清單02有理數及其運算（22個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】正數和負數（1）概念正數：大于0的數叫做正數。負數：在正數前面加上負號“—”的數叫做負數。注：0既不是正數也不是負數，是正數和負數的分界線，是整數，自然數，有理數。（不是帶“—”號的數都是負數，而是在正數前加“—”的數。）（2）意義：在同一個問題上，用正數和負數表示具有相反意義的量。【清單02】有理數（1）概念整數：正整數、0、負整數統稱為整數。分數：正分數、負分數統稱分數。（有限小數與無限循環小數都是有理數。）注：正數和零統稱為非負數，負數和零統稱為非正數，正整數和零統稱為非負整數，負整數和零統稱為非正整數。（2）分類：兩種

【清單03】數軸（1）概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應關系：數軸上的點和有理數是一一對應的。【清單04】相反數（1）概念代數：只有符號不同的兩個數叫做相反數。（0的相反數是0）幾何：在數軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數叫做相反數。（2）性質：若a與b互為相反數，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數。（注意：當“—”號的個數是偶數個時，結果取正號當“—”號的個數是奇數個時，結果取負號）【清單05】絕對值（1）幾何意義：一個數的數量大小叫作這個數的絕對值。

（3）代數符號意義：注：非負數的絕對值是它本身，非正數的絕對值是它的相反數。（4）性質：絕對值是a(a＞0)的數有2個，他們互為相反數。即±a。（5）非負性：任意一個有理數的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0兩個負數比較大小時，絕對值大的反而小。【清單07】加法法則⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。⑶一個數同0相加，仍得這個數。【清單08】加法運算定律（1）加法交換律：兩數相加，交換加數的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結合律：在有理數加法中，三個數相加，先把前兩個數相加或者先把后兩個數相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）【清單09】減法法則減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。即a－b=a＋（﹣）b【清單10】乘法法則（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積為正數；負因數的個數是奇數時，積為負數，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數相乘，若其中有因數0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數是0。【清單11】乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數相乘，交換因數的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。【清單12】倒數（1）定義：乘積為1的兩個數互為倒數。（2）性質：負數的倒數還是負數，正數的倒數是正數。注意：①0沒有倒數；②倒數等于它本身的數為±1.【清單13】除法法則（1）除以一個（不等于0）的數，等于乘這個數的倒數。（2）兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數，都得0。【清單01】乘方法則運算（1）正數的任何次冪都是正數（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數（3）0的任何正整數次冪都是0【清單01】混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。【清單01】科學計數法1.科學記數法概念：把一個大于10的數表示成a×10n的形式（其中a是整數數位只有一位的數，n為正整數）。這種記數的方法叫做科學記數法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數用科學記數法表示為a×10n－12.近似數的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數點后某位。（2）保留幾個有效數字注：對于較大的數取近似數時，結果一般用科學記數法來表示例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×1053.有效數字：從一個數的左邊第一個非0數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效數。注：（1）用科學記數法表示的近似數的有效數字時，只看乘號前面的數字。例如：3.0×104的有效數字是3。（2）帶有記數單位的近似數的有效數字，看記數單位前面的數字。例如：2.605萬的有效數字是2，6，0，5。【考點題型一】正負數【典例1】《夏陽候算經》說：“滿六以上，五在上方．六不積算，五不單張．”意思就是說，在用算籌計數時，1～5分別以縱橫方式排列相應數目的算籌來表示，6～9則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示．我國是世界上最早使用負數的國家，在《九章算術》中，記載了我國古代在算籌上面斜著放一支算籌表示負數的方法．如：“”表示+238，則“”表示?238．那么，“”表示的數是（

A．?136 B．+136 C．?132 D．+132【變式1-1】如果向南走10米記作+10米，那么向北走5米記作（

）米A．+5 B．+15 C．0 D．?5【變式1-2】體育老師對六年級學生進行了仰臥起坐測試．以每分鐘25個為達標，記作0．小明的成績記作?2，則他仰臥起坐的個數是（

）A．27 B．24 C．23 D．25【變式1-3】如果節約用電30千瓦時記作+30千瓦時，那么浪費用電20千瓦時可以記作（

）A．?50千瓦時 B．?30千瓦時 C．?20千瓦時 D．+20千瓦時【考點題型二】相反意義的量表示

【典例2】早在公元前2世紀，中國古代勞動人民就認識到負數的存在．如果把收入8元記作+8元，那么支出6元記作（

）A．?6元 B．?8元 C．+6元 D．+8元【變式2-1】中國是最早采用正負數表示相反意義，并進行負數運算的國家．若糧庫把運進20噸糧食記為“+20”，則“?20”表示（

）A．賣掉20噸糧食 B．運出20噸糧食 C．吃掉20噸糧食 D．虧損20噸糧食【變式2-2】如果向東走8m，記作+8m，那么向西走10m【變式2-3】一次數學測試，如果80分為優秀，以80分為基準簡記，例如90分記為+10，那么70分應記為分．【考點題型三】有理數的概念辨析

【典例3】下列說法正確的個數為（）①有理數與無理數的差都是有理數；②無限小數都是無理數；③無理數都是無限小數；④兩個無理數的和不一定是無理數；⑤無理數分為正無理數、零、負無理數．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式3-1】在?1，0，53，?6.8和2024這五個有理數中，正數有（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-2】如果a為有理數，則下列結論中正確的是（

）A．?a一定是負數 B．2a是偶數 C．a是正數 D．?a【變式3-3】在0，π2，1.3434434443…，225，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點題型四】有理數的分類【典例4】把下列各數分別填在它所在的集合里：?5，?15，2004，??4，217，+?π2(1)正有理數集合{

}(2)負有理數集合{

}(3)分數集合{

}(4)非負整數集合{

}【變式4-1】把下列各數填入它所在數集的大括號內：?2.4，3，7.004，?103，π4，?0.正有理數集合：{

…}非負整數集合：{

…}負分數集合：{

…}【變式4-2】把下列各數分別填入相應的集合：0，?7，5.6，?4.8，?814，227整數集合（________…）；分數集合（________…）非負數集合（________…）；負數集合（________…）．【變式4-3】把下列各數分別填入相應的大括號內：?4，10%，?112，?2，101，?1.5，0，23，0.6·，正數集合：{___________________…}；負數集合：{___________________…}；負分數集合：{___________________…}；整數集合：{___________________…}；非負數集合：{___________________…}．【考點題型五】有理數的大小比較【典例5】如果?1<a<0，那么關于?a，a，1a三者的大小關系，下列正確的是（

A．?a<1a<aC．a<?a<1a 【變式5-1】?1、0、12、?2的大小順序是（

A．12>0>?1>?2 C．12>0>?2>?1 【變式5-2】大于?3.5且小于2.3的整數共有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【變式5-3】比較大小：?13

【考點題型六】數軸的三要素及其畫法

【典例6】如圖各圖中，表示的數軸正確的是（

）A．B．C．D．【變式6-1】下圖中是數軸的為（

）A．

B．

C．

D．

【變式6-2】下列是四位同學畫的數軸，正確的是（

） B． C． D．【變式6-3】下列圖形表示數軸正確的是（）A． B．C． D．【考點題型七】利用數軸比較有理數的大小

【典例7】在數軸上表示下列各數：?52，0，?4，?22

【變式7-1】有理數a，b在數軸上的位置如圖所示，則下列選項正確的是（

）A．a+b>0 B．b?a<0 C．ab>0 D．a【變式7-2】若有理數a在數軸上對應的點如圖所示，則a，?a，?1的大小關系是（

）A．a<?a<?1 B．?a<a<?1 C．?a<?1<a D．a<?1<?a【變式7-3】把下列各數在數軸上表示出來，并將各數按從小到大的順序排列，用“＜”連接．213，?12，

【考點題型八】數軸上兩點之間的距離

【典例8】在數軸上，距離表示數?2的點4個單位長度的點是（

）A．?6 B．6 C．2 D．?6或2【變式8-1】數軸上與原點距離是2的點有兩個，它們表示的數是（

）A．?2和0 B．2和0C．?2和2 D．?1和1【變式8-2】數軸上點P表示的數為?3，與點P距離為4個單位長度的點表示的數為．【變式8-3】如果數軸上的點A對應的數為3，那么與點A相距4個單位長度的點所對應的數為．

【考點題型九】數軸上的動點問題

【典例9】【閱讀材料】若數軸上點A、點B表示的數分別為a，b（b>a），則A、B兩點間的距離可表示為b?a，記作AB=b?a．【解決問題】一個點從數軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點A，再向右移動10個單位長度到達點B．(1)請畫出數軸，并在數軸上標出A、B兩點的位置；(2)若動點P，Q分別從點A，B同時出發，沿數軸向左運動．已知點P的速度是每秒1個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，設移動時間為t秒（t>0）．①用含t的代數式表示：t秒時，點P表示的數為______，點Q表示的數為______；②t為何值時，點P表示的數與點Q表示的數互為相反數？③t為何值時，P，Q兩點之間的距離為4？【變式9-1】已知數軸上A、B兩點對應的數分別為a、b，且滿足a+1

（1）求點A、B兩點對應的有理數是；（2）若點P所表示的數為8，現有一只電子螞蟻從點P出發，以2個單位每秒的速度向左運動，經過秒時，P到A的距離剛好等于P到B的距離的2倍．

【變式9-2】如圖，點A表示的數是?5．

(1)在數軸上表示出原點O；(2)點B表示的數是______；(3)將點B向左移動3個單位長度到點C，那么點C表示的數是______；(4)在數軸上找點D，使點D到A、C兩點的距離相等，那么點D表示的數是______；(5)點E在數軸上，與點B的距離為3個單位長度，那么點E表示的數是______．【變式9-3】點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB=a?b(1)數軸上表示4和8兩點之間的距離是_______．(2)數軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為_________．(3)若x表示一個有理數，則x?2+x+4的最小值(4)已知，如圖A、B分別為數軸上的兩點，A點對應的數為?10，B點對應的數為90．若當電子螞蟻P從B點出發時，以3個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發，以2個單位/秒的速度向右運動，經過多長的時間兩只電子螞蟻在數軸上相距40個單位長度？

【考點題型十】倒數的概念和相反數的概念【典例10】?6的倒數是（

）A．6 B．?6 C．16 D．【變式10-1】?2023的相反數是（）A．?2023 B．2023 C．12023 D．【變式10-2】?43的倒數是（A．34 B．?34 C．【變式10-3】下列各組數中，互為相反數的是（）A．3和13 B．3和?3 C．?13和13 【考點題型十一】相反數的性質運用

【典例11】已知a+4與2互為相反數，那么a=．【變式11-1】若m、n互為相反數，則|m?5+n|=．【變式11-2】若a，b互為相反數，c，d互為倒數，則3a+b?4【變式11-3】若a?22與b+3互為相反數，則a?b=

【考點題型十二】絕對值定義、絕對值的性質

【典例12】一個數的絕對值等于34，則這個數是【變式12-1】?3的絕對值是（

）A．?3 B．3 C．?13 【變式12-2】若x2=9，y=4，且x<y，則x?yA．±7 B．±1 C．?7或?1 D．7或?1【變式12-3】化學老師在實驗室中發現了四個因操作不規范沾染污垢或被腐蝕的砝碼，經過測量，超出標準質量的部分記為正數、不足的部分記為負數，它們中質量最接近標準的是（

）A． B． C． D．

【考點題型十三】化簡絕對值

【典例13】已知有理數a、b、c在數軸上位置如圖所示，化簡：|a+1|?|c?b|?|a+b+c|．【變式13-1】有理數m、n在數軸上的對應點如圖所示，則下列各式子正確的是（

）A．m?n=m?nB．m?n=n?m C．n?m=n+m【變式13-2】若a>0，|a|a=；若a<0，a①若a|a|+b|b|②若abc<0，則a|a|+【變式13-3】已知x為有理數，則x+5+x?3的最小值是【考點題型十四】非負性的性質

【典例14】已知(x+y+3)2+|2x?4|=0，則y=【變式14-1】已知a?3+(4?b)2=0【變式14-2】已知|3a?9|+4+b2=0，則a+b=【考點題型十五】有理數的加減運算

【典例15】計算：(1)5.6+4.4+?8.1(2)(3)14+?23+56+?14【變式15-1】不改變原式的值，將6?+3??7A．?6?3+7?2 B．6?3?7?2C．6?3+7?2 D．6+3?7?2【變式15-2】計算：?7??5+?4(3)?3.2+12.5+?16.8?【變式15-3】計算：(+18)?(+6)?(+19)?(?20)?(?5)；(2)(+45【考點題型十六】有理數乘除法運算

【典例16】計算：(1)25÷?5×15÷【變式16-1】計算：1

【考點題型十七】有理數的乘方

【典例17】下列各組數中，最后運算結果相等的是（

）A．102和54 B．?C．?53和(?5)3 D．【變式17-1】生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示即；21=2，22=4，23=8，2A．6 B．4 C．2 D．8【變式17-2】對于式子?33，下列說法正確的是（

A．指數是?3 B．底數是3 C．冪為?9 D．表示3個?3相乘【考點題型十八】有理數混合運算

【典例8】計算(1)?(2)16÷【變式18-1】計算：?【變式18-2】計算(1)29?1【變式18-3】計算：(1)?611+?5

【考點題型十九】算“24”點【典例19】小明有5張寫著不同數字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各問題：(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數字的乘積最大．這兩張卡片上的數字分別是________，積為________；(2)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結果為24，寫出運算式子及運算過程．（寫出一種即可）【變式19-1】嘉嘉和琪琪在玩24點游戲，游戲規則是：從一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，任意抽取4張牌，把牌面上的數運用你所學過的運算（可以使用括號）得出24．每張牌都必須使用一次，但不能重復使用．嘉嘉抽到的四張牌如下，請幫他寫出一個計算結果為24的算式．【變式19-2】“算24”是我國民間傳統的益智游戲，游戲規則為：隨機給出四個數，每個數必用且僅能用一次，只利用“加號、減號、乘號、除號”（可以重復使用）及括號（含小括號、中括號）連接，使得四個數的運算結果等于24．如：給出1、2、3、4四個數，則得到24的式子可以是：1+2+3×4=24現給出“3、3、8、8”四個數，則得到24的式子可以是．【變式19-3】“24點”游戲是一種益智游戲，要求玩家將4個給定的有理數進行加、減、乘、除四則混合運算（允許使用括號，每個數只能使用一次）使最后的計算是24．四個有理數?1，3，4，?5，請運用上述規則，使其結果為24，這個算式可以是．【考點題型二十】科學計數法

【典例20】近日多彩貴州網訊，隨著氣溫持續回暖，各色杜鵑花陸續綻放，百里杜鵑景區也迎來了2024年賞花旅游小高峰．百里杜鵑景區自3月30日以來，景區已接待游客約309000人次，較2023年同期接待游客人次同比增長55.88%．全國各地前來百里杜鵑游客絡繹不絕．309000這個數用科學記數法可表示為（

A．30.9×104 B．3.09×106 C．【變式20-1】2022年11月29日23時08分，我國神舟十五號載人飛船在酒泉衛星發射中心成功發射，并成功與“天宮一號”順利對接．據測量，“天宮一號”據地面高度大約為343000米，這個數用科學記數法表示為（

）A．3.43×103 B．3.43×104 C．【變式20-2】新型冠狀病毒蔓延全球，截至到北京時間2020年6月20日，全球新冠肺炎累計確診病例超過8500000例，數字8500000用科學記數法表示為（

）A．0.85×107 B．85×105 C．【變式20-3】北京時間2022年11月30日，神舟十五號飛船與中國空間站對接成功，中國航天員首次太空會師，中國空間站距離地球大約為400公里（400000米），請將400000米用科學記數法表示為（）A．4×105 C．4×106

【考點題型二十一】近似數的表示

【典例21】用四舍五入法對2.06032分別取近似值，其中錯誤的是（

）A．2.1（精確到0.1) B．2.06（精確到百分位）C．2.0（精確到十分位） D．2.0603（精確到0.0001)【變式21-1】凱凱的身高為1.62m，用四舍五入法將1.62精確到0.1的近似值為【變式21-2】20.9506精確到十分位的近似值是．【變式21-2】用四舍五入法將1.8040精確到百分位是．

【考點題型二十二】有理數實際應用

【典例22】某兒童玩具廠計劃七天共生產1400套玩具火車，平均每天生產200套，由于個別工人請假，實際每天的生產量與計劃生產量有出入，下表是一周七天的實際生產情況（超產為正，減產為負，單位：個）：星期一二三四五六日增減+5?2?4+13?10+16?9(1)根據記錄可知前三天共生產_____套；(2)產量最多的一天比產量最少的一天多生產_____套；(3)七天共生產多少套玩具火車？(4)該廠實行每日計件工資制，每生產一套玩具火車可得60元，若超額完成任務，則超過部分每套另獎15元，少生產部分每套扣12元，那么這一周該廠支給工人的工資總額是多少元？

【變式22-1】出租車司機小張某天下午的運營是在一條東西走向的大道上．如果規定向東為正，他這天下午的行程記錄如下：（單位：千米）+15，?3，+14，?11，+10，?18，+14，(1)將最后一名乘客送到目的地時，小張離下午出車點的距離是多少？(2)離開下午出發點最遠時是多少千米？(3)若汽車的耗油量為0.06升/千米，油價為4.5元/升，這天下午共需支付多少油錢？【變式22-2】糧庫3天內進出庫的噸數記錄如下（“+”表示進庫，“?”表示出庫）：+26，?32，?15，+34，?38，?20(1)經過3天，糧庫里的糧食是增多了還是減少了？增多了還是減少了多少？(2)經過3天，糧庫管理員結算時發現糧庫里還存480噸糧食，那么3天前糧庫里的存量有多少噸？(3)如果進庫出庫的裝卸費都是每噸5元，那么這3天要付出多少裝卸費？【變式22-3】有20箱橘子，以每箱25千克為標準質量，超過的千克數用正數表示，不足的千克數用負數表示，結果記錄如下：與標準質量的差值（單位：千克）?3?2?1.5012.5箱數142328(1)在這20箱橘子中，最重的一箱比最輕的一箱重多少千克？(2)與標準質量比較，20箱橘子總計超過或不足多少千克？【變式22-4】某領導慰問高速公路養護小組．乘車從服務區出發，沿東西向公路巡視，如果約定向東為正，向西為負，當天的行駛記錄如下（單位：千米）：+17，?9，+7，?15，?3，+111．(1)求該領導乘車最后到達的地方在服務區何方？距離多遠？(2)若行駛1千米耗油0.2升，則這次巡視共耗油多少升？(3)若領導在這6個巡視點發放蘋果做為慰問品，以50kg為標準，超過的記為正數，不足的記為負數，這6個巡視點的蘋果重量記為1.1，?2.2，?3.7，3，?1.8，2.9（單位：kg清單02有理數及其運算（22個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】正數和負數（1）概念正數：大于0的數叫做正數。負數：在正數前面加上負號“—”的數叫做負數。注：0既不是正數也不是負數，是正數和負數的分界線，是整數，自然數，有理數。（不是帶“—”號的數都是負數，而是在正數前加“—”的數。）（2）意義：在同一個問題上，用正數和負數表示具有相反意義的量。【清單02】有理數（1）概念整數：正整數、0、負整數統稱為整數。分數：正分數、負分數統稱分數。（有限小數與無限循環小數都是有理數。）注：正數和零統稱為非負數，負數和零統稱為非正數，正整數和零統稱為非負整數，負整數和零統稱為非正整數。（2）分類：兩種

【清單03】數軸（1）概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應關系：數軸上的點和有理數是一一對應的。【清單04】相反數（1）概念代數：只有符號不同的兩個數叫做相反數。（0的相反數是0）幾何：在數軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數叫做相反數。（2）性質：若a與b互為相反數，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數。（注意：當“—”號的個數是偶數個時，結果取正號當“—”號的個數是奇數個時，結果取負號）【清單05】絕對值（1）幾何意義：一個數的數量大小叫作這個數的絕對值。

（3）代數符號意義：注：非負數的絕對值是它本身，非正數的絕對值是它的相反數。（4）性質：絕對值是a(a＞0)的數有2個，他們互為相反數。即±a。（5）非負性：任意一個有理數的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0兩個負數比較大小時，絕對值大的反而小。【清單07】加法法則⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。⑶一個數同0相加，仍得這個數。【清單08】加法運算定律（1）加法交換律：兩數相加，交換加數的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結合律：在有理數加法中，三個數相加，先把前兩個數相加或者先把后兩個數相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）【清單09】減法法則減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。即a－b=a＋（﹣）b【清單10】乘法法則（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積為正數；負因數的個數是奇數時，積為負數，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數相乘，若其中有因數0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數是0。【清單11】乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數相乘，交換因數的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。【清單12】倒數（1）定義：乘積為1的兩個數互為倒數。（2）性質：負數的倒數還是負數，正數的倒數是正數。注意：①0沒有倒數；②倒數等于它本身的數為±1.【清單13】除法法則（1）除以一個（不等于0）的數，等于乘這個數的倒數。（2）兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數，都得0。【清單01】乘方法則運算（1）正數的任何次冪都是正數（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數（3）0的任何正整數次冪都是0【清單01】混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。【清單01】科學計數法1.科學記數法概念：把一個大于10的數表示成a×10n的形式（其中a是整數數位只有一位的數，n為正整數）。這種記數的方法叫做科學記數法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數用科學記數法表示為a×10n－12.近似數的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數點后某位。（2）保留幾個有效數字注：對于較大的數取近似數時，結果一般用科學記數法來表示例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×1053.有效數字：從一個數的左邊第一個非0數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效數。注：（1）用科學記數法表示的近似數的有效數字時，只看乘號前面的數字。例如：3.0×104的有效數字是3。（2）帶有記數單位的近似數的有效數字，看記數單位前面的數字。例如：2.605萬的有效數字是2，6，0，5。【考點題型一】正負數【典例1】《夏陽候算經》說：“滿六以上，五在上方．六不積算，五不單張．”意思就是說，在用算籌計數時，分別以縱橫方式排列相應數目的算籌來表示，則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示．我國是世界上最早使用負數的國家，在《九章算術》中，記載了我國古代在算籌上面斜著放一支算籌表示負數的方法．如：“”表示，則“”表示．那么，“”表示的數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了負數的定義，解題關鍵是通過閱讀材料理解和掌握我國古代用算籌記數的規定．根據題中規定解答即可．【詳解】解：根據題意得：“”表示的數是，故選：A．【變式1-1】如果向南走10米記作米，那么向北走5米記作（

）米A． B． C．0 D．【答案】D【分析】本題主要考查了正數與負數，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：∵向南走10米記作米，∴向北走5米記作米，故選：D．【變式1-2】體育老師對六年級學生進行了仰臥起坐測試．以每分鐘個為達標，記作．小明的成績記作，則他仰臥起坐的個數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了正負數的意義，深刻理解正負數的意義是解題的關鍵．正數與負數表示意義相反的兩種量，看清規定哪一個為正，則和它意義相反的就為負．用正負數表示意義相反的兩種量：高于每分鐘個記為正，則低于每分鐘個就記作負，由此得解．【詳解】解：（個），故選：．【變式1-3】如果節約用電千瓦時記作千瓦時，那么浪費用電千瓦時可以記作（

）A．千瓦時 B．千瓦時 C．千瓦時 D．千瓦時【答案】C【分析】本題考查了負數的認識，用正負數表示一對相反意義的量，如果收入用正數表示，支出就用負數表示．根據正負數的意義即可求解．【詳解】解：節約用電千瓦時記作千瓦時，那么浪費用電千瓦時可以記作千瓦時，故選：C．【考點題型二】相反意義的量表示

【典例2】早在公元前2世紀，中國古代勞動人民就認識到負數的存在．如果把收入8元記作元，那么支出6元記作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】A【分析】本題考查了正負數的應用．根據正數和負數表示相反意義的量，收入記為正，可得支出的表示方法．【詳解】解：如果把收入8元記作元，那么支出6元記作元，故選：A．【變式2-1】中國是最早采用正負數表示相反意義，并進行負數運算的國家．若糧庫把運進20噸糧食記為“”，則“”表示（

）A．賣掉20噸糧食 B．運出20噸糧食 C．吃掉20噸糧食 D．虧損20噸糧食【答案】B【分析】本題考查了正數和負數的意義，熟練掌握正負數的意義是解題的關鍵．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示即可解答．【詳解】糧庫把運進20噸糧食記為“”，“”表示為運出20噸糧食，故選：B．【變式2-2】如果向東走，記作，那么向西走，記作．【答案】/米【分析】此題主要考查相反意義的量，解題的關鍵是熟知正負數的代表相反的含義．根據正負數的性質即可求解．【詳解】解：如果向東走，記作，那么向西走，記作．故答案為：．【變式2-3】一次數學測試，如果80分為優秀，以80分為基準簡記，例如90分記為，那么70分應記為分．【答案】【分析】根據相反意義的量可以用正負數來表示，高于80分記為正，低于80分記為負，據此解答即可．本題考查了相反意義的量，熟練掌握定義是解題的關鍵．【詳解】解：，所以70分應記為．故答案為：．【考點題型三】有理數的概念辨析

【典例3】下列說法正確的個數為（）①有理數與無理數的差都是有理數；②無限小數都是無理數；③無理數都是無限小數；④兩個無理數的和不一定是無理數；⑤無理數分為正無理數、零、負無理數．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】本題考查了有理數、無理數的概念和性質，熟練掌握有理數、無理數的概念和性質是解題的關鍵．根據有理數、無理數的概念和性質進行分析，判斷每個說法的正確性即可．【詳解】解：①有理數與無理數的差不一定是有理數，例如：，故該項不正確；②無限小數不都是無理數，無限循環小數是有理數，故該項不正確；③無理數都是無限小數，故該項正確；④兩個無理數的和不一定是無理數，例如是有理數，故該項正確；⑤無理數分為正無理數、零、負無理數，0不是無理數，故該項不正確；故正確的個數有2個；故選：A【變式3-1】在，0，，和2024這五個有理數中，正數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查正數的定義，找出所有的正數即可得解，掌握正數的定義是解題的關鍵．【詳解】正數有：和2024，有2個正數．故選B．【變式3-2】如果為有理數，則下列結論中正確的是（

）A．一定是負數 B．是偶數 C．是正數 D．【答案】D【分析】本題考查有理數的相關概念．根據題意，逐項判斷即可．【詳解】解：A.為負數時，是正數，此項不正確；B.為分數時，是不是偶數，此項不正確；C.為0時，是0，此項不正確；D.，此項正確．故選：D．【變式3-3】在0，，，，中，有理數的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了有理數的定義，整數和分數統稱為有理數，其中分數可以化為有限小數或無限循環小數，據此即可求解．【詳解】解：在0，，，，中，有理數有0，，三個．故選：C【考點題型四】有理數的分類【典例4】把下列各數分別填在它所在的集合里：，，2004，，，，，，0，(1)正有理數集合{

}(2)負有理數集合{

}(3)分數集合{

}(4)非負整數集合{

}【答案】(1)2004，，，6.2(2)，，，(3)，，6.2(4)，，【分析】本題考查了有理數的分類，熟練掌握有理數的分類是解答本題的關鍵．（1）直接利用正有理數的定義分析得出答案；（2）直接利用負有理數的定義分析得出答案；（3）直接利用非分數的定義分析得出答案；（4）直接利用非負整數的定義分析得出答案．【詳解】（1）解：，，；正有理數集合，，，；故答案為：2004，，，6.2；（2）負有理數集合，，，；故答案為：，，，；（3）分數集合，，；故答案為：，，6.2；（4）非負整數集合：，，；故答案為：，，．【變式4-1】把下列各數填入它所在數集的大括號內：，3，7.004，，，，0，，14，正有理數集合：{

…}非負整數集合：{

…}負分數集合：{

…}【答案】見解析【分析】本題考查了有理數的分類，根據正有理數、非負整數、負分數及有理數的定義，結合所給數據進行判斷即可．【詳解】解：，，正有理數集合：{3，7.004，，14}非負整數集合：{3，0，14}負分數集合：{，，}【變式4-2】把下列各數分別填入相應的集合：0，，5.6，，，，15，．整數集合（________…）；分數集合（________…）非負數集合（________…）；負數集合（________…）．【答案】0，，15；5.6，，，，；0，5.6，，15，；，，【分析】本題考查了有理數的分類，由題意直接根據有理數的分類，把相應的數填寫到相應的集合中即可，熟練掌握有理數的分類是解此題的關鍵．【詳解】解：整數集合（0，，15）；分數集合（5.6，，，，）非負數集合（0，5.6，，15，）；負數集合（，，）．【變式4-3】把下列各數分別填入相應的大括號內：，，，，，，，，，，，；正數集合：{___________________…}；負數集合：{___________________…}；負分數集合：{___________________…}；整數集合：{___________________…}；非負數集合：{___________________…}．【答案】見解析【分析】本題主要考查有理數的分類，熟練掌握有理數的概念是解題的關鍵．根據有理數的分類直接進行解答．【詳解】解：正數集合：{、、、、}；負數集合：{、、、、、}；負分數集合：{、、}；整數集合：{、、、、}；非負數集合：{、、、、、}，故答案為：、、、、；、、、、、；、、；、、、、；、、、、、．【考點題型五】有理數的大小比較【典例5】如果，那么關于，，三者的大小關系，下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查簡單的有理數比較，倒數，代入滿足條件的數字即可．本題可代入一個滿足條件的數字，然后再進行比較即可．【詳解】解：根據分析可設，代入可得，，可得，故選：D【變式5-1】、0、、的大小順序是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查有理數的大小比較，根據負數都比0小，正數都比0大，兩個負數比較大小時絕對值越大反而越小比較即可．【詳解】∵、，∴，∴，故選：A．【變式5-2】大于且小于2.3的整數共有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】A【分析】本題考查有理數的大小比較，根據題意得到大于且小于2.3的整數有、、、0、1、2，即可求解．【詳解】解：大于且小于2.3的整數有、、、0、1、2，∴大于且小于2.3的整數共有6個，故選：A．【變式5-3】比較大小：（填“>”“<”或“=”）【答案】>【分析】本題主要考查有理數的大小比較，根據兩個負數相比較，絕對值大的負數反而小，求解即可．【詳解】，∴故答案為：>．

【考點題型六】數軸的三要素及其畫法

【典例6】如圖各圖中，表示的數軸正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了數軸：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸．根據數軸的三要素，即可解答．【詳解】解：如上圖各圖中，表示的數軸正確的是故選：C．【變式6-1】下圖中是數軸的為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查了數軸的定義，解題的關鍵是熟記數軸的三要素．根據“數軸是規定了原點、單位長度和正方向的直線”，即可求解．【詳解】解：A、有原點和正方向，沒有單位長度，所以該選項不正確，不符合題意；B、正、負數的位置反了，所以該選項不正確，不符合題意；C、沒有規定正方向，所以該選項不正確，不符合題意；D、有原點、單位長度和正方向，所以該選項正確，符合題意．故選：D．【變式6-2】下列是四位同學畫的數軸，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查數軸的三要素和畫法．掌握原點、正方向、單位長度稱數軸的三要素是解題關鍵．根據三要素逐一分析即可．【詳解】解：根據原點、正方向、單位長度稱數軸的三要素，即可知C選項正確．故選：C．【變式6-3】下列圖形表示數軸正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題是對數軸的考查，熟記數軸的三要素：原點、正方向、單位長度以及數軸上的數的特點是解題的關鍵．【詳解】解：A．從左向右點所表示的數依次增大，故A錯誤；B．符合數軸的三要素原點、單位長度，正方向，故B正確；C．單位長度不一致，故C錯誤；D．畫成射線了，故D錯誤．故選：B．【考點題型七】利用數軸比較有理數的大小

【典例7】在數軸上表示下列各數：，0，，，，并用“＜”號把它們連接起來．【答案】在數軸上表示見解析，【分析】本題考查了數軸，相反數，絕對值和有理數的大小比較，能熟記有理數的大小比較法則的內容是解此題的關鍵，注意：在數軸上表示的數，右邊的數總比左邊的數大．先在數軸上表示出各個數，比較即可．【詳解】解：，，．

【變式7-1】有理數a，b在數軸上的位置如圖所示，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據數軸可以得到，且，再利用實數的運算法則即可判斷．本題主要考查了利用數軸來進行實數大小比較．由于引進了數軸，我們把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，在學習中要注意培養數形結合的數學思想．【詳解】解：根據點在數軸的位置，知：，且．A、，且，，故本選項錯誤；B、，，故本選項正確；C、，，，故本選項錯誤；D、，故本選項錯誤．故選：B．【變式7-2】若有理數a在數軸上對應的點如圖所示，則a，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數大小比較：正數大于，負數小于；兩個負數比較大小負數的絕對值越大，這個數越小．也考查了數軸．【詳解】解：由數軸可得，∴，∴，故選D．【變式7-3】把下列各數在數軸上表示出來，并將各數按從小到大的順序排列，用“＜”連接．，，，，0．【答案】各數表示見解析，【分析】本題考查了數軸，有理數的大小比較的應用，能根據數軸上數的位置比較兩個數的大小是解此題的關鍵．先在數軸上表示各個數，再根據數軸上右邊的數總比左邊的數大比較即可．【詳解】解：，，把，，，，0表示在數軸上如圖所示∶∴．

【考點題型八】數軸上兩點之間的距離

【典例8】在數軸上，距離表示數的點4個單位長度的點是（

）A． B．6 C．2 D．或2【答案】D【分析】本題主要考查數軸上兩點之間的距離，掌握分類討論思想成為解題的關鍵．將數分別向左或向右移動4個單位長度，即可解答．【詳解】解：由題意知：將數向左移動4個單位長度，對應的點表示的數是；將數向右移動4個單位長度，對應點表示的數是．故選：D．【變式8-1】數軸上與原點距離是的點有兩個，它們表示的數是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】本題考查了數軸，根據數軸上與原點距離的定義即可，熟練掌握數軸上點的表示及幾何意義是解題的關鍵．【詳解】解：數軸上與原點距離是的點有兩個，分別為和，故選：．【變式8-2】數軸上點表示的數為，與點距離為4個單位長度的點表示的數為．【答案】或1【分析】本題考查了數軸上兩點距離，設該點表示的數為，根據題意得，進而即可求解．【詳解】解：設該點表示的數為，根據題意得：，解得：或．故答案為：或1．【變式8-3】如果數軸上的點對應的數為3，那么與點相距4個單位長度的點所對應的數為．【答案】7或【分析】本題考查了數軸上兩點之間的距離，注意分類討論思想的應用．分情況計算，與點相距4個單位長度的點可能在點的右邊，也可能在點的左邊，由此計算即可．【詳解】解：如果數軸上的點對應的數為3，那么與點相距4個單位長度的點所對應的數為或，故答案為：7或．

【考點題型九】數軸上的動點問題

【典例9】【閱讀材料】若數軸上點、點表示的數分別為，（），則、兩點間的距離可表示為，記作．【解決問題】一個點從數軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點，再向右移動10個單位長度到達點．(1)請畫出數軸，并在數軸上標出、兩點的位置；(2)若動點，分別從點，同時出發，沿數軸向左運動．已知點的速度是每秒1個單位長度，點的速度是每秒2個單位長度，設移動時間為秒（）．①用含的代數式表示：秒時，點表示的數為______，點表示的數為______；②為何值時，點表示的數與點表示的數互為相反數？③為何值時，，兩點之間的距離為4？【答案】(1)見解析(2)①，；②；③或．【分析】本題考查的是數軸的定義及數軸上兩點之間的距離公式，弄清題中的規律是解本題的關鍵．（1）根據題意畫出數軸，即可解答；（2）①用含的代數式表示即可；②根據相反數的意義列式計算即可求解；③根據題意列出絕對值方程即可求解．【詳解】（1）解：如圖：；（2）解：①秒時，點表示的數為，點表示的數為；故答案為：，；②由題意得：，解得：；③由題意得：，即，∴或，解得：或．【變式9-1】已知數軸上A、B兩點對應的數分別為、，且滿足

（1）求點A、B兩點對應的有理數是；（2）若點P所表示的數為8，現有一只電子螞蟻從點P出發，以2個單位每秒的速度向左運動，經過秒時，P到A的距離剛好等于P到B的距離的2倍．【答案】，；或【分析】（1）根據非負式子和為0它們分別等于0直接求解即可得到答案；（2）分點P在B點左側右側兩類討論，結合距離問題列式求解即可得到答案；【詳解】解：（1）∵，∴，∴，，解得：，，故答空1答案為：，；（2）當點P在B點左側時，，，∵P到A的距離剛好等于P到B的距離的2倍，∴，即：，解得：，當點P在B點右側時，，，∵P到A的距離剛好等于P到B的距離的2倍，∴，即：，解得：，故答空2答案為：或；【點睛】本題考查絕對非負性應用及數軸上動點距離問題，解題的關鍵是注意分類討論．

【變式9-2】如圖，點表示的數是．

(1)在數軸上表示出原點；(2)點表示的數是______；(3)將點向左移動3個單位長度到點，那么點表示的數是______；(4)在數軸上找點，使點到、兩點的距離相等，那么點表示的數是______；(5)點在數軸上，與點的距離為3個單位長度，那么點表示的數是______．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)(5)或【分析】（1）根據數軸上的點位置和絕對值，確定原點的位置；（2）原點確定后，確定點所表示的數；（3）根據（2）中求得所表示的數再向左移3個單位長度到點；（4）根據距離的表示方法即可求得；（5）分兩種情況分別求出點所表示的數，一種是點在點的左側，另一種是點在點的右側，根據距離和絕對值求出所表示的數．【詳解】（1）解∶原點在點A的右側距離點A五個單位長度，如圖所示，原點即為所求

（2）解：點B在原點的右側距離原點2個單位，因此點B所表示的數為．（3）解：將點所表示的數，向左移個單位長度得到點，故得到，因此點表示的數為．（4）解：∵點到、兩點的距離相等，表示的數是，表示的數為-1，∴設表示的數為，則可得，解得故點表示的數為．（5）解：①當點在點的左側時，，②當點在點的右側時，，因此點表示的數為或．故點表示的數為或．【點睛】本題考查數軸表示數，確定點在數軸上的位置，掌握數軸的相關概念是解題的關鍵．【變式9-3】點、在數軸上分別表示有理數、，、兩點之間的距離表示為，在數軸上、兩點之間的距離．利用數形結合思想回答下列問題：(1)數軸上表示和兩點之間的距離是_______．(2)數軸上表示和的兩點之間的距離表示為_________．(3)若表示一個有理數，則的最小值_______．(4)已知，如圖、分別為數軸上的兩點，點對應的數為，點對應的數為．若當電子螞蟻從點出發時，以個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻恰好從點出發，以個單位/秒的速度向右運動，經過多長的時間兩只電子螞蟻在數軸上相距個單位長度？

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)秒或秒．【分析】（）根據數軸上兩點之間的距離的求法即可求解；（）根據數軸上兩點之間的距離的求法即可求解；（）根據數軸上兩點之間的距離的求法，然后分情況討論即可求解；（）根據數軸上兩點之間的距離的求法，分情況討論即可求解．【詳解】（1）數軸上表示和兩點之間的距離是，故答案為：；（2）數軸上表示和的兩點之間的距離表示為，故答案為：；（3）根據絕對值的定義有：可表示為點到與兩點距離之和，根據幾何意義分析可知：當時，，當時，，當時，，當在與之間時，的最小值，故答案為：；（4），相遇前：（秒），相遇后：（秒），則經過秒或秒，只電子螞蟻在數軸上相距個單位長度．【點睛】此題考查了數軸，絕對值的性質，理解數軸上兩點間的距離表示和采用數形結合的思想是解題的關鍵．

【考點題型十】倒數的概念和相反數的概念【典例10】的倒數是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數．根據倒數的定義求解即可．【詳解】解：∵∴的倒數是故選：D．【變式10-1】的相反數是（）A． B．2023 C． D．【答案】B【分析】本題考查了相反數的定義，解答本題的關鍵是熟練掌握相反數的定義，根據只有符號不同的兩個數是互為相反數解答即可．【詳解】解：的相反數是2023．故選B．【變式10-2】的倒數是（

）A． B． C． D．以上答案都不對【答案】B【分析】本題主要考查了求一個數的倒數，根據乘積為1的兩個數互為倒數進行求解即可．【詳解】解：∵，∴的倒數是，故選：B．【變式10-3】下列各組數中，互為相反數的是（）A．3和 B．3和 C．和 D．和【答案】B【分析】本題考查了相反數，解題的關鍵是掌握相反數的定義．利用相反數的定義判斷．【詳解】解：3和不互為相反數，選項不符合題意；3和互為相反數，選項符合題意；，兩個數不互為相反數，選項不符合題意；，兩個數不互為相反數，選項不符合題意．故選：．

【考點題型十一】相反數的性質運用

【典例11】已知與2互為相反數，那么．【答案】【分析】根據相反數的定義求解即可．【詳解】解：∵與2互為相反數，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相反數的定義，熟知互為相反數的兩個數和為零是解題的關鍵．【變式11-1】若、互為相反數，則．【答案】5【分析】根據互為相反數的兩個數的和為，可得的絕對值，根據負數的絕對值是它的相反數，可得答案．【詳解】解：、互為相反數，，故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值，先算的值，再算絕對值．【變式11-2】若，互為相反數，，互為倒數，則．【答案】-4【分析】互為相反數的兩數和為0，互為倒數的兩數乘積為1，據此作答．【詳解】，互為相反數，故；，互為倒數，故；則故答案為：-4．【點睛】本題考查相反數、倒數的性質，解決本題的關鍵是熟悉相反數、倒數的性質并應用．【變式11-3】若與互為相反數，則=【答案】5【分析】根據非負數的性質“兩個非負數相加，和為0，這兩個非負數的值都為0”解出a、b的值，再代入所求代數式計算即可．【詳解】解：∵與互為相反數，∴，∴且，解得且，∴．故答案為：5．【點睛】本題考查了非負數的性質，初中階段有三種類型的非負數：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據這個結論可以求解這類題目．

【考點題型十二】絕對值定義、絕對值的性質

【典例12】一個數的絕對值等于，則這個數是．【答案】【分析】本題考查了絕對值的意義，根據絕對值的定義進行求解即可．【詳解】解：一個數的絕對值等于，這個數是，故答案為：．【變式12-1】的絕對值是（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了絕對值，根據絕對值的性質：負數的絕對值是它的相反數，進行解答即可．【詳解】負數的絕對值等于它的相反數，的絕對值是3，故選：B．【變式12-2】若，，且，則的值為（

）A． B． C．或 D．7或【答案】C【分析】由已知可得，或，，代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，或，，∴或．故選：C．【點睛】本題考查了代數式求值，絕對值的性質，熟練掌握絕對值和平方的意義是解題的關鍵．【變式12-3】化學老師在實驗室中發現了四個因操作不規范沾染污垢或被腐蝕的砝碼，經過測量，超出標準質量的部分記為正數、不足的部分記為負數，它們中質量最接近標準的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出超過標準的克數和低于標準的克數的絕對值，絕對值小的則是最接近標準的球．本題考查正數與負數以及絕對值，熟練掌握絕對值的意義是解題的關鍵．【詳解】解：通過求4個排球的絕對值得：，，，．的絕對值最小，所以這個砝碼是最接近標準的球．故選：B．

【考點題型十三】化簡絕對值

【典例13】已知有理數a、b、c在數軸上位置如圖所示，化簡：．【答案】【分析】本題考查數軸、絕對值，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據數軸可以判斷a、b、c的正負和絕對值的大小，從而可以化簡題目中的式子．【詳解】解：根據數軸，得，，．

【變式13-1】有理數m、n在數軸上的對應點如圖所示，則下列各式子正確的是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了數軸的知識，先觀察數軸得出，再根據絕對值的意義、有理數的大小比較法則，對四個答案依次分析即可．【詳解】由圖可知：，則故選：B．【變式13-2】若，；若，；①若，則；②若，則．【答案】111【分析】此題考查了分類討論解決含字母參數絕對值的問題，關鍵是能確定含字母參數絕對值是它本身還是它的相反數．根據實數絕對值的性質，根據的符號確定它的絕對值是它本身還是相反數即可．【詳解】解：，，；，，，故答案為：1，；①，，，，故答案為：1；②，、、中有一個負數、兩個正數和三個負數兩種情況，當、、中有一個負數、兩個正數時，，當、、中有三個負數時，，故答案為：1或．【變式13-3】已知為有理數，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查絕對值的幾何意義求含絕對值的代數式的最值，理解絕對值的幾何意義，分類討論求解即可得到答案，熟記絕對值的幾何意義是解決問題的關鍵．【詳解】解：表示的點為數軸上的一個動點，由絕對值的幾何意義可知，指表示的點與表示的點的距離表示的點與表示的點的距離，分三種情況：當時，如圖所示：，最小值為；當時，如圖所示：，最小值為；當時，如圖所示：，最小值為；綜上所述，的最小值是為，故答案為：．【考點題型十四】非負性的性質

【典例14】已知，則．【答案】【分析】本題考查了非負數的性質，掌握幾個非負數的和為0，這幾個數都為0是解題的關鍵．根據非負數的性質列出方程組，求得，的值即可．【詳解】解：，，，解得，，故答案為．【變式14-1】已知則．【答案】7【分析】本題考查非負性，代數式求值，根據非負性，求出的值，進而求出代數式的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故答案為：7．【變式14-2】已知，則．【答案】【分析】本題考查了非負數的性質：有限個非負數的和為零，則每一個加數都為零．根據絕對值和平方的非負性可知，，求出、的值代入即可得出答案．【詳解】解：，，故答案為：．【考點題型十五】有理數的加減運算

【典例15】計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數的加法，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）從左到右依次計算即可；（2）運用加法的交換律和結合律計算即可；（3）運用加法的交換律和結合律計算即可；（4）運用加法的交換律和結合律計算即可；【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【變式15-1】不改變原式的值，將中的減法改成加法并寫成省略加號和的形式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了有理數的加減混合運算，根據減去一個數等于加上這個數的相反數進行化簡即可．【詳解】解：，故選：C．

【變式15-2】計算：(1)(2)；(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）先去括號，再算加減即可；（2）先將原式展開，再將分數合并，整數合并，再計算加減即可；（3）根據有理數混合運算的順序計算即可；（4）先去括號和絕對值，再計算加減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【變式15-3】計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數的加減法法則及加法運算律，熟練掌握有理數的加減法法則及加法運算律是解題的關鍵．（1）根據有理數的加減法法則計算即可得解；（2）根據有理數的加減法法則及加法運算律計算即可得解．【詳解】（1）解：；（2）解：【考點題型十六】有理數乘除法運算

【典例16】計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把除法變為乘法，再利用多個有理數相乘的法則計算即可；（2）先把除法變為乘法，再利用多個有理數相乘的法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】此題考查了有理數的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【變式16-1】計算：【答案】【分析】此題考查了有理數的混合運算，原式先計算括號中的加法運算，再計算乘除運算即可求出值．【詳解】解：．

【考點題型十七】有理數的乘方

【典例17】下列各組數中，最后運算結果相等的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】本題考查了乘方運算，根據乘方運算法則逐項計算即可．【詳解】解：A．，，故不相等；B．，，故不相等；C．，，故相等；D．，，故不相等；故選C．【變式17-1】生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示即；，，，，，…，請你推算的個位數字是（

）A．6 B．4 C．2 D．8【答案】A【分析】本題主要考查數字的變化規律，乘方運算．根據尾數的循環性得出結論即可，【詳解】解：由題意知，個位數字每四個數按2，4，8，6循環出現，∵，∴的個位數字與相同，為6，故選：A．【變式17-2】對于式子，下列說法正確的是（

）A．指數是 B．底數是3 C．冪為 D．表示3個相乘【答案】D【分析】本題考查了有理數的乘方，解題的關鍵是掌握有理數的乘方．根據有理數乘方的定義即可判斷．【詳解】解：的指數是3，底數是，表示3個相乘，則冪是，故選：D

【考點題型十八】有理數混合運算

【典例8】計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握混合運算的順序是解答本題的關鍵．（1）先算乘方和除法，再廳絕對值，然后算乘法，最后算加減；（2）先算乘方和乘法，再算除法，后算加減．【詳解】（1）解：（2）解：【變式18-1】計算：【答案】【分析】本題主要考查了有理數的混合運算，熟練掌握有理數的混合運算順序和運算法則是解題的關鍵．先計算有理數的乘方，再計算有理數的乘除，最后計算有理數的加減法即可．【詳解】解：．【變式18-2】計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數的混合運算：（1）除法變乘法，利用乘法分配律進行計算即可；（2）根據有理數的運算法則和運算順序進行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【變式18-3】計算：(1)；(2)；【答案】(1)6(2)32【分析】本題主要考查了有理數混合運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數混合運算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號的先算小括號里面的”．（1）根據有理數加減混合運算法則進行計算即可；（2）根據含乘方的有理數混合運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．

【考點題型十九】算“24”點【典例19】小明有5張寫著不同數字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各問題：(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數字的乘積最大．這兩張卡片上的數字分別是________，積為________；(2)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結果為24，寫出運算式子及運算過程．（寫出一種即可）【答案】(1)和；15(2)【分析】（1）找出兩個數字，使其積最大即可；（2）利用24點游戲規則判斷即可．【詳解】（1）解：兩張卡片上的數字分別是和時，乘積最大，且最大值為：．故答案為：和；15．（2）解：根據題意得：．【點睛】本題考查了有理數的乘法、除法、混合運算等知識點，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式19-1】嘉嘉和琪琪在玩24點游戲，游戲規則是：從一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，任意抽取4張牌，把牌面上的數運用你所學過的運算（可以使用括號）得出24．每張牌都必須使用一次，但不能重復使用．嘉嘉抽到的四張牌如下，請幫他寫出一個計算結果為24的算式．【答案】（答案不唯一）【分析】此題主要考查了有理數的混合運算，注意明確有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．【詳解】解：本題中設計的數字有：8，4，2，12．根據題目規則，可得滿足條件的算式如下：（1）．（2）．（3）．（4）等．故答案為：（答案不唯一）．【變式19-2】“算24”是我國民間傳統的益智游戲，游戲規則為：隨機給出四個數，每個數必用且僅能用一次，只利用“加號、減號、乘號、除號”（可以重復使用）及括號（含小括號、中括號）連接，使得四個數的運算結果等于24．如：給出1、2、3、4四個數，則得到24的式子可以是：．現給出“3、3、8、8”四個數，則得到24的式子可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查有理數的混合運算，解題的關鍵是理解“算24”的游戲規則，靈活運用運算法則計算．【詳解】解：，故答案為：（答案不唯一）．【變式19-3】“24點”游戲是一種益智游戲，要求玩家將4個給定的有理數進行加、減、乘、除四則混合運算（允許使用括號，每個數只能使用一次）使最后的計算是24．四個有理數，3，4，，請運用上述規則，使其結果為24，這個算式可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據有理數的混合運算可進行求解．【詳解】解：由題意可得這個算式可以是；故答案為（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查有理數的混合運算，熟練掌握有理數的混合運算是解題的關鍵．

【考點題型二十】科學計數法

【典例20】近日多彩貴州網訊，隨著氣溫持續回暖，各色杜鵑花陸續綻放，百里杜鵑景區也迎來了2024年賞花旅游小高峰．百里杜鵑景區自3月30日以來，景區已接待游客約309000人次，較2023年同期接待游客人次同比增長．全國各地前來百里杜鵑游客絡繹不絕．309000這個數用科學記數法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了科學記數法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：故選D．【變式20-1】年月29日時分，我國神舟十五號載人飛船在酒泉衛星發射中心成功發射，并成功與“天宮一號”順利對接．據測量，“天宮一號”據地面高度大約為米，這個數用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了科學記數法，根據科學記數法：（，為正整數），先確定的值，再根據小數點移動的數位確定的值即可解答，根據科學記數法確定和的值是解題的關鍵．【詳解】解：，故選：．【變式20-2】新型冠狀病毒蔓延全球，截至到北京時間2020年6月20日，全球新冠肺炎累計確診病例超過例，數字用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查用科學記數法表示絕對值大于1的數．科學記數法的表示形式為的形式，其中為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正數；當原數的絕對值時，n是負數．熟記相關結論即可．【詳解】解：，故選：D【變式20-3】北京時間2022年11月30日，神舟十五號飛船與中國空間站對接成功，中國航天員首次太空會師，中國空間站距離地球大約為400公里（400000米），請將400000米用科學記數法表示為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．【詳解】解：將400000米用科學記數法表示為．故選：A．

【考點題型二十一】近似數的表示

【典例21】用四舍五入法對2.06032分別取近似值，其中錯誤的是（

）A．2.1（精確到 B．2.06（精確到百分位）C．2.0（精確到十分位） D．2.0603（精確到【答案】C【分析】本題考查了近似數與精確度，熟練掌握精確度的定義是解答本題的關鍵．要求精確到某一位，應當對下一位的數字進