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專題34圓錐曲線存在性問題的探究【方法技巧與總結】解決存在性問題的技巧:(1)特殊值(點)法:對于一些復雜的題目,可通過其中的特殊情況,解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立.(2)假設法:先假設存在,推證滿足條件的結論.若結論正確,則存在;若結論不正確,則不存在.【題型歸納目錄】題型一:存在點使向量數量積為定值題型二:存在點使斜率之和或之積為定值題型三:存在點使兩角度相等題型四:存在點使等式恒成立題型五:存在點使線段關系式為定值【典例例題】題型一:存在點使向量數量積為定值例1.已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,橢圓長軸兩個端點間的距離與兩個焦點之間的距離的差為,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點作直線交于、兩點,試問:在軸上是否存在一個定點,使為定值?若存在,求出這個定點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1),可得,,,所求橢圓的方程為:.(2)當直線不與軸重合時,可設直線的方程為:,聯立,把消去可得整理得:,設,、,,,,假設存在定點,使得為定值,.當且僅當,即時,(為定值).這時,再驗證當直線的傾斜角時的情形,此時取,,,存在定點使得對于經過點的任意一條直線均有(恒為定值).例2.已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,其左、右焦點分別為,,短軸長為.點在橢圓上,且滿足△的周長為6.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設過點的直線與橢圓相交于,兩點,試問在軸上是否存在一個定點,使得恒為定值?若存在,求出該定值及點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:由題意知:,解得,橢圓方程為:設,,,,.設直線的方程為:存在)聯立,得:,則又而為定值.只需,解得:,從而.當不存在時,此時,當時,故:存在,使得.例3.已知橢圓的離心率為,橢圓經過點.(1)求橢圓的方程;(2)過點作直線交于,兩點,試問:在軸上是否存在一個定點,使為定值?若存在,求出這個定點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意得,即,又橢圓經過點,可得,解得,,所以橢圓的方程為;(2)假設存在符合條件的點,設,,,,則,,,,,①當直線的斜率存在時,設直線的方程為,由,得,可得△成立,且,,,,對于任意的值,上式為定值,故,解得:,此時,為定值;②當直線的斜率不存在時,直線,,,,由,得為定值,綜合①②知,符合條件的點存在,其坐標為,.變式1.已知橢圓的離心率,過右焦點的直線與橢圓交于,兩點,在第一象限,且.(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點,滿足對于過點的任一直線與橢圓的兩個交點,,都有為定值?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.【解析】解:(1)直線的傾斜角為,且,點,,解得:,橢圓的方程為:.(2)設,直線的方程為:,,,,,聯立方程,消去得:,,,,,,,令為定值,則,解得:,此時為定值,也為定值,所以存在,,使得為定值.變式2.已知,,點滿足,記點的軌跡為,(1)求軌跡的方程;(2)若直線過點且法向量為,直線與軌跡交于、兩點.①過、作軸的垂線、,垂足分別為、,記,試確定的取值范圍;②在軸上是否存在定點,無論直線繞點怎樣轉動,使恒成立?如果存在,求出定點;如果不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由知,點的軌跡是以,為焦點的雙曲線的右支.軌跡方程為.(2)直線的方程為,由得,設,,,,由條件得解得即.①,由條件,故,,因為,因此.②設存在點滿足條件,由,得對任意恒成立,所以,解得,因此存在定點滿足條件.變式3.已知雙曲線的焦距為4,以原點為圓心,實半軸長為半徑的圓和直線相切.(Ⅰ)求雙曲線的方程;(Ⅱ)已知點為雙曲線的左焦點,試問在軸上是否存在一定點,過點任意作一條直線交雙曲線于,兩點,使為定值?若存在,求出此定值和所有的定點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(Ⅰ)原點到直線的距離,,,雙曲線的方程為;(Ⅱ)解法一:假設存在點滿足條件,①當直線方程為時,則,;②當直線方程不是時,可設直線,代入整理得,由△得,設方程的兩個根為,,滿足,,當且僅當時,為定值1,解得,不滿足對任意,△,不合題意,舍去.而且滿足△;綜上得:過定點任意作一條直線交雙曲線于,兩點,使為定值1.解法二:前同解法一,得,由,解得,下同解法一.解法三:當直線不垂直軸時,設,代入整理得,由△得,設方程的兩個根為,,滿足,,當且僅當時,為定值1,解得,不滿足對任意,△,不合題意,舍去,而且滿足△;當直線軸時,代入得,;(9分)綜上得:(結論同解法一)題型二:存在點使斜率之和或之積為定值例4.已知橢圓的離心率為,,分別是橢圓的左、右焦點,是橢圓上一點,且△的周長是6,.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設直線經過橢圓的左焦點且與橢圓交于不同的兩點,,試問:直線與直線的斜率的和是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.【解析】解:(Ⅰ)由橢圓的定義知△的周長為,所以.又因為橢圓的離心率,所以,聯立解得,,所以,因此橢圓方程為.(Ⅱ)設,,,,直線方程為,聯立,消去,得,則,,因為,所以為定值,這個定值為0,當直線與軸重合時,也有,所以直線與直線的斜率的和為定值0.(2)設,,,,當直線的斜率存在時,設直線方程為,聯立,消去得,則,,因為,當直線與軸垂直時,有,所以直線與直線的斜率的和為定值0.例5.已知橢圓的離心率為,設直線過橢圓的上頂點和右頂點,坐標原點到直線的距離為.(Ⅰ)求橢圓的方程.(Ⅱ)過點且斜率不為零的直線交橢圓于,兩點,在軸的正半軸上是否存在定點,使得直線,的斜率之積為非零的常數?若存在,求出定點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(Ⅰ)設橢圓半焦距為.根據題意得,橢圓離心率,即,所以.①因為直線過橢圓的上頂點和右頂點,所以設直線的方程為,即,又由點到直線的距離為,得.②聯立①②解得,,所以橢圓的方程為;(Ⅱ)依題意可設直線的方程為,,,,,聯立,消去,得.所以△,所以,所以,,則,,假設存在定點,,使得直線,的斜率之積為非零常數,所以,要使為非零常數,當且僅當,解得(負值舍去).當時,常數為,所以軸的正半軸上存在定點,使得直線,的斜率之積為常數.例6.已知橢圓的離心率為,設直線過橢圓的上頂點和右焦點,坐標原點到直線的距離為2.(1)求橢圓的方程.(2)過點且斜率不為零的直線交橢圓于,兩點,在軸的正半軸上是否存在定點,使得直線,的斜率之積為非零的常數?若存在,求出定點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)設橢圓的半焦距為,根據題意,得.因為過橢圓的上頂點和右頂點,所以的方程為,即.又由點到直線的距離為2,得,所以.設,,則,解得,從而,所以橢圓的方程為.(2)依題意設直線的方程為,,,,.聯立方程組消去得,△,所以,,,.假設存在定點,,使得直線,的斜率之積為非零常數,則.要使為非零常數,當且僅當,即時成立,此時,,所以軸的正半軸上存在定點,使得直線,的斜率之積為常數.變式4.已知橢圓,四點,,,中恰有三點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過點且斜率不為0的直線交橢圓于,兩點,在軸上是否存在定點,使得直線的斜率與直線的斜率之積為定值?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由于,兩點關于軸對稱,故由題設可知經過,兩點,則圖象不經過點,故在橢圓上,,解得,,故橢圓的方程為,(2)由題設知,直線不能與軸重合,故可設直線的方程為,設,、,,,直線的斜率為,直線的斜率為,由,得,則△則,,,當時,即時,為定值,或,此時點的坐標為.變式5.設橢圓的離心率是,過點的動直線于橢圓相交于,兩點,當直線平行于軸時,直線被橢圓截得弦長為.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在上是否存在與點不同的定點,使得直線和的傾斜角互補?若存在,求的坐標;若不存在,說明理由.【解析】解(Ⅰ)由已知可得,橢圓經過點,因此,解得,所以橢圓方程為;(Ⅱ)設點的坐標為,當直線與軸垂直時,直線與的傾斜角均為,滿足題意,此時,且;當直線的斜率存在時,可設直線的方程為,,,,,聯立,得,其判別式△,,,直線和直線的傾斜角互補,,,即,整理得,把,代入得,,,即,綜上所述存在與點不同的定點滿足題意.題型三:存在點使兩角度相等例7.已知,是橢圓的兩個焦點,是橢圓上一點,當時,有.(1)求橢圓的標準方程;(2)設過橢圓右焦點的動直線與橢圓交于,兩點,試問在軸上是否存在與不重合的定點,使得恒成立?若存在,求出定點的坐標,若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意,.故.可設點坐標為,則,解得,即.,解得.,.橢圓的標準方程為.(2)由題意,假設存在與不重合的定點,使得恒成立,設,,且,,,,,則,.,,即.整理,得.設直線.聯立,消去,整理得.,...存在與不重合的定點,使得恒成立,且點坐標為.例8.在平面直角坐標系內,橢圓,離心率為,右焦點到右準線的距離為2,直線過右焦點且與橢圓交于、兩點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若直線與軸垂直,為橢圓上的動點,求的取值范圍;(3)若動直線與軸不重合,在軸上是否存在定點,使得始終平分?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意得:,得,,(2分),,橢圓的標準方程為:.(4分)(2)當直線與軸垂直時,,,設點,,則,又點在橢圓上,,消去得,,得取值范圍為,.(8分)(3)假設在軸上存在點滿足題意,不妨設,設,,,,設直線的方程為:,聯列,消去得,則,,(12分)由平分知:,(13分)又,又,,得,即,得,所以存在點滿足題意.(16分)例9.已知橢圓的左、右焦點分別為、,點滿足:,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)過點的直線與交于,,,不同的兩點,且,問在軸上是否存在定點,使得直線,與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形.若存在,求定點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)因為,所以點在橢圓上,將代入,得①,設橢圓焦距為,則,所以,又②,由①②解得,,所以橢圓的方程為;(2)顯然直線的斜率存在且不為0,設直線,聯立消去整理得:,由△,得,則,,假設存在點,因為直線,與軸圍成的三角形始終為底邊在軸上的等腰三角形,所以,設,則,即,所以,解得.故在軸上存在定點,使得直線,與軸圍成的三角形始終在底邊為軸上的等腰三角形.變式6.已知橢圓的離心率為,左、右焦點分別為,,為坐標原點,點在橢圓上,且滿足,.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)已知過點且不與軸重合的直線與橢圓交于,兩點,在軸上是否存在定點,使得.若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.【解析】解:(Ⅰ)由知,在△中,,,解得,,,所以橢圓;(6分)(Ⅱ)假設存在點滿足條件,設直線方程為,,,,,,消去有,,.因為,所以,即,解得.所以存在使得.(12分)題型四:存在點使等式恒成立例10.已知橢圓的右焦點為,橢圓上異于頂點的動點滿足直線與的斜率之積為.(1)求橢圓的方程.(2)過點的直線與橢圓交于,,,兩點,其中,點與不重合)在軸上,直線,分別與軸交于,,是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出定點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)設,,則①由,得,即②結合①②得.又由右焦點,得,所以,,所以橢圓的方程為.(2)設存在定點,使得恒成立.顯然直線的斜率不為0,故設直線,消去得,△,即由題意可知,存在且不為0,則.要使恒成立,只需,即,故.所以在軸上存在定點,使得恒成立.例11.已知橢圓的右頂點為,離心率為.(1)求橢圓的標準方程;(2)過橢圓的左焦點且斜率為的直線交橢圓于,兩點,為坐標原點,問橢圓上是否存在點,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意可知,又離心率為,,,橢圓的標準方程為:.(2)設點,,,,,,設直線的方程為,聯立方程,消去得:,△,,則,,則點,又點在橢圓上,,整理得:,解得,橢圓上存在點,使得,此時直線的方程為.例12.設、分別是橢圓的左、右焦點,,直線過且垂直于軸,交橢圓于、兩點,連接、、,所組成的三角形為等邊三角形.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)過右焦點的直線與橢圓相交于、兩點,試問:橢圓上是否存在點,使成立?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.【解析】(本小題滿分14分)(Ⅰ)、分別是橢圓的左、右焦點,,由可得,(1分)等邊三角形中:,,(3分)則,得,(4分)又,,(5分)則橢圓;(6分)(Ⅱ)設,、,,則由題意知的斜率為一定不為0,故不妨設,代入橢圓的方程中,整理得,(8分)由題意得△.由韋達定理有:,①(9分)且②(10分)假設存在點,使成立,則其充要條件為:點,,(11分)點在橢圓上,即.整理得(12分)又、在橢圓上,即,,由①②代入:,解得,(13分)(14分)變式7.已知橢圓過點,且橢圓的短軸長為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)已知動直線過右焦點,且與橢圓分別交于,兩點.試問軸上是否存在定點,使得恒成立?若存在求出點的坐標;若不存在,說明理由.【解析】解:(Ⅰ)由題意知,,解得,,橢圓的方程為.(Ⅱ)設存在點滿足題意,點為,當直線的斜率不存在時,則,,,,,解得或.當直線的斜率存在時,設其方程為,,,,,聯立,得,則,,,,,,,化簡整理得,,且,解得.綜上所述,軸上存在定點,使得恒成立,點的坐標為,.變式8.已知橢圓的右焦點為,且點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程;(2)已知動直線過點,且與橢圓交于,兩點,試問軸上是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)由題意,點在橢圓上,根據橢圓的定義可得:,,橢圓的標準方程為;(2)假設軸上存在點,使得恒成立當直線的斜率為0時,,,,,則,,①當直線的斜率不存在時,,,則,或②由①②可得.下面證明時,恒成立當直線的斜率為0時,結論成立;當直線的斜率不為0時,設直線的方程為,,,,直線方程代入橢圓方程,整理可得,,,,綜上,軸上存在點,,使得恒成立.變式9.已知橢圓的右焦點為,離心率.(1)求橢圓的標準方程;(2)已知動直線過點,且與橢圓交于,兩點,試問軸上是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.【解析】解:(1),,,,橢圓方程為.(2)假設軸上存在點,使得,①當直線的斜率為0時,,,則,解得.②當直線的斜率不存在時,,,則,解得,.由①②可得.下面證明時,恒成立.直線斜率存在時,設直線方程為,,.由消整理得:,,,,所以,,,綜上,軸上存在點,使得恒成立.變式10.已知橢圓,過右焦點的直線交橢圓于,兩點.(1)若,求直線的方程;(2)若直線的斜率存在,在線段上是否存在點,使得,若存在,求出的范圍,若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)當直線的斜率不存在時,,,不符合題意;當直線的斜率存在時,設,,,,直線的方程為,①又橢圓的方程為,②由①②可得,,,,,解得,,即直線的方程為或.(2)由(1)可知,設的中點為,即,假設存在點,使得,則,解得,當時,,為橢圓長軸的兩個端點,則點與原點重合,當時,,綜上所述,存在點且.變式11.設橢圓的右焦點為,右頂點為,已知,其中為坐標原點,為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)是否存在斜率為2的直線,使得當直線與橢圓有兩個不同交點,時,能在直線上找到一點,在橢圓上找到一點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.【解析】解:(1)橢圓的右焦點為,右頂點為,,可得,又因為,,解得,故橢圓的方程為;(2)橢圓上不存在這樣的點.事實上,設直線的方程為,聯立橢圓方程,得,△,得.設,,,,則,,由知為平行四邊形,而為的中點,也是的中點,于是設,,,,則,即,可得,因為,所以,若,在橢圓上,則,矛盾.因此,不存在滿足條件的點,.變式12.設橢圓的左焦點為,左頂點為,已知,其中為坐標原點,為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)是否存在斜率為的直線,使得當直線與橢圓有兩個不同交點,時,能在直線上找到一點,在橢圓上找到一點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.【解析】解:(1)由題意知:,又因為,,解得故橢圓的方程為,(2)橢圓上不存在這樣的點.設直線的方程為,聯立,得,△,得.設,,,,則,,由知為平行四邊形,而為的中點,也是的中點.于是設,,,則,即,可得.因為,所以.若,在橢圓上,則,矛盾.因此,不存在滿足條件的點,.題型五:存在點使線段關系式為定值例13.已知橢圓的焦距為2,且經過點.(1)求橢圓的方程;(2)經過橢圓右焦點且斜率為的動直線與橢圓交于、兩點,試問軸上是否存在異于點的定點,使恒成立?若存在,求出點坐標,若不存在,說明理由.【解析】解:由橢圓的焦距為2,故,則,又由橢圓經過點,代入得,得,,所以橢圓的方程為:.(2)根據題意,直線的斜率顯然不為零,令由橢圓右焦點,故可設直線的方程為,與聯立得,,則△,設,設存在點,設點坐標為,由,得,又因為,所以,,所以直線和關于軸對稱,其傾斜角互補,即有,則:,所以,所以,,即,即,解得,符合題意,即存在點滿足題意.例14.橢圓經過兩點,,,過點的動直線與橢圓相交于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)若橢圓的右焦點是,其右準線與軸交于點,直線的斜率為,直線的斜率為,求證:;(3)設點是橢圓的長軸上某一點(不為長軸頂點及坐標原點),是否存

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