第12章整式的乘除12.2整式的乘法3.多項式與多項式相乘目

錄CONTENTS01新課學習02課堂小測學

習

目

標1.理解多項式與多項式相乘的法則，熟練運用法則進

行計算并解決問題.2.理解多項式與多項式相乘的算法，體會化歸思想.知識點1多項式與多項式相乘的法則例1

如圖，長方形

ABCD

的寬為

m

＋

n

，長為

?，

面積為

.另外，長方形

ABCD

分為4個面

積分別為

ma

，

mb

，

，

的小長方形，由此可

得(

m

＋

n

)(

a

＋

b

)＝

?.a

＋

b

(

m

＋

n

)(

a

＋

b

)

na

nb

ma

＋

mb

＋

na

＋

nb

歸納：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的

?

乘以另一個多項式的

，再把所得的積相加.每一項每一項練1

(1)試用換元法驗證多項式與多項式相乘的法則：(

m

＋

n

)(

a

＋

b

)＝

ma

＋

mb

＋

na

＋

nb

.解：設

m

＋

n

＝

p

，則(

m

＋

n

)(

a

＋

b

)＝

p

(

a

＋

b

)＝

pa

＋

pb

＝(

m

＋

n

)

a

＋(

m

＋

n

)

b

＝

ma

＋

na

＋

mb

＋

nb

.(2)試說明：(

x

＋

a

)(

x

＋

b

)＝

x2＋(

a

＋

b

)

x

＋

ab

.解：(

x

＋

a

)(

x

＋

b

)＝

x2＋

bx

＋

ax

＋

ab

＝

x2＋(

a

＋

b

)

x

＋

ab

.例2

計算：(1)(

x

＋2)(

x

＋3)；(2)(2

x

＋3

y

)(3

x

－2

y

)；解：(1)(

x

＋2)(

x

＋3)＝

x2＋5

x

＋6.解：(2)(2

x

＋3

y

)(3

x

－2

y

)＝6

x2－4

xy

＋9

xy

－6

y2＝6

x2＋5

xy

－6

y2.(4)(

x

－2

y

)2；解：(3)(－2

m

－1)(3

m

－2)＝－6

m2＋4

m

－3

m

＋2＝－6

m2＋

m

＋2.解：(4)(

x

－2

y

)2＝(

x

－2

y

)(

x

－2

y

)＝

x2－4

xy

＋4

y2.(3)(－2

m

－1)(3

m

－2)；例2

計算：

例2

計算：

(2)已知

a

，

b

均為整數，且(

x

＋

a

)(

x

＋

b

)＝

x2－10

x

＋16，

求3

a

－2

ab

＋3

b

的值.解：因為(

x

＋

a

)(

x

＋

b

)＝

x2＋(

a

＋

b

)

x

＋

ab

，(

x

＋

a

)(

x

＋

b

)＝

x2－10

x

＋16，所以

a

＋

b

＝－10，

ab

＝16.所以3

a

－2

ab

＋3

b

＝3(

a

＋

b

)－2

ab

＝3×(－10)－2×16

＝－62.知識點2多項式與多項式相乘的法則的靈活運用例3

如圖，某小區內有一塊長為(3

a

－

b

)m、寬為(2

a

＋

b

)m的長方形地塊，物業人員計劃在中間留一塊邊長為(

a

＋

b

)m的正方形地塊修建一座假山，然后將剩余陰影部分進行

綠化.(1)求綠化部分的面積(用含

a

、

b

的式子表示)；解：(1)依題意得(3

a

－

b

)(2

a

＋

b

)－(

a

＋

b

)2＝6

a2＋3

ab

－2

ab

－

b2－

a2－2

ab

－

b2＝5

a2－

ab

－2

b2(m2).答：綠化部分的面積是(5

a2－

ab

－2

b2)m2.例3

如圖，某小區內有一塊長為(3

a

－

b

)m、寬為(2

a

＋

b

)m的長方形地塊，物業人員計劃在中間留一塊邊長為(

a

＋

b

)m的正方形地塊修建一座假山，然后將剩余陰影部分進行

綠化.(2)當

a

＝3，

b

＝1時，求綠化部分的面積.解：(2)當

a

＝3，

b

＝1時，5

a2－

ab

－2

b2＝5×32－3×1－2×12＝45－3－2＝40.答：綠化部分的面積是40

m2.練3

甲、乙兩個長方形的各邊長如圖所示(

m

為正整數)，其

面積分別為

S1，

S2.(1)填空：

S1－

S2＝

(用含

m

的代數式表示)；2

m

－1

(2)一個正方形的周長等于甲、乙兩個長方形的周長之和.設

該正方形的邊長為

x

，求

x

的值.(用含

m

的代數式表示)解：根據題意得4

x

＝2(

m

＋7＋

m

＋1)＋2(

m

＋4＋

m

＋2)，即4

x

＝8

m

＋28，解得

x

＝2

m

＋7.練3

甲、乙兩個長方形的各邊長如圖所示(

m

為正整數)，其面積分別為

S1，

S2.1.

如果(

x

＋

m

)(

x

－1)＝

x2－

nx

－6，那么

m

、

n

的值分別

是(

D

)A.

m

＝6，

n

＝5B.

m

＝－6，

n

＝－5C.

m

＝－6，

n

＝5D.

m

＝6，

n

＝－5D234512.

如果(2

x

＋

a

)(

x

＋4)的乘積中不含

x

的一次項，則

a

的值

是(

C

)A.8B.4C.

－8D.

－4C234513.

若

a

－

b

＝3，

ab

＝4，則(

a

－2)(

b

＋2)的值為

?.6

234514.

計算：(1)(5

x

＋2

y

)(3

x

－

y

)；解：(1)原式＝15

x2－5

xy

＋6

xy

－2

y2＝15

x2＋

xy

－2

y2.23451(2)(2

a

－5

b

)·(3

a2－2

ab

＋

b2)；解：(2)原式＝2

a

·(3

a2－2

ab

＋

b2)－5

b

·(3

a2－2

ab

＋

b2)＝6

a3－4

a2

b

＋2

ab2－(15

a2

b

－10

ab2＋5

b3)＝6

a3－

4

a2

b

＋2

ab2－15

a2

b

＋10

ab2－5

b3＝6

a3－19

a2

b

＋12

ab2－5

b3.4.計算：23451(3)(

a

－

b

)(

a2－

ab

＋

b2)＋

ab

(

b

－

a

).解：(3)原式＝

a3－

a2

b

＋

ab2－

a2

b

＋

ab2－

b3＋

ab2－

a2

b

＝

a3－3

a2

b

＋3

ab2－

b3.4.計算：234515.

如圖所示，有一塊長和寬分別為(

m

＋3

n

)m和(2

m

＋

n

)m的長方形土地，現準備在這塊土地上修建一個長

為(

m

＋2

n

)m，寬為(

m

＋

n

)m的游泳池，剩余部分

修建成休息區域.(1)請用含

m

和

n

的代數式表示休息區域的面積；23451解：(1)由題圖可知休息區域的面積為(

m

＋3

n

)(2

m

＋

n

)－(

m

＋2

n

)(

m

＋

n

)＝2

m2＋7

mn

＋3

n2－

m2－3

mn

－2

n2＝

m2＋4

mn

＋

n2(m2).234515.

如圖所示，有一塊長和寬分別為(

m

＋3

n

)m和(2

m

＋

n

)m的長方形土地，現準備在這塊土地