專題21圓錐曲線中的軌跡方程的求法軌跡方程歷年高考中的熱門考點，常在解答題中第（1）問出現。本專題主要研究圓錐曲線中關于軌跡方程求法。首先正確理解曲線與方程的概念，會用解析幾何的基本思想和坐標法研究幾何問題，用方程的觀點實現幾何問題的代數化解決，并能根據所給條件選擇適當的方法求曲線的軌跡方程，常用方法有：直譯法、定義法、相關點法、參數（交軌）法、點差法等。另一方面求軌跡方程是培養學生數形轉化的思想、方法以及技巧的極好教材。該內容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學的全過程，而且在建構思想、函數方程思想、化歸轉化思想等方面均有體現和滲透。一、熱點題型歸納題型1、直譯法題型2、相關點法題型3、定義法題型4、參數法（交軌法）題型5、點差法二、最新模考題組練三、十年高考真題練【題型1】直譯法【解題技巧】直譯法：若動點運動的條件是一些已知（或通過分析得出）幾何量的等量關系，可轉化成含x,y的等式，就得到軌跡方程。知識儲備：兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線的斜率（向量）公式等?！镜淅治觥坷?．（2022·重慶南開中學模擬預測）已知點，動點到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．求的方程；【答案】【分析】根據已知條件可得出關于、的等式，化簡后可得出曲線的方程；【解析】由題意知，兩邊平方整即得，所以曲線的方程為.例2．（2022·安徽蚌埠·一模）在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，設動點的軌跡為曲線.求曲線的方程；【答案】【分析】依題意由距離公式得到方程，整理即可得到動點的軌跡方程；【解析】解：由題設得，即，整理得；由例1、2推廣：圓錐曲線統一定義（第二定義）：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0<e<1時為橢圓：當e=1時為拋物線；當e>1時為雙曲線。。例3．（2022·遼寧鞍山·一模）在平面直角坐標系xOy中，點B與點關于原點對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.求動點P的軌跡方程，并注明x的范圍；【答案】【分析】根據兩點間斜率公式以及題中條件斜率之積即可列方程求解，【解析】因為點B與點關于原點O對稱，所以點B的坐標為設點P的坐標為，由題意得，化簡得故動點P的軌跡方程為；例4．（2022·江蘇·高三期中）某同學利用圖形計算器研究教材中一例問題“設點，，直線，相交于點M，且它們的斜率之積為，求點M的軌跡方程”時，將其中已知條件“斜率之積為”拓展為“斜率之積為常數”之后，進行了如圖所示的作圖探究：參考該同學的探究，下列結論不正確的有：（

）A．時，點M的軌跡為橢圓(不含與x軸的交點)B．時，點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓(不含與x軸的交點)C．時，點M的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(不含與x軸的交點)D．時，點M的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線(不含與x軸的交點)【答案】A【解析】首先設，由，整理可得（），再根據各個選項中的取值范圍，結合橢圓和雙曲線的標準方程，進行分析判斷即可得解.【詳解】設，，整理可得（），對A，若，點M的軌跡為圓(不含與x軸的交點)，故A不正確；對B，若，由（），則，故B正確；對C，若，由（），則，故C正確；對D，，（），，故D正確.故選：A.由例3、4推廣（圓錐曲線第三定義）：平面內的動點到兩定點A和B的斜率之積為e21的點的軌跡為橢圓或雙曲線。其中點A、B關于原點對稱，當0<e2<1時為橢圓，當e2>1時為雙曲線。注意：上述定義有個小瑕疵就是該動點軌跡不包含A、B兩點?！咀兪窖菥殹?．（2022·湖南·長沙模擬預測）古希臘三大數學家之一阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中指出：平面內與兩定點距離的比為常數k(且的點的軌跡是圓，已知平面內兩點A(，0)，B(2，0)，直線，曲線C上動點P滿足，則曲線C與直線l相交于M、N兩點，則|MN|的最短長度為（

）A． B． C．2 D．2【答案】C【分析】首先通過設動點P坐標，結合|PA|、PB|邊長間的關系得到曲線C的軌跡為圓，問題轉化為直線與圓的最短弦長問題，結合條件直線l過定點，通過垂徑定理求解即可．【詳解】設動點P的坐標為(x，y)，則，由得：化簡后得：曲線C：，故P點軌跡為圓，又可化為直線l過定點A(1，2)，則圓心到直線的距離的最大值為|OA|，此時|MN|的長度最短．所以|MN|的最短長度為．故選：C.2．（2022·寧夏·高三期中（理））在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，為曲線上異于極點的動點，點在射線上，且、、成等比數列．求點的軌跡的直角坐標方程；【答案】【分析】設、，由已知條件可得出，又由點在曲線上可得出，即可得出點的極坐標滿足的極坐標方程，化為普通方程即可；【詳解】解：設、，則由、、成等比數列可得，即，，又滿足，即，所以，，故的直角坐標方程為．3．（2022·山東濰坊·三模）已知為坐標原點，定點，是圓內一動點，圓與以線段為直徑的圓內切．求動點的軌跡方程；【答案】且；【分析】令，可得線段為直徑的圓心為，利用兩點距離公式及兩圓的內切關系列方程并化簡，即可得軌跡方程.【詳解】令，又在圓內，且圓與以線段為直徑的圓內切，所以線段為直徑的圓心為，則，整理有，則，所以，又是圓內一動點，故，故的軌跡方程為且.【題型2】相關點法【解題技巧】相關點法：若軌跡點P（x,y）與已知曲線上的動點Q（x0,y0）有關聯，則可先列出關于x、y,x0、y0的方程組，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0代入已知曲線方程便得動點P的軌跡方程。該方法也可拓展到極坐標系下，按相似處理方式完成。注：若線段存在倍分關系，一般情況采用直角坐標系下的相關點處理；若存在旋轉變換，一般可在極坐標系下進行相關點處理。知識儲備：重心坐標公式；向量的運算公式；極坐標系的相關運算等。【典例分析】例1．（2022·福建福州模擬預測）圓：與軸的兩個交點分別為，，點為圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足求點的軌跡方程；【答案】【分析】設點在圓上，故有，設，根據題意得，，再代入圓即可求解；（1）設點在圓上，故有，設，又，可得，，即，代入可得，化簡得：，故點的軌跡方程為：.例2．（2022·黑龍江·哈爾濱模擬預測）長為10的線段的兩個端點，分別在軸和軸上滑動，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若，則，由為AB中點，得到，代入方程，即可的M的軌跡方程.【詳解】由題意，若，則，∴設，即，有，∴，得.故選：D.例3．（2022·成都市·高三專題練習）已知F1，F2分別為橢圓C：的左，右焦點，點P為橢圓C上的動點，則△PF1F2的重心G的軌跡方程為（

）A．(y≠0)B．＋y2＝1(y≠0)C．＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋＝1(y≠0)【答案】C【解析】設P(x0，y0)，G(x，y)，利用三角形的重心的坐標公式可得，將其代入可得結果.【詳解】依題意知F1(－1,0)，F2(1,0)，設P(x0，y0)，G(x，y)，則由三角形重心坐標公式可得，即，將其代入得重心G的軌跡方程為＋3y2＝1(y≠0)．故選：C【點睛】本題考查了三角形的重心的坐標公式，考查了用代入法求動點的軌跡方程，屬于基礎題.相關點法也可拓展到極坐標體系下，如例4例4．（2022·黑龍江·模擬預測）在極坐標系下，設點為曲線：在極軸上方的一點，且，以極點為原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標系．求曲線的參數方程；【答案】(1)，其中為參數；(2)，【分析】先將曲線的極坐標方程化成直角坐標系中的方程，再利用圓的參數方程即可得解；使用代入法求軌跡方程,設為，設為，再根據題意可得兩點坐標的關系，代入，從而得點軌跡的極坐標方程．【詳解】（1）曲線：，，，，在直角坐標系中，曲線是以為圓心，為半徑的圓，曲線的參數方程為，其中為參數；（2）設為，則，且，設為，則根據題意可得：，，又，且，，，，，點軌跡的極坐標方程為，．【變式演練】1．（2022·廣東·高三專題練習）設線段AB的兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，且，，則點M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】設，據，得到，結合，即可求解.【詳解】設，由，可得，則，解得，因為，可得，即.故選：A.2．（2022·青?！ず|模擬預測）在直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（為參數），P是上的動點，點Q滿足，Q點的軌跡為曲線．求的直角坐標方程；【答案】【分析】設，由得到，再根據P點在上求解；(1)解：設，則．因為P點在上，所以，即（為參數），則的直角坐標方程為．3．（2022·湖北高考模擬）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子在滑槽AB內作往復運動時，帶動繞轉動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．求曲線C的軌跡方程；【答案】；【詳解】設點，，依題意，，且，所以，且即且由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為【題型3】定義法【解題技巧】定義法：運用解析幾何中一些常用定義（圓錐曲線的定義），再從曲線定義出發直接寫出軌跡方程。知識儲備：圓：（動點到定點的距離為定值）；橢圓：（動點到兩定點距離之和為定值）；雙曲線：（動點到兩定點距離之差為定值）；拋物線：（動點到定點與到定直線的距離相等）?！镜淅治觥坷?．（2022·江蘇·高三專題練習）已知點，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線l垂直平分FN，交于點M.求點M的軌跡方程；【答案】【分析】由題意得，結合拋物線的定義即可求得點M的軌跡方程；【詳解】由題意得，即動點M到點的距離和到直線的距離相等，所以點M的軌跡是以為焦點，直線y＝－2為準線的拋物線，根據拋物線定義可知點M的軌跡方程為；2．（2022·貴州·高三開學考試（理））已知定點，圓，過R點的直線交圓于M，N兩點過R點作直線交SM于Q點.求Q點的軌跡方程；【答案】;【分析】利用,,可以推出,根據可知:動點的軌跡是以為焦點,長軸長為4的橢圓,進而可以寫出Q點的軌跡方程.【詳解】如圖:因為,,所以,所以,根據橢圓的定義知:動點的軌跡是以為焦點,長軸長為4的橢圓,這里,所以點的軌跡方程為:.3．（2022·安徽·合肥模擬預測（理））已知圓M：上動點Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點為P．求交點P的軌跡C的方程；【答案】【分析】數形結合，由雙曲線定義可得；【詳解】由題知，所以由雙曲線定義可知點P的軌跡為雙曲線，其中，得曲線C的方程3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）如圖所示，已知是圓內的一點，，是圓上兩動點，且滿足，求矩形的頂點的軌跡方程.【答案】【解析】設的中點為，坐標為，根據題意，先求出點的軌跡方程；再設，根據題意，找出等量關系，進而可求出軌跡方程.【詳解】設的中點為，坐標為，則在中，.又因為是弦的中點，依垂徑定理，在中，.又，所以有，即.因此點在一個圓上，而當在此圓上運動時，點在所求的軌跡上運動.設，因為是的中點，所以，.代入方程，得.整理，得，這就是所求的軌跡方程.【點睛】本題主要考查求點的軌跡方程，熟記求軌跡方程的方法即可，屬于?？碱}型.【變式演練】1．（2022·湖北·襄陽四中模擬預測）已知圓：，，T是圓M上任意一點，線段NT的垂直平分線與半徑MT相交于點Q，當點T運動時，記點Q的軌跡為曲線C.求曲線C的方程；【答案】【分析】根據橢圓的定義結合垂直平分線的性質即可得結果；【詳解】因為點Q為線段NT的垂直平分線與半徑MT的交點，所以，所以,所以點Q的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，在橢圓中，，，所以求曲線C的方程為.2．（2022·內蒙古·三模）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【答案】【分析】根據圓C與圓A、圓B外切，得到<4，再利用雙曲線的定義求解；【詳解】解：因為圓C與圓A、圓B外切，設C點坐標，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；3．（2021·山東煙臺·高三期中）在直角坐標系中，線段，且兩個端點M、N分別在x軸和y軸上滑動．求線段的中點C的軌跡方程；【答案】【分析】根據點C到原點的距離為定值2，得出點C在以原點為圓心，2為半徑的圓上，寫出圓的方程即為點C的軌跡方程；【詳解】設線段的中點，當點C運動時，它到原點O的距離為定長，即的斜邊上的中線長，因為，所以，所以點C的軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓，所以點C的軌跡方程是．【題型4】參數法（交軌法）【解題技巧】參數法（交軌法）：如果不易直接找出動點的坐標之間的關系，可考慮借助中間變量（參數），把x，y聯系起來．其實某種意來說，交軌法也可看作參數法?！镜淅治觥坷?．（2022·浙江紹興·模擬預測）已知直線l1：y＝k1x和l2：y＝k2x與拋物線y2＝2px（p＞0）分別相交于A，B兩點（異于原點O）與直線l：y＝2x+p分別相交于P，Q兩點，且．求線段AB的中點M的軌跡方程；【答案】【分析】聯立方程，求出，，表達出線段AB的中點M的坐標，消去參數，求出軌跡方程；【詳解】聯立，解得：，把代入得：，所以，同理可得：，則線段AB的中點M的坐標為，因為，所以，消去得：所以線段AB的中點M的軌跡方程為例2．（2022·福建漳州模擬預測）已知拋物線：，直線過點.若與交于，兩點，點在線段上，且，求點的軌跡方程.【答案】，（且）【分析】解法一：設，，，不妨令，由已知可得，由，得，求出由韋達定理代入，進而求出點的軌跡方程.解法二：設，，，不妨令，由已知可得，設，解得，由韋達定理代入，進而求出點的軌跡方程.【詳解】解法一：設，，，不妨令，∵直線與拋物線有兩個交點，∴，∴，且，，.由，得，∴，∴，∴.∵，且，∴，且，∴點的軌跡方程為（，且）.解法二：設，，，不妨令，∵直線與拋物線有兩個交點，∴，∴，且，，.∵點在線段上，設，則，，∴，∴，∴，∴.∵，且，∴，且，∴點的軌跡方程為（，且）.例3．（2022·河南洛陽·三模（理））在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數），設與的交點為，當變化時，的軌跡為曲線.求曲線的普通方程；【答案】，【分析】消去參數得到直線、的普通方程，聯立兩方程消去，即可得到的軌跡；【詳解】解：因為直線的參數方程為（為參數），消去參數得直線的普通方程為①，直線的參數方程為（為參數），消去參數得直線的普通方程為②，設，由①②聯立得，消去得即曲線的普通方程為，；【變式演練】1．（2022·河南·高三課時練習）已知橢圓，點A，B分別是它的左、右頂點，一條垂直于x軸的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點，當直線l與橢圓相切于點A或點B時，看作P，Q兩點重合于點A或點B，求直線與直線的交點M的軌跡方程．【答案】【分析】設，則，寫出直線和直線方程，利用消去和即可得到結果.【詳解】設，則，則，因為，，當時，所以直線的方程為：直線的方程為：，所以，又，所以，即，當時，也符合上式，所以直線AP與直線BQ的交點M的軌跡方程是.2．（2022·陜西·模擬預測（理））已知橢圓C：的離心率為，且經過，經過定點斜率不為0的直線l交C于E，F兩點，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.【答案】(1)(2)P點的軌跡方程為【分析】（1）根據題意可得求解即可；（2）聯立直線方程結合求點P的橫坐標．【詳解】(1)根據題意可得，解得∴求橢圓C的方程為（2）根據題意可得直線AE：，BF：聯立方程，解得∴P點的軌跡方程為3．（2022·成都七中高三模擬）已知橢圓的離心率為，且經過點．Ⅰ求橢圓的標準方程；Ⅱ設O為橢圓的中心，點，過點A的動直線l交橢圓于另一點B，直線l上的點C滿足．，求直線BD與OC的交點P的軌跡方程．【答案】【分析】（1）利用橢圓C：的離心率為，且經過點M（2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，求得B點坐標，結合求出C的坐標，寫出BD、OC的直線方程，利用消參法求軌跡.【解析】因為橢圓的離心率，且，所以.又.故橢圓的標準方程為.設直線的方程為（當存在時，由題意），代入，并整理得.解得，于是，即.設，則.由已知得，得，解得，于是.又，由兩點的坐標可得直線的方程為.又由點坐標可得直線的方程為.兩式相乘，消去參數得.（如果只求出交點的坐標，此步不得分）又當不存在時，四點重合，此時也滿足題意.故直線與的交點的軌跡方程.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線過定點，正確運用韋達定理是關鍵．【題型5】點差法【解題技巧】點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關的問題一般可用點差法，基本方法是把弦的兩端點A（x1,y1），B（x2,y2）的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2,y1+y2,x1x2,y1y2等關系式，由于弦AB的中點P（x,y）的坐標滿足2x=x1+x2,2y=y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB的中點的軌跡方程。【典例分析】例1．（2022·全國·高三課時練習）設圓的方程為x2＋y2＝4，過點M(0,1)的直線l交圓于點A、B，O是坐標原點，點P為AB的中點，當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程.【答案】x2＋(y)2＝.【分析】先設點P的坐標為(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)，將A,B點的坐標代入圓的方程中，兩式相減，可得，再由已知條件求出軌跡方程．【詳解】設點P的坐標為(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．因為A、B在圓上，所以，，兩式相減得，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.當x1≠x2時，有x1＋x2＋(y1＋y2)·＝0，①并且②將②代入①并整理得x2＋(y－)2＝.③當x1＝x2時，點A、B的坐標為(0,2)、(0，－2)，這時點P的坐標為(0,0)也滿足③.所以點P的軌跡方程為x2＋(y－)2＝.點睛：本題主要考查了用“點差法”求軌跡方程，屬于中檔題．用“點差法”求軌跡方程步驟：先假設點的坐標，再將點坐標代入方程中，兩式相減，根據中點坐標公式和斜率公式求出軌跡，注意特殊情況是否符合．例2．（2022·貴州·高三期末）直線與圓錐曲線相交所得弦的中點問題，是解析幾何重要內容之一，也是高考的一個熱點問題.引理

設、是二次曲線上兩點，是弦的中點，且弦的斜率存在，則……（1）……（2）由（1）（2）得，∵，，∴，∴，∴，∴直線的斜率.二次曲線也包括了圓、橢圓、雙曲線、拋物線等．請根據上述求直線斜率的方法（用其他方法也可）作答下題：已知橢圓.（1）求過點且被點平分的弦所在直線的方程;（2）過點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設、是橢圓上兩點，是弦的中點，則，兩式相減，再根據點為弦的中點求得直線AB的斜率即可.（2）由題意知：割線的斜率存在，設、是橢圓上兩點，是弦的中點，則，兩式相減得：再根據點為弦的中點求得直線AB的斜率，再結合求解.【詳解】（1）設、是橢圓上兩點，是弦的中點，則，兩式相減得：，∵，，∴，∴，∴直線的斜率.直線AB的方程為，即.因為在橢圓內部，成立.（2）由題意知：割線的斜率存在，設、是橢圓上兩點，是弦的中點，則，兩式相減得：，∵，，∴，∴，∴直線的斜率又，所以，化簡得：，所以截得的弦的中點的軌跡方程為.【點睛】方法點睛：解決直線與曲線的位置關系的相關問題，其常規方法是先把直線方程與曲線方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．【變式演練】1．（2022·山東·高三專題練習）已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.【答案】.【分析】方法1：利用點差法，設點作差，要考慮斜率不存在的情況；方法2：可設出直線的方程，將其與拋物線方程聯立，可得一元二次方程，利用根與系數的關系及中點坐標公式，消參即可得軌跡方程，同時要考慮斜率不存在的情況.【詳解】方法1：設，，弦的中點為，則，當直線的斜率存在時，.因為兩式相減，得.所以，即，即.當直線斜率不存在，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.方法2：當直線的斜率存在時，設直線的方程為（），由得.所以所以.設，，的中點為，則，.所以.所以消去參數，得.當直線的斜率不存在時，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.2．（2022·浙江·高三專題練習）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.求線段的中點的軌跡方程；【答案】【分析】①當直線存在斜率時，設、、，，利用點差法求解；②當直線不存在斜率時，易知，驗證即可；【詳解】解：①當直線存在斜率時，設、、，，則應用點差法：，兩式聯立作差得：，∴，又∵，∴，化簡得（），②當直線不存在斜率時，，綜上，無論直線是否有斜率，的軌跡方程為；1．（2022·浙江高三期中）《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對的．已知動點與定點的距離和它到定直線：的距離的比是常數．若某條直線上存在這樣的點，則稱該直線為“成雙直線”．則下列結論正確的是（

）A．動點的軌跡方程為B．動點的軌跡與圓：沒有公共點C．直線：為成雙直線D．若直線與點的軌跡相交于，兩點，點為點的軌跡上不同于，的一點，且直線，的斜率分別為，，則【答案】C【分析】A選項，設出動點，列出方程，化簡得到動點的軌跡方程為，A錯誤；B選項，將與聯立后，由根的判別式得到，得到動點的軌跡與圓：有兩個公共點，B錯誤；C選項，將與聯立后，由根的判別式進行求解得到直線：上存在這樣的點，C正確；D選項，聯立與聯立，求出坐標，設，結合斜率公式得到.【詳解】設動點，故，化簡得：，兩邊平方得：，解得：，故動點的軌跡方程為，A錯誤；將與聯立得：，則，故動點的軌跡與圓：有兩個公共點，B舍去；將與聯立得：，由，故直線：上存在這樣的點，故直線：為成雙直線，C正確；聯立與聯立，，解得：，故，不妨設，，故，則，將代入上式，，D錯誤.故選：C2．（2022·山東·高三單元測試）已知的兩個頂點的坐標分別是，，且所在直線的斜率之積等于，則下列說法正確的是（

）（多選題）A．當時，點的軌跡是雙曲線B．當時，點的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線（除去兩個頂點）C．當時，點在圓（除去點，）上運動D．當時，點所在的橢圓的離心率隨著的增大而增大【答案】BC【分析】由題知點的軌跡為，再結合橢圓，雙曲線，圓的方程依次判斷各選項即得答案.【詳解】解：設，則．當時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線（除去兩個頂點），A錯誤，B正確；當時，方程為，則點C在圓（除去點，）上運動，C正確；當時，方程表示焦點在y軸上的橢圓（不含左、右頂點），則離心率，此時e隨著m的增大而減小，D錯誤．故選：BC．3．（2022·重慶·高三專題練習（理））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.M為曲線上的動點，點N在線段OM上，且滿足，點N的軌跡為.求的直角坐標方程；【答案】；.【分析】設點N的極坐標為，點M的極坐標為.由已知可得，將其代入整理可得點的極坐標方程，進而化為直角坐標方程；【詳解】設點N的極坐標為，點M的極坐標為.由得，即，因為點在曲線上，所以，則，即.故的直角坐標方程為.4．（2022·福建龍巖·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足.記的軌跡為.求的方程；【答案】；【分析】設，則，，，根據題意列出等式，化簡求出結果即可；【詳解】解：設，則，，,，.，即，的軌跡為的方程為.5．（2022·福建省廈門集美中學模擬預測）已知△ABC的頂點，，滿足：．記點C的軌跡為曲線，求的軌跡方程；【答案】【分析】設，用坐標表示，即可整理出的軌跡方程；設，則，整理得，故的軌跡方程為；6．（2022·北京·高三期中）古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點距離之比值為常數的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點P到的距離是點P到的距離的2倍．求點P的軌跡方程；【答案】；【分析】設點，由題意可得，利用兩點之間的距離公式化簡整理可得；設點，由題意可得，即，化簡可得，所以點P的軌跡方程為；7．（2022·黑龍江·哈爾濱市高三階段練習）若橢圓C的對稱軸為坐標軸，長軸長是短軸長的2倍，一個焦點是，直線l：，P是l上的一點，射線OP交橢圓C于點R，其中O為坐標原點，又點Q在射線OP上，且滿足．求橢圓C的標準方程；(2)當P點在直線l上移動時，求點Q的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設橢圓的標準方程為，根據題意求出，即可得解；（2）設點P，O，R的坐標分別為，，，由點R在橢圓上及點O，Q，R共線，可得，求出，再根據化簡整理即可得出答案.【詳解】（1）解：設橢圓的標準方程為，由題意可得，解得，，所以橢圓的標準方程為；（2）解：設點P，O，R的坐標分別為，，，由題設知，，由點R在橢圓上及點O，Q，R共線，得方程組，解得①，②，由點O、Q、P共線，得，即③，因為，所以，則，將①、②、③式代入上式，整理得點Q的軌跡方程為．8．（2022·湖南·三模（理））在平面直角坐標系中，已知是曲線（為參數）上的動點，將繞點順時針旋轉90°得到，設點的軌跡為曲線．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．求曲線的極坐標方程；【答案】（1）曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．（2）2【分析】先求出曲線和的直角坐標方程，再化成極坐標方程；【詳解】由題得曲線的直角坐標方程為，由題知點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，所以曲線的方程為．，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．9．（2022·河南鄭州·三模（理））在直角坐標系中，曲線的方程為．為曲線上一動點，且，點的軌跡為曲線．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．求曲線，的極坐標方程；【答案】；【分析】（1）利用直角坐標和極坐標的互化關系求的極坐標方程，利用代入法求的極坐標方程；由題意可知，將代入得，則曲線的極坐標方程為，設點的極坐標為，則，點的極坐標為，由得，即，將代入得，所以點軌跡曲線的極坐標方程為；10．（2022·龍泉中學高三階段練習（理））已知點為圓上一動點，軸于點，若動點滿足.求動點的軌跡的方程；【答案】(1);【分析】設，則，根據向量表達式，表示出的坐標關系式，得出動點的軌跡．解：設，則，所以，由，所以，化簡得，因為，代入得，即.即為的軌跡的方程為；11．（2022·福建廈門高三階段練習）已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，B(1，1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點.(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程.【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1(2)x2＋y2－x－y－1＝0【分析】（1）設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式表示出點坐標，代入已知圓方程可得結論；（2）設PQ的中點為N(x，y)，由，再由可得軌跡方程．【詳解】（1）設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知點P坐標為(2x－2，2y).因為點P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.（2）設PQ的中點為N(x，y).在中，|PN|＝|BN|.設O為坐標原點，連接ON，如圖，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.12．（2022·廣東佛山·三模）在平面直角坐標系中，已知點，，動點與點關于原點對稱，四邊形的周長為8，記點的軌跡為曲線．求的方程；【答案】（）【分析】定義法求軌跡方程；【詳解】因為動點與點關于原點對稱，四邊形的周長為8，所以，所以點的軌跡為橢圓（去掉長軸兩端點），設其方程為其中半焦距，所以所以曲線的方程為（）13．（2022·黑龍江·哈爾濱模擬預測）已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內切.求動圓圓心E的軌跡方程；【答案】【分析】設動圓的半徑為，得到，得到，根據橢圓的定義得到動圓圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，進而求得橢圓的方程；【詳解】解：由題意，圓：，圓：，可得圓心坐標分別為，半徑分別為，設動圓的半徑為，因為動圓與圓外切并且與圓內切，可得，兩式相加，根據橢圓的定義可得，動圓圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，且，即，則，所以動圓圓心的軌跡方程為.14．（2022·湖北武漢·模擬預測）已知P是平面上的動點，且點P與的距離之差的絕對值為．設點P的軌跡為曲線E．求曲線E的方程；【答案】【分析】根據題意得到，結合雙曲線的定義，即可求解；解：依題意，P是平面上的動點，且點與的距離之差的絕對值為．即，根據雙曲線的定義，可得點的軌跡E是以為焦點，其中，所以，則，所以軌跡的方程為．15．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知，點到直線的距離比到點的距離大2，記的軌跡為．求的方程；【答案】(1)【分析】利用點到直線的距離比到點的距離大2，可知到直線的距離等于到的距離，可知其軌跡為拋物線，寫出拋物線方程.解：由題意得：因為點到直線的距離比到點的距離大2所以到直線的距離等于到的距離所以的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，方程為16．（2022·福建漳州·三模）已知圓，圓，動圓P與圓，圓都外切．圓心P的軌跡為曲線C。求C的方程；【答案】【分析】由動圓與兩定圓外切得到圓心距與半徑之間的關系，作差后得到動圓圓心的軌跡符合雙曲線的定義，由已知求出實半軸和焦半距，則動圓圓心的軌跡方程可求圓的圓心為（2，0），半徑為圓的圓心為（2，0），半徑為設動圓P的半徑為R，因為動圓P與圓，圓都外切所以所以所以點P在以，為焦點，以2為實軸長的雙曲線的右支上，設雙曲線的方程為所以，所以注意圓與圓外切于點（1，0），P不可能為（1，0），所以C的方程為17．（2022.成外高三期末模擬）如圖所示，已知是橢圓的左，右焦點，是橢圓上任意一點，過作的外角的角平分線的垂線，垂足為，求點的軌跡方程。【答案】【解析】延長，與的延長線交于點，連接是的外角的角平分線，且在中，且為線段的中點又為線段的中點，由三角形的中位線定理得：根據橢圓的定義得：點的軌跡為以原點為圓心，為半徑的圓，點的軌跡方程：18．（2022·廣西·高三專題練習）設橢圓方程為，過點M（0，1）的直線交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程．【答案】【詳解】試題分析：設出直線的方程，A，B的坐標，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理表示出，利用直線方程表示出，然后利用求得的坐標，設出P的坐標，然后聯立方程消去參數k，求得x和y的關系式，即為P點軌跡方程．試題解析：直線過點M（0，1）設其斜率為k，則的方程為記、由題設可得點A、B的坐標、是方程組

的解．將①代入②并化簡得，，所以于是設點P的坐標為則消去參數k得

③當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為19．（2022·廣東·深圳市高三期中）已知圓：.過原點的動直線與圓相交于不同的兩點A，B，求線段AB的中點M的軌跡方程.【答案】，【答案】設直線，，中點，聯立直線方程和圓的方程，利用韋達定理求出中點坐標，消去參數即可得軌跡.當直線斜率存在時，設直線，，中點聯立，消去得，則，解得或，，則，消去得，當直線斜率不存在時，線段AB的中點為，符合，故線段AB的中點M的軌跡方程為，.20．（2022·貴州·貴陽高三階段練習（理））在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為(m為參數)，直線l2的參數方程為(n為參數).設l1與l2的交點為P，當t變化時，P的軌跡為曲線C.寫出C的普通方程；【答案】；【分析】消去參數得出l1和l2的普通方程，再消去即可得出C的普通方程；【詳解】解∶由直線l1的參數方程消去參數可得直線的普通方程為，由直線l2的參數方程消去參數可得直線l2的普通方程為，消去t得，即C的普通方程為.1．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.求的方程；【答案】；【分析】利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；【詳解】(1)因為，所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.2．（2014·湖北·高考真題（文））在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.求軌跡為的方程【答案】（1）；【分析】設點，據條件列出等式，在用兩點間的距離公式表示，化簡整理即得；【詳解】設點，依題意，，即，整理的，所以點的軌跡的方程為.3．（2012·四川·高考真題如圖，動點與兩定點、構成，且直線的斜率之積為4，設動點的軌跡為．求軌跡的方程；【答案】（）【分析】根據兩點間斜率公式即可列方程求解軌跡方程，設，當時，直線的斜率不存在；當時，直線的斜率不存在．于是且.此時，的斜率為，的斜率為.由題意，有，化簡可得，故動點的軌跡的方程為（且）4．（2018·全國·高考真題（理））在平面直角坐標系中，的參數方程為（為參數），過點且傾斜角為的直線與交于兩點．（1