦問題7-1．（2024·全國·模擬預測）若圓與圓交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為.7-2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點，則7-3．（2024·天津和平·二模）圓與圓的公共弦所在的直線方程為．題型8：兩圓的公切線問題8-1．（2024·湖南長沙·一模）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為.8-2．（2024·河南·模擬預測）圓與x軸交于A，B兩點(A在B的左側)，點N滿足，直線與圓M和點N的軌跡同時相切，則直線l的斜率為．8-3．（2024·湖北·模擬預測）已知圓與圓有三條公切線，則．8-4．（2024·湖南岳陽·三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程．一、單選題1．（2024·陜西寶雞·二模）直線l：與曲線C：的交點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定2．（2024·江西·模擬預測）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數k的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024·北京）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．4．（2024高二上·黑龍江鶴崗·期中）圓上到直線的距離為的點共有A．個 B．個 C．個 D．個5．（2024高三·全國·專題練習）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．96．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點P的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·山西·模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條8．（2024高二上·安徽滁州·期末）圓：與圓：公切線的條數為（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2024·江西上饒·一模）直線與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定10．（2024·四川成都·一模）圓：與直線：的位置關系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定11．（2024高二上·廣東珠海·期末）德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．12．（2024高二上·四川內江·期中）已知點P在圓上，點，，則錯誤的是（

）A．點P到直線AB的距離小于10 B．點P到直線AB的距離大于2C．當最小時， D．當最大時，13．（2024·河南·模擬預測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（

）A．1 B． C． D．214．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點，以點A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點為（在點A右側），點在圓上，當最大時，的面積為（

）A． B．8 C． D．15．（2024·四川成都·模擬預測）德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當的外接圓與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數的值為（

）A．2 B．3 C．或 D．2或416．（2024·全國）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．17．（2024·全國）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．18．（2024高二下·河北衡水·期末）若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．19．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當四邊形的面積最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．20．（湖南省常德市第一中學2022屆高三考前二模數學試題）已知圓和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．321．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐標系中，已知兩點，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條22．（2024·安徽黃山·二模）若圓關于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標為（

）A． B． C． D．23．（2024·貴州畢節·一模）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．24．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數的值是（

）A． B． C． D．25．（2024高三·北京·強基計劃）如圖，過橢圓上一點M作圓的兩條切線，過切點的直線與坐標軸于P，Q兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對26．（2024·黑龍江大慶·三模）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條27．（2024·河南·模擬預測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題28．（2024高三上·江蘇南京·階段練習）已知圓：，點M在拋物線：上運動，過點引直線與圓相切，切點分別為，則下列選項中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．三、填空題29．（2024·天津南開·二模）若直線與圓相切，則.30．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習）已知分別是圓，圓上動點，是直線上的動點，則的最小值為．31．（2024高三上·天津濱海新·階段練習）已知圓與直線相交所得圓的弦長是，若過點作圓的切線，則切線長為.32．（2024·福建福州·模擬預測）寫出經過拋物線的焦點且和圓相切的一條直線的方程.33．（2024高三上·廣東梅州·階段練習）直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是.34．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知圓與圓相交于兩點，則.35．（河北省石家莊部分重點高中2023屆高三下學期3月月考數學試題）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點，交于點，且直線平分正方形的周長，當線段的長度最小時，點到直線的距離為.

36．（2024·江西·模擬預測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為.37．（2024·河北邯鄲·二模）已知直線與圓交于A，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是.38．（2024·廣東廣州·三模）寫出經過點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程．39．（2024高三下·江西南昌·階段練習）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程為.40．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知圓，直線與圓C相交于M，N兩點，則．41．（2024高二下·新疆·期中）已知P是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．42．（2024高三上·福建福州·期中）已知是圓上兩點，若，則的最大值為.43．（2024高三上·廣東·階段練習）已知實數x，y滿足：，則的取值范圍是．44．（2024高二上·河北石家莊·期中）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點，當|AB|最小值時，直線l的一般式方程是.45．（2024高三下·安徽亳州·開學考試）若在圓C：上存在一點P，使得過點P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為．46．（2024·江蘇無錫·三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為.47．（2024·四川成都·二模）若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為．48．（2024·江蘇·二模）過點且與圓：相切的直線方程為49．（2024高二上·上海浦東新·期中）已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是．50．（2024·河北邯鄲·一模）已知點，，符合點A，B到直線l的距離分別為1，3的直線方程為（寫出一條即可）．51．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知圓與直線相切，函數過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為.52．（2024高二下·廣東廣州·期末）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.53．（2024·福建寧德·模擬預測）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．54．（2024高三下·上海徐匯·階段練習）若，則的最小值為.55．（2024高三·全國·專題練習）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程：.56．（2024高三下·湖南·階段練習）寫出一條與圓和曲線都相切的直線的方程：.57．（2024·廣東惠州·模擬預測）在圓內，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為．58．（2024高三上·浙江麗水·期末）已知圓與圓相交于兩點，則.59．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為.60．（2024高二上·江蘇淮安·期中）圓與圓的公共弦的長為．61．（2024高三下·浙江·階段練習）從拋物線上一點作圓：得兩條切線，切點為，則當四邊形面積最小時直線方程為.62．（2024高三·河南·階段練習）已知函數的圖象恒過定點A，圓上兩點，滿足，則的最小值為．63．（2024·安徽阜陽·三模）已知A，B分別為圓與圓上的點，O為坐標原點，則面積的最大值為.四、解答題64．（2024高二上·山東濰坊·階段練習）已知兩個條件：①圓心在直線上，直線與圓相交所得的弦長為4；②圓過圓和圓的公共點.在這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題.問題：是否存在唯一的圓過點且___________，并說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.65．（2024·全國）已知點，圓，過點的動直線與圓交于，兩點，線段的中點為，為坐標原點．（1）求的軌跡方程；（2）當時，求的方程及的面積．66．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知圓C的半徑為3，圓心C在射線上，直線被圓C截得的弦長為(1)求圓C方程;(2)過點的直線l與圓C交于M、N兩點，且的面積是為坐標原點，求直線l的方程.67．（2024高二·全國·課后作業）已知圓．求證：對任意不等于的實數，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數學同步資源大全QQ群552511468也可聯系微信fjshuxue加入百度網盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題41直線與圓、圓與圓的位置關系8題型分類1．直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內切d＝|r1－r2|內含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結論1．圓的切線方程常用結論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關系的常用結論(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．（一）判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系判斷．(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．題型1：直線與圓位置關系的判斷1-1．（2024·河北張家口·二模）已知點為圓上的動點，則直線與圓的位置關系為（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交【答案】C【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關系即可求解.【詳解】利用圓心距和半徑的關系來確定直線與圓的位置關系.由題意可得，于是，所以直線和圓相切.故選:C.1-2．（2024·安徽蚌埠·三模）直線與圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】判斷出直線的定點坐標，然后判斷定點與圓的位置關系，進而可得直線與圓的位置關系.【詳解】已知直線過定點，將點代入圓的方程可得，可知點在圓內，所以直線與圓相交.故選：A.1-3．（2024高三·黑龍江綏化·階段練習）若直線與圓相交，則點（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．以上都有可能【答案】B【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關系確定點與圓的位置關系即可.【詳解】直線與圓有兩個不同的交點，則圓心到直線的距離小于半徑，即：，即，據此可得：點與圓的位置關系是點在圓外.故選：B.題型2：圓上的點到直線距離個數問題2-1．（2024高二上·四川·期末）若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得圓心到直線的距離，根據題意列出的不等關系式，即可求得的范圍.【詳解】因為圓心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.2-2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓的方程可知圓心和半徑，根據條件列不等式求解即可.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為2，因為圓上的點到直線的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線的距離，即，解得.故選:A.2-3．（2024·江蘇南京·模擬預測）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求得符合題意條件的R的取值范圍，即可做出判斷.【詳解】圓C：的圓心，半徑R點C到直線的距離為圓C上恰好存在2個點到直線的距離為1，則故選：B2-4．（2024高三上·貴州貴陽·期末）若圓上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出與直線平行且到直線的距離為的直線的方程分別為、，由題意可知，這兩條直線與圓都相交，根據直線與圓的位置關系可得出關于實數的不等式組，即可解得實數的取值范圍.【詳解】將圓的方程化為標準方程為，圓心為，半徑為，設與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.故選：C.（二）弦長問題①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數關系得弦長：．題型3：弦長問題3-1．（2024·寧夏銀川·三模）已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數，則滿足條件的直線l有條.【答案】9【分析】根據題意可知直線l恒過定點，分別求得直線被圓截得弦長的最大值和最小值，利用對稱性即可求得滿足條件的直線l共有9條.【詳解】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過定點；圓心，半徑；所以當直線過圓心時弦長取最大值，此時弦長為直徑；易知，當圓心與的連線與直線l垂直時，弦長最小，如下圖所示；

此時弦長為，所以截得的弦長為整數可取；由對稱性可知，當弦長為時，各對應兩條，共8條，當弦長為8時，只有直徑1條，所以滿足條件的直線l共有9條.故答案為：93-2．（2024·廣東深圳·二模）過點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為.【答案】【分析】首先將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，由弦長求出圓心到直線的距離，分析可得直線的斜率存在，設直線方程為，利用點到直線的距離公式求出，即可得解.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，若弦長，則圓心到直線的距離，顯然直線的斜率存在，設直線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為.故答案為：3-3．（2024·全國）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（中任意一個皆可以）【分析】根據直線與圓的位置關系，求出弦長，以及點到直線的距離，結合面積公式即可解出．【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．3-4．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知直線：與圓：交于，兩點，則．【答案】【分析】首先確定圓心和半徑，應用點線距離公式求圓心到直線的距離，再由幾何法求弦長即可.【詳解】由，故圓心，半徑為，所以，圓心到直線的距離為，∴．故答案為：（三）1.當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.(2)代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.注意驗證斜率不存在的情況．2.常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．題型4：切線問題4-1．（2024·河南開封·三模）已知點，，經過B作圓的切線與y軸交于點P，則．【答案】【分析】由直線與圓的位置關系作出切線，求得，再用兩角和與差的正切公式即可得結果.【詳解】如圖所示，設圓心為C點，則，，則點在圓上，且，由與圓相切可得：，則，，則，故，則，從而可得,故答案為：.4-2．（2024·北京·模擬預測）經過點且與圓相切的直線方程為．【答案】【分析】根據直線與圓相切，由圓心到直線的距離相等，分直線的斜率不存在和存在討論求解.【詳解】解：圓的標準方程為：，當直線的斜率不存在時，直線方程為，不符合題意；當直線的斜率存在時，設直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離相等，即，化簡得，解得，，綜上：直線方程為：，故答案為：4-3．（2024高三上·貴州·開學考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為.【答案】【分析】根據圓的切線長公式，結合，利用圓的性質，即可求解.【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，如圖所示，根據圓的切線長公式，可得，則，,當取最小值時，取最小值，又，所以此時最小，也最小，取最小值，圓心到直線的距離，則，此時，則.故答案為：.4-4．（2024高三上·湖北·開學考試）已知過點作圓的切線，則切線長為.【答案】【分析】根據題意，利用圓的切線長公式，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心，半徑，設切點為，因為，可得，所以切線長為.故答案為：.4-5．（2024高二下·上海楊浦·期中）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為．【答案】【分析】設過點的切線與圓相切于點，分析可知當與直線垂直時，取最小值，再利用勾股定理可求得切線長的最小值.【詳解】設過點的切線與圓相切于點，連接，則，圓的圓心為，半徑為，則，當與直線垂直時，取最小值，且最小值為，所以，，即切線長的最小值為.故答案為：.4-6．（2024高三上·湖北·階段練習）已知，，過x軸上一點P分別作兩圓的切線，切點分別是M，N，當取到最小值時，點P坐標為.【答案】【分析】，則，可看成點到兩定點，的距離和，而兩點在軸的兩側，所以連線與軸的交點就是所求點.【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，設，則，所以，取，則，當三點共線時取等號，此時直線：令，則，，故答案為：

【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與圓的位置關系，考查距離公式的應用，解題的關鍵是將問題轉化為點到兩定點，的距離和的最小值，結合圖形求解，考查數形結合的思想，屬于較難題.（四）涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長度表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求得結果．題型5：直線與圓位置關系中的最值(范圍)問題5-1．（2024高三上·北京昌平·期中）已知圓與直線相交于兩點，則的最小值是.【答案】【分析】根據題意，分析圓的圓心與半徑，將直線的方程變形為，恒過定點，分析可得在圓內部，分析可得：當直線與垂直時，弦最小，求出此時的值，由勾股定理分析可得答案.【詳解】根據題意，圓即，圓心的坐標為，半徑，直線，即，恒過定點，又由圓的方程為，則點在圓內，分析可得：當直線與垂直時，弦最小，此時，則的最小值為；故答案為：.5-2．（2024·江蘇鎮江·二模）已知，點A為直線上的動點，過點A作直線與相切于點P，若，則的最小值為.【答案】【分析】設，連接，求出、，求的最小值可轉化為求到兩點和距離和的最小值，連接可得答案.【詳解】設，，連接，所以，且，所以，，所以求的最小值可轉化為求到兩點和距離和的最小值，如圖，連接即可，所以，故答案為：.5-3．（2024高三下·安徽池州·階段練習）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為.【答案】【分析】由題意分析可得，當直線時，最小，此時求出以為直徑的圓的方程，兩圓方程聯立即可求得直線的方程.【詳解】圓的方程可化為，則圓心，半徑，可得點到直線的距離為，所以直線與圓相離，依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，原題意等價于取到最小值，當直線時，，此時最小.的直線方程為：，與聯立，解得：，即，則的中點為，所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為.故答案為：.5-4．（2024高三上·河南洛陽·開學考試）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.【答案】/【分析】根據題意，將求周長的最小值轉化為求圓心到直線的距離，進而得解.【詳解】由圓知圓心，半徑，因為與圓相切于點，所以，所以，所以越小，越小，

當時，最小，因為圓心到直線的距離為，所以的最小值為6，此時，，，故的周長的最小值為.故答案為：.5-5．（2024·湖北·模擬預測）已知點在圓運動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由恒成立可知，始終在以為直徑的圓內或圓上，求出點到直線的距離即得線段長度的最小值.【詳解】如圖，由題可知，圓心為點，半徑為1，若直線上存在兩點，使得恒成立，則始終在以為直徑的圓內或圓上，點到直線的距離為，所以長度的最小值為.故選：D（五）圓與圓的位置關系(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．題型6：圓與圓的位置關系6-1．（2024·河北唐山·二模）已知圓：，圓：，則與的位置關系是（

）A．外切 B．內切 C．相交 D．外離【答案】C【分析】算出兩圓圓心的距離，然后與兩圓半徑之和、差比較即可.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以所以圓與的位置關系是相交.故選:C.6-2．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則b的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉化為以為直徑的圓與圓有交點，結合圖形可得.【詳解】因為圓C上存在點P，使得，所以，以為直徑的圓與圓有交點，又以為直徑的圓，圓心為O0,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為2，所以，即，即.故選：A

6-3．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知，，若圓上存在點P滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設點，由，得P的軌跡方程為，再由兩圓相交求解．【詳解】設點，則，，所以，所以P的軌跡方程為，圓心為，半徑為3．由此可知圓與有公共點，又圓的圓心為，半徑為2，所以，解得，即的取值范圍是．故選：A．6-4．（2024高二上·北京·階段練習）圓．與圓的位置關系是（

）A．內切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】C【分析】根據條件，先求出兩圓的圓心和半徑，再利用兩圓位置關系的判斷方法，即可求解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，又，所以兩圓的位置關系為外切，故選：C.題型7：兩圓的公共弦問題7-1．（2024·全國·模擬預測）若圓與圓交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為.【答案】【分析】根據題意可得：兩圓方程之差即為直線PQ的方程，運算求解即可.【詳解】∵圓與圓相交，則兩圓方程之差即為直線PQ的方程，將與作差得，整理得，即直線PQ的方程為.故答案為：.7-2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點，則【答案】【分析】根據兩圓相交時公共弦所在直線方程的求法和弦長公式求解.【詳解】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.7-3．（2024·天津和平·二模）圓與圓的公共弦所在的直線方程為．【答案】【分析】兩式相減，即可得到兩圓公共弦所在的直線方程.【詳解】聯立，兩式相減得.故答案為：題型8：兩圓的公切線問題8-1．（2024·湖南長沙·一模）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為.【答案】【分析】根據題意作出如下圖形：

由圓方程求出圓心連線斜率為：，計算出圓心距，再利用外公切線的斜率為7求出圓心連線與公切線的夾角，從而在直角三角形中列方程求得，聯立方程即可求出，，問題得解．【詳解】根據題意作出如下圖形：

AB為兩圓的公切線，切點分別為A,B.當公切線AB與直線平行時，公切線AB斜率不為7，即不妨設過作AB的平行線交于點E，則：，且,直線的斜率為：，所以直線AB與直線的夾角正切為：.在直角三角形中，，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，，所以=.【點睛】本題主要考查了圓的公切線特點及兩直線夾角公式，還考查了解三角形知識及計算能力、方程思想，屬于中檔題．8-2．（2024·河南·模擬預測）圓與x軸交于A，B兩點(A在B的左側)，點N滿足，直線與圓M和點N的軌跡同時相切，則直線l的斜率為．【答案】【分析】求出A、B坐標，設N(x,y)，求出N的軌跡圓E的方程，作出圖象，利用圓的公切線的幾何性質即可求其斜率．【詳解】對于圓，令，得，解得或，則，．設，∵，∴，則，整理得，則點N的軌跡是圓心為，半徑為的圓．又圓M的方程為，則圓M的圓心為，半徑為．∵，∴兩圓相交，設直線l與圓M和點N軌跡圓E切點分別為C，D，連接CM，DE，過M作DE的垂線，垂足為點F，則四邊形CDFM為矩形，∵，，∴，則，則兩圓公切線CD的斜率即為直線FM的斜率為．故答案為：.8-3．（2024·湖北·模擬預測）已知圓與圓有三條公切線，則．【答案】或【分析】根據兩圓有三條公切線可知兩圓外切，然后由兩圓心距等于兩半徑之和列式，分類討論可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為圓與圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以即當時，，即解得或（舍去）當時，，即解得或（舍去）當時，，即解得（舍去）綜上，或故答案為：或8-4．（2024·湖南岳陽·三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程．【答案】或中任何一個答案均可【分析】先判斷兩圓的位置關系，可知公切線斜率存在，方程可設為，根據圓心到直線的距離等于半徑列出方程組，解之即可得出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）一、單選題1．（2024·陜西寶雞·二模）直線l：與曲線C：的交點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【答案】B【分析】根據圓與直線的位置關系求法結合同角的三角函數關系得出曲線C與直線l位置關系，即可得出答案.【詳解】曲線C：是圓心在上，半徑的圓，則圓心與直線l的距離，，曲線C與直線l相切，即只有一個交點，故選：B2．（2024·江西·模擬預測）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，由兩點距離公式計算可得根據題意可得，進而利用點到直線的距離公式即可求解．【詳解】設，，，即．點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點Q使得，則PQ為圓的切線時最大，，即．圓心到直線的距離，或．故選：C．3．（2024·北京）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．4．（2024高二上·黑龍江鶴崗·期中）圓上到直線的距離為的點共有A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關系即可得解.【詳解】圓可變為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關系，考查了學生合理轉化的能力，屬于基礎題.5．（2024高三·全國·專題練習）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．9【答案】D【分析】根據兩圓公切線的性質，結合基本不等式進行求解即可.【詳解】因為圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，所以兩圓相內切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設可知，當且僅當a2＝2b2時等號成立．故選：D.6．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點P的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設P(x,y)，由求得點軌跡是圓，又在已知圓上，判斷出兩圓相交后可得點個數．【詳解】設P(x,y)，則(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圓心為，半徑為2，又圓圓心為，半徑為2，因為，所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交，所以點P的個數為2.故選：B.7．（2024·山西·模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【分析】先根據題意求得，從而得到兩圓的圓心和半徑，進而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內切，即可知道公切線只有1條.【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因為，所以.所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標準方程為，圓心坐標為，半徑，圓心距，所以兩圓相內切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．8．（2024高二上·安徽滁州·期末）圓：與圓：公切線的條數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先根據題意得到兩圓相外切，即可得到答案.【詳解】根據題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數有3條．故選：C．9．（2024·江西上饒·一模）直線與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】C【分析】先求出直線過的定點，再通過定點和圓的位置關系來確定直線與圓的位置關系.【詳解】由直線得，令，得，故直線恒過點，又，即點在圓內，故直線與圓的位置關系為相交.故選：C.10．（2024·四川成都·一模）圓：與直線：的位置關系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】求出圓心坐標與半徑，再將直線方程化為一般式，根據圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A11．（2024高二上·廣東珠海·期末）德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由條件確定點的坐標，再求外接圓的方程.【詳解】設，則，，，當且僅當時成立,解得，，設的外接圓的方程為，則，解得，，，的外接圓的方程為．故選：．

12．（2024高二上·四川內江·期中）已知點P在圓上，點，，則錯誤的是（

）A．點P到直線AB的距離小于10 B．點P到直線AB的距離大于2C．當最小時， D．當最大時，【答案】B【分析】求出過的直線方程，再求出圓心到直線的距離，得到圓上的點到直線的距離范圍，判斷選項A與B；畫出圖形，由圖可知，當過的直線與圓相切時，滿足最小或最大，求出圓心與點間的距離，再由勾股定理求得判斷選項C與D．【詳解】圓的圓心為，半徑為4，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，則點到直線的距離的最小值為，最大值為，所以點到直線的距離小于10，但不一定大于2，故選項A正確，B錯誤；如圖所示，當最大或最小時，與圓相切，點位于時最小，位于時最大），連接，，可知，，，由勾股定理可得，故選項CD正確．故選：B．13．（2024·河南·模擬預測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根據給定條件，結合等腰三角形性質確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.【詳解】依題意，在中，，如圖，顯然，是銳角，，又函數在上遞增，因此當且僅當公共弦最大時，最大，此時弦為圓的直徑，在中，，所以.故選：D14．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點，以點A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點為（在點A右側），點在圓上，當最大時，的面積為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】當BP為圓的一條位于AB下方的切線時滿足最大，通過計算得的方程再通過面積公式計算即可.【詳解】如圖所示，不難發現當BP為圓的一條位于AB下方的切線時滿足最大，由題意可得，不妨設，則A到BP的距離為，或（舍去）.則，此時到BP的距離為，所以的面積為故選：A15．（2024·四川成都·模擬預測）德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當的外接圓與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數的值為（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4【答案】C【分析】根據米勒定理，當最大時，的外接圓與軸正半軸相切于點；再根據圓的性質得到為等邊三角形，從而求出的值.【詳解】根據米勒定理，當最大時，的外接圓與軸正半軸相切于點.設的外接圓的圓心為，則，圓的半徑為.

因為為，所以，即為等邊三角形，所以，即或，解得或.故選：C.16．（2024·全國）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據切線的性質求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

17．（2024·全國）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義可得，或然后結合三角函數的性質即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，則：，則當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.18．（2024高二下·河北衡水·期末）若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】到已知直線的距離為1的點的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據題意可得這兩條平行線與有4個公共點，由此利用點到直線的距離公式加以計算，可得的取值范圍．【詳解】解：作出到直線的距離為1的點的軌跡，得到與直線平行，且到直線的距離等于1的兩條直線，圓的圓心為原點，原點到直線的距離為，兩條平行線中與圓心距離較遠的一條到原點的距離為，又圓上有4個點到直線的距離為1，兩條平行線與圓有4個公共點，即它們都與圓相交．由此可得圓的半徑，即，實數的取值范圍是．故選：．

【點睛】本題給出已知圓上有四點到直線的距離等于半徑，求參數的取值范圍．著重考查了圓的標準方程、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．19．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當四邊形的面積最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，連接、，分析可知當點與點重合時，四邊形的面積最小，求出點的橫坐標，即可得出直線的方程.【詳解】連接、，圓的圓心為，半徑為，易知圓心為拋物線的焦點，設點，則，則，當且僅當時，等號成立，此時點與坐標原點重合，由圓的幾何性質可得，，由切線長定理可得，則，所以，，所以，，此時點與坐標原點重合，且圓關于軸對稱，此時點、也關于軸對稱，則軸，在中，，，，則，所以，，因此，直線的方程為.故選：C.20．（湖南省常德市第一中學2022屆高三考前二模數學試題）已知圓和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據條件，將問題轉化成圓與圓C有公共交點，再利用圓與圓的位置關系即可求出結果.【詳解】由，得點P在圓上，故點P在圓上，又點P在圓C上，所以，兩圓有交點，因為圓的圓心為原點O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為2，所以，又，所以，解得，所以a的最小值為3.故選：D.21．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐標系中，已知兩點，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據圓的概念和切線的性質，分別以為圓心，以為半徑作圓，滿足題意的直線為兩圓的公切線，進而求解.【詳解】分別以為圓心，以為半徑作圓，因為，所以兩圓外切，有三條公切線，即滿足條件的直線共有3條，故選：C22．（2024·安徽黃山·二模）若圓關于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓關于直線對稱，求得b，設，求出以為直徑的圓的方程，可得直線MN為圓C與以為直徑的圓的公共弦所在的直線，聯立兩圓的方程，即可得直線MN的方程，再由直線系方程得答案．【詳解】由題意可知：圓的圓心在直線上，即有，設點，則，故以為直徑的圓的方程為：，將和相減，即可得直線的方程，即，則直線恒過定點，故選：C23．（2024·貴州畢節·一模）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據題意，設為直線上的一點，由圓的切線的性質得點在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓C的方程聯立可得直線的方程，將其變形分析可得直線恒過的定點，由點到直線的距離分析可得答案．【詳解】由題意可得的圓心到直線的距離為，即與圓相離；設為直線上的一點，則，過點P作圓的切線，切點分別為，則有，則點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則其方程為，變形可得，聯立，可得：，又由，則有，變形可得，則有，可得，故直線恒過定點，設，由于，故點在內，則時，C到直線的距離最大，其最大值為,故選∶B24．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實數m的值.【詳解】圓，設，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．25．（2024高三·北京·強基計劃）如圖，過橢圓上一點M作圓的兩條切線，過切點的直線與坐標軸于P，Q兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】B【分析】利用基本不等式可求面積的最小值.【詳解】設點，由于點M在橢圓上，所以，由切點弦方程，所以，由于，當時，上述不等式取等號，取得最大值3，此時面積取得最小值．故選：B.26．（2024·黑龍江大慶·三模）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】由已知可推得，直線是圓與圓的公切線.根據兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關系，即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓心，半徑.由點到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，又直線是圓的切線，所以，直線是圓與圓的公切線.因為，所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D.27．（2024·河南·模擬預測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據點到直線的距離公式和兩圓位置關系即可求解.【詳解】由已知直線，則原點到直線l的距離為，由直線l與圓相切，則滿足條件的直線l即為圓和圓的公切線，因為圓和圓外切，所以這兩個圓有兩條外公切線和一條內公切線，所以滿足條件的直線l有3條．故選:B．二、多選題28．（2024高三上·江蘇南京·階段練習）已知圓：，點M在拋物線：上運動，過點引直線與圓相切，切點分別為，則下列選項中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．【答案】BC【分析】由圓的方程可得圓心坐標和半徑，設M的坐標，可得四邊形PCQM的對角線互相垂直，是兩個直角三角形，由面積相等可得的表達式，由的范圍求出的范圍.【詳解】解析：如圖，

連接，題意，，而，而，則垂直平分線段，于是得四邊形面積為面積的2倍，從而得，即，設點，而，則，即，所以，即，得，所以的取值范圍為．故選BC．三、填空題29．（2024·天津南開·二模）若直線與圓相切，則.【答案】/0.75【分析】由圓心到切線的距離等于半徑求解．【詳解】由題意圓心為，半徑為2，所以，解得．故答案為：．30．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習）已知分別是圓，圓上動點，是直線上的動點，則的最小值為．【答案】3【分析】首先求出圓關于直線的對稱圓：，再根據，即可得到.【詳解】，，，，，設關于的對稱點為，則，解得，即.所以圓關于直線的對稱圓：因為，，所以.故答案為：331．（2024高三上·天津濱海新·階段練習）已知圓與直線相交所得圓的弦長是，若過點作圓的切線，則切線長為.【答案】【分析】先將圓的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，再由弦，弦心距和半徑的關系列方程可求出，然后求出圓心與間的距離，再利用勾股定理可求得結果.【詳解】由，得，則圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為d=a2，因為圓與直線相交所得圓的弦長是，所以，解得或（舍去），所以圓心為，半徑為，所以與間的距離為，所以所求的切線長為，故答案為：.32．（2024·福建福州·模擬預測）寫出經過拋物線的焦點且和圓相切的一條直線的方程.【答案】（或，寫出一個方程即可）【分析】斜率不存在時，直接觀察可知；斜率存在時，設點斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑可解.【詳解】拋物線的焦點為，圓的圓心為，半徑為2.記過點的直線為l，當l斜率不存在時，由圖可知l與圓相切，此時l的方程為；當l斜率存在時，設其方程為，即，因為直線l與圓相切，所以，解得所以l的方程為，即.故答案為：（或，寫出一個方程即可）33．（2024高三上·廣東梅州·階段練習）直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是.【答案】【分析】先求出A，B兩點的坐標，則可求出，然后求出圓心到直線的距離，從而可求出點P到直線的距離的最大值和最小值，進而可求出面積的最大值和最小值，即可求得結果.【詳解】對于，當時，，當時，，所以，所以，圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以點P到直線的距離的最大值，點P到直線的距離的最小值，所以面積的最大值為，面積的最小值為，所以面積的取值范圍是，故答案為：

34．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知圓與圓相交于兩點，則.【答案】【分析】兩圓方程相減，即可求出直線AB的方程為，求出圓心到直線AB的距離d，進而根據幾何法得弦.【詳解】解：因為圓與圓相交于兩點，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故答案為：.35．（河北省石家莊部分重點高中2023屆高三下學期3月月考數學試題）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點，交于點，且直線平分正方形的周長，當線段的長度最小時，點到直線的距離為.

【答案】【分析】利用平面幾何知識可得出點的軌跡是圓.適當建系，寫出點的軌跡方程.再利用圓的性質得出當最小時，，，三點共線，進而求解即可.【詳解】根據題意平分正方形周長，可得恒過正方形的中心，設的中心為點，由可知，點的軌跡是以為直徑的圓，以為坐標原點，為軸，為軸建立直角坐標系，則，，，，以為直徑的圓的方程為，設為圓心，可知坐標為，當最小時，，，三點共線，可知此時直線的方程為，則點到直線的距離為.故答案為：.

36．（2024·江西·模擬預測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為.【答案】12【分析】根據直線與圓相交弦長公式確定弦長及圓心到直線得距離，即可求的面積.【詳解】圓：，得圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，因此，所以.故答案為：.37．（2024·河北邯鄲·二模）已知直線與圓交于A，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是.【答案】/【分析】求出圓C圓心到弦AB的長度d，求出弦AB的長度，M到弦AB的最大距離為d＋r(r為圓C半徑)，根據三角形面積公式即可求出答案．【詳解】，則圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線l（弦AB）的距離為，則，則到弦AB的距離的最大值為，則面積的最大值是.故答案為：38．（2024·廣東廣州·三模）寫出經過點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程．【答案】或【分析】根據圓的一般方程求出圓心和半徑，利用直線的點斜式方程設出直線及點到直線的距離公式，結合圓中弦長，半徑及弦心距的關系即可求解.【詳解】圓的方程可化為，圓心為，半徑．當過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心在直線上，弦長，不滿足題意，所以過點的直線的斜率存在，設過點的直線的方程為，即，則圓心到直線的距為，依題意，即，解得或，故所求直線的方程為或．故答案為：或．39．（2024高三下·江西南昌·階段練習）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程為.【答案】或【分析】設圓心為，可知半徑，根據垂徑定理，利用直線截圓所得弦長可構造方程求得圓心和半徑，由此可得圓的方程.【詳解】設所求圓的圓心為，半徑為，圓與軸相切，，又圓心到直線的距離，，解得：或，所求圓的圓心為或，半徑，圓的方程為或.故答案為：或.40．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知圓，直線與圓C相交于M，N兩點，則．【答案】/【分析】先求出圓的圓心和半徑，然后求出圓心到直線的距離，再利用弦、弦心距和半徑的關系可求出弦長.【詳解】由，得，則圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離為所以，解得．故答案為：41．（2024高二下·新疆·期中）已知P是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．【答案】【分析】確定圓心為，半徑，將四邊形的面積轉化為，計算點到直線的距離得到答案.【詳解】，即，圓心為，半徑，，即最小時，面積最小.，故四邊形面積的最小值為.故答案為：42．（2024高三上·福建福州·期中）已知是圓上兩點，若，則的最大值為.【答案】4【分析】根據表示兩點到直線的距離之和，結合兩點到直線的距離之和等于線段的中點到直線的距離的2倍，求出線段的中點到直線的距離的最大值即可.【詳解】解：由，得為等腰直角三角形，設為的中點，則，且，則點在以為圓心，為半徑的圓上，表示兩點到直線的距離之和，兩點到直線的距離之和等于中點到直線的距離的2倍，點到直線的距離為，所以點直線的距離的最大值為，所以的最大值為，所以的最大值為.故答案為：4.43．（2024高三上·廣東·階段練習）已知實數x，y滿足：，則的取值范圍是．【答案】【分析】方法一：采用三角換元法，然后利用兩角差的正弦公式集合求解；方法二：利用的幾何意義：可以看作圓心到直線距離的倍，然后利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解法一：因為，所以令，，則，，故，其中，，因為，所以，所以，故的取值范圍為．解法二：因為圓心到直線的距離，所以圓心上的點到直線的距離的取值范圍為，又因為，所以的取值范圍是．故答案為：．44．（2024高二上·河北石家莊·期中）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點，當|AB|最小值時，直線l的一般式方程是.【答案】【分析】根據直線的方程得到直線過定點，根據幾何知識得到當垂直直線時，最小，然后根據垂直列方程，解方程得到即可得到直線的方程.【詳解】由圓的方程可得圓心為，直線的方程可整理為，令，解得，所以直線過定點，當垂直直線時，最小，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.45．（2024高三下·安徽亳州·開學考試）若在圓C：上存在一點P，使得過點P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為．【答案】【分析】設點，根據題意可得：，然后再利用即可求解.【詳解】設點，過點作圓M：的切線，切點為，由題意可知：，因為點，所以，化簡整理可得：，所以，因為，，所以，解得：，所以的取值范圍為，故答案為：.46．（2024·江蘇無錫·三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為.【答案】3【分析】設出點的坐標，結合圓的切線的性質求出，再借助式子幾何意義作答.【詳解】依題意，設，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點到y軸距離與到定點的距離的和，而點在拋物線內，當且僅當是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.47．（2024·四川成都·二模）若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為．【答案】【分析】根據兩直線所過的定點和位置關系，結合圓的性質進行求解即可.【詳解】直線過定點，直線過定點，顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設該圓的圓心為，顯然點的坐標為，所以該圓的方程為，由圓的切線性質可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，當點在如下圖位置時，的值最大，即，所以|PM|的最大值為，故答案為：【點睛】關鍵點睛：根據兩直線的位置關系確定點的軌跡，利用圓的幾何性質是解題的關鍵.48．（2024·江蘇·二模）過點且與圓：相切的直線方程為【答案】或【分析】分斜率存在與否兩種情況進行討論，結合點到直線距離公式即可得解．【詳解】解：將圓方程化為圓的標準方程，得圓心，半徑為，當過點的直線斜率不存在時，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當過點的直線斜率存在時，可設直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．49．（2024高二上·上海浦東新·期中）已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是．【答案】【分析】采用向量的坐標運算，得到所求模長之和的幾何意義，將問題轉化為單位圓上的點到和兩點的距離之和的最小值的求解問題，由此計算得到結果.【詳解】均為單位向量且，不妨設，，且，，，，的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，點在單位圓內，點在單位圓外，則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，所求最小值為.故答案為：.50．（2024·河北邯鄲·一模）已知點，，符合點A，B到直線l的距離分別為1，3的直線方程為（寫出一條即可）．【答案】或或或（寫出一條即可）【分析】根據題意可知直線l是圓與圓的公切線，先判斷兩圓外離，可得直線l有四條，再根據幾何性質（相似三角形的性質）和點到直線的距離公式即可求解直線l的方程．【詳解】由題意可知直線l是圓與圓的公切線，因為兩圓為外離關系，所以滿足條件的直線l有四條．當直線l是兩圓的外公切線時，由幾何性質（相似三角形的性質）易知直線l過點．設直線l的方程為，則，解得，此時直線l的方程為或．當直線l是兩圓的內公切線時，由幾何性質（相似三角形的性質）易知直線l過點，設直線l的方程為，則，解得，此時直線l的方程為或．故答案為：或或或（寫出一條即可）．51．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知圓與直線相切，函數過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為.【答案】5【分析】先根據相切求半徑，再求出定點，最后求得四邊形面積的表達式，結合基本不等式求得面積的最大值.【詳解】由題意圓與直線相切，圓心為，半徑為，函數過定點如圖連接OA、OD作垂足分別為E、F，，四邊形OEMF為矩形，已知，，設圓心O到AC、BD的距離分別為、，則四邊形ABCD的面積為：，從而：，當且僅當時即取等號，故四邊形ABCD的面積最大值是5，

故答案為：5.52．（2024高二下·廣東廣州·期末）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】（答案不唯一，或均可以）【分析】先判斷兩圓位置關系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有