2020-2021學年湖南省長沙市雨花區中雅培粹學校八年級（上）第一次月考數學試卷（解析版）一、選擇題1．（3分）如圖是四個汽車標志的圖案，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在下列各數3π，，0.0102，，0.515115111511115…（相鄰兩個5之間的1的個數依次增加1），，1.414中，無理數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（3分）下列不等式變形正確的是（）A．若a+c＜b+c，則a＞b B．若a＞b，則ac2＞bc2 C．若a＞b，c＜0則ac＜bc D．若＞，則a＞b4．（3分）下列運算中，正確的是（）A．a2+a2＝a4 B．a5﹣a3＝a2 C．a2?a2＝2a2 D．（a2）3＝a65．（3分）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或106．（3分）在平面直角坐標系坐標中，第四象限內的點P到x軸的距離是2，到y軸的距離是3，則P點坐標為（）A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）7．（3分）已知方程組，則3x+9y的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．68．（3分）下列說法中正確的是（）A．若OA＝OB，則O是AB中點 B．連接兩點間的線段，叫做這兩點的距離 C．汽車的雨刷在擋風玻璃上畫出一個扇面，這可以說線動成面 D．從初一1200名學生中，抽取200名進行視力測試，樣本容量是200名9．（3分）已知2x﹣3y＝6，則7﹣6x+9y的值為（）A．25 B．﹣25 C．11 D．﹣1110．（3分）若不等式組無解，則m的取值范圍為（）A．m≤3 B．m＜3 C．m≥1 D．m＞111．（3分）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F，交邊BC于點E，連接DE．若∠ABC＝40°，∠C＝50°，則∠CDE的度數為（）A．35° B．40° C．45° D．50°12．（3分）如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于D，延長BC到E，使CE＝BC，F是AC的中點，連接EF并延長EF交AB于G，BG的垂直平分線分別交BG、AD于點M、點N，連接GN，CN，下列結論：①EG⊥AB；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF．其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）13．（3分）點M（﹣1，2）關于x軸對稱點的坐標為．14．（3分）如圖在△ABC中MP，NQ分別垂直平分AB、AC，若BC的長度為9，則△APQ的周長是．15．（3分）如圖，△ABC的三個頂點分別位于x軸、y軸上，且A（﹣3，0），B（3，0），過點A作AD⊥BC于D，若∠ACB＝42°，則∠DAB的度數為．16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD是△ABC的角平分線，點P，點N分別是BD，AC邊上的動點，點M在BC上，且BM＝1，則PM+PN的最小值為．三、解答題（本大題共9個小題，其中17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24題、25題每題10分，共72分）17．（6分）（1）計算：﹣（﹣1）2020++|1﹣|；（2）解不等式．18．（6分）有理數x，y滿足條件|x﹣|+＝0，求（﹣2x2y）3+8（x2）2?（﹣x）2?（﹣y）3的值．19．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（3，3），C（5，1）．（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△AB1C1；（2）△ABC的面積為；（3）在x軸上求一點P，使得△APB的面積等于△ABC的面積．20．（8分）某學校在暑假期間開展“心懷感恩，孝敬父母”的實踐活動，倡導學生在假期中幫助父母干家務．開學以后，校學生會隨機抽取了部分學生，就暑假“平均每天幫助父母干家務所用時長”進行了調査，以下是根據相關數據繪制的統計圖的一部分：根據上述信息，回答下列問題：（1）在本次隨機抽取的樣本中，調查的學生人數是人；（2）m＝，n＝；（3）補全頻數分布直方圖；（4）如果該校共有學生1000人，請你估計“平均每天幫助父母干家務的時長不少于30分鐘”的學生大約有多少人？21．（8分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，EB⊥AB，且EA＝EC．（1）若∠BAC＝50°，求∠AEC的度數；（2）求證：AC＝2AB．22．（9分）如圖，D，E分別是AB，AC中點，CD⊥AB，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，CD與BE交于點F．（1）求證：AC＝AB；（2）猜想CF與DF的數量關系，并證明．23．（9分）國家發改委、工業和信息化部、財政部公布了“節能產品惠民工程”，公交公司積極響應將舊車換成節能環保公交車，計劃購買A型和B型兩種環保型公交車10輛，其中每臺的價格、年載客量如表：A型B型價格（萬元/臺）xy年載客量/萬人次60100若購買A型環保公交車1輛，B型環保公交車2輛，共需400萬元；若購買A型環保公交車2輛，B型環保公交車1輛，共需350萬元．（1）求x、y的值；（2）如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保10輛公交車在該線路的年載客量總和不少于680萬人次，問有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種方案使得購車總費用最少？最少費用是多少萬元？24．（10分）對正整數x，y，我們定義了一種新運算：T（x，y）＝．（其中a，b為非零常數），例如：T（3，5）＝，已知T（1，2）＝3，T（4，2）＝．（1）求a，b的值；（2）若T（m，9﹣m）＝9，求出m的值；（3）若1≤T（﹣2n，2n+3）≤81，求符合條件的n的值．25．（10分）已知△ABC為等邊三角形，取△ABC的邊AB，BC中點D，E，連接DE，如圖1，易證△DBE為等邊三角形，將△DBE繞點B順時針旋轉，設旋轉的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如圖2，當α＝30°，連接AD，CE，求證：AD＝CE；（2）在△DBE旋轉過程中，當α超過一定角度時，如圖3，連接AD，CE會交于一點，記交點為點F，AD交BC于點P，CE交BD于點Q，連接BF，請問BF是否會平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，請說明理由；（3）在第（2）問的條件下，試猜想線段AF，BF和CF之間的數量關系，并說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）1．（3分）如圖是四個汽車標志的圖案，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．解：A、是軸對稱圖形；B、是軸對稱圖形；C、是軸對稱圖形；D、不是軸對稱圖形；故選：D．2．（3分）在下列各數3π，，0.0102，，0.515115111511115…（相鄰兩個5之間的1的個數依次增加1），，1.414中，無理數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：＝2，無理數有：0.515115111511115…（相鄰兩個5之間的1的個數依次增加1），3π，，共有3個．故選：C．3．（3分）下列不等式變形正確的是（）A．若a+c＜b+c，則a＞b B．若a＞b，則ac2＞bc2 C．若a＞b，c＜0則ac＜bc D．若＞，則a＞b解：A、∵a+c＜b+c，∴兩邊減去c得：a＜b，故本選項不符合題意；B、∵a＞b，∴ac2≥bc2（當c＝0時，ac2＝bc2），故本選項不符合題意；C、∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故本選項符合題意；D、＞，當c＞0時，a＞b；當c＜0時，a＜b；故本選項不符合題意；故選：C．4．（3分）下列運算中，正確的是（）A．a2+a2＝a4 B．a5﹣a3＝a2 C．a2?a2＝2a2 D．（a2）3＝a6解：A、a2+a2＝2a2，故原題計算錯誤；B、a5和a3不是同類項不能合并，故原題計算錯誤；C、a2?a2＝a4，故原題計算錯誤；D、（a2）3＝a6，故原題計算正確；故選：D．5．（3分）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10解：①當腰是3，底邊是7時，不滿足三角形的三邊關系，因此舍去．②當底邊是3，腰長是7時，能構成三角形，則其周長＝3+7+7＝17．故選：B．6．（3分）在平面直角坐標系坐標中，第四象限內的點P到x軸的距離是2，到y軸的距離是3，則P點坐標為（）A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）解：∵點P在第四象限，且點P到x軸的距離是2，∴點P的縱坐標為﹣2，∵點P到y軸的距離是3，∴點P的橫坐標為3，所以，點P的坐標為（3，﹣2）．故選：B．7．（3分）已知方程組，則3x+9y的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6解：，①﹣②得：x+3y＝﹣2，3x+9y＝3（x+3y）＝﹣6，故選：C．8．（3分）下列說法中正確的是（）A．若OA＝OB，則O是AB中點 B．連接兩點間的線段，叫做這兩點的距離 C．汽車的雨刷在擋風玻璃上畫出一個扇面，這可以說線動成面 D．從初一1200名學生中，抽取200名進行視力測試，樣本容量是200名解：A．若OA＝OB，則O不一定是AB中點，當A、O、B不在同一直線上是，O不是AB中點，故本選項不合題意；B．連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離，故本選項不合題意；C．汽車的雨刷在擋風玻璃上畫出一個扇面，這可以說線動成面，說法正確，故本選項符合題意；D．從初一1200名學生中，抽取200名進行視力測試，樣本容量是200，故本選項不合題意．故選：C．9．（3分）已知2x﹣3y＝6，則7﹣6x+9y的值為（）A．25 B．﹣25 C．11 D．﹣11解：∵2x﹣3y＝6，∴原式＝7﹣3（2x﹣3y）＝7﹣3×6＝﹣11，故選：D．10．（3分）若不等式組無解，則m的取值范圍為（）A．m≤3 B．m＜3 C．m≥1 D．m＞1解：解不等式＜+1，得：x＜3，∵x＞3m且不等式組無解，∴3m≥3，解得m≥1，故選：C．11．（3分）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F，交邊BC于點E，連接DE．若∠ABC＝40°，∠C＝50°，則∠CDE的度數為（）A．35° B．40° C．45° D．50°解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∵∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，∠BFA＝∠BFE＝90°，∴△BFA≌△BFE（ASA），∴BA＝BE，∵BD＝BD，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED＝∠BAD＝90°，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°﹣50°＝40°，故選：B．12．（3分）如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于D，延長BC到E，使CE＝BC，F是AC的中點，連接EF并延長EF交AB于G，BG的垂直平分線分別交BG、AD于點M、點N，連接GN，CN，下列結論：①EG⊥AB；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF．其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°，AC＝BC，∵CE＝BC，F是AC的中點，∴CF＝CE，∴∠E＝∠CFE，∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，∴∠E＝30°，∴∠BGE＝90°，∴EG⊥AB，故①正確；②設AG＝x，則AF＝FC＝CE＝2x，∴FG＝x，BE＝6x，Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，∴EF＝EG﹣FG﹣3x﹣x＝2x，∴GF＝EF，故②正確；③如圖，過N作NH⊥AC于H，連接BN，在等邊三角形ABC中，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BN＝CN，∵MN⊥AB，∴NH＝NM，∵MN是BG的垂直平分線，∴BN＝NG，∴BN＝CN＝NG，在Rt△NGM和Rt△NCH中，，∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），∴∠GNM＝∠CNH，∴∠MNH＝∠CNG，∵∠ANM＝∠ANH＝60°，∴∠CNG＝120°，故③正確；④∵MN是BG的垂直平分線，∴BM＝MG＝x，∴AM＝x+x＝x，在等邊△ABC中，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴MN＝，∴GN＝＝＝≠FG，故④不正確；其中正確的有：①②③，一共3個，故選：C．二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）13．（3分）點M（﹣1，2）關于x軸對稱點的坐標為（﹣1，﹣2）．解：∵2的相反數是﹣2，∴點M（﹣1，2）關于x軸對稱點的坐標為（﹣1，﹣2），故答案為：（﹣1，﹣2）．14．（3分）如圖在△ABC中MP，NQ分別垂直平分AB、AC，若BC的長度為9，則△APQ的周長是9．解：∵在△ABC中，MP，NO分別垂直平分AB、AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∵BC＝9，∴△APQ的周長是AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC＝9，故答案為：9．15．（3分）如圖，△ABC的三個頂點分別位于x軸、y軸上，且A（﹣3，0），B（3，0），過點A作AD⊥BC于D，若∠ACB＝42°，則∠DAB的度數為21°．解：∵A（﹣3，0），B（3，0），C點位于y軸上，∴OA＝OB，∵AC2＝AO2+OC2，AC2＝BO2+OC2，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝42°，∴∠CAB＝∠CBA＝69°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ADB+∠DAB+∠CBA＝180°，∴∠DAB＝21°．故答案為21°．16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD是△ABC的角平分線，點P，點N分別是BD，AC邊上的動點，點M在BC上，且BM＝1，則PM+PN的最小值為．解：如圖所示，作點M關于BD的對稱點M'，連接PM'，則PM'＝PM，BM＝BM'＝1，∴PN+PM＝PN+PM'，當N，P，M'在同一直線上，且M'N⊥AC時，PN+PM'的最小值等于垂線段M'N的長，此時，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，∴M'N＝AM'＝（6﹣1）＝，∴PM+PN的最小值為，故答案為：．三、解答題（本大題共9個小題，其中17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24題、25題每題10分，共72分）17．（6分）（1）計算：﹣（﹣1）2020++|1﹣|；（2）解不等式．解：（1）原式＝﹣1+2+﹣1＝；（2）解不等式5x+4＞3（x+1），得：x＞﹣，解不等式≤，得：x≥﹣7，則不等式組的解集為x＞﹣．18．（6分）有理數x，y滿足條件|x﹣|+＝0，求（﹣2x2y）3+8（x2）2?（﹣x）2?（﹣y）3的值．解：∵|x﹣|+＝0，∴x﹣＝0，y﹣2＝0，∴x＝，y＝2，∴（﹣2x2y）3+8（x2）2?（﹣x）2?（﹣y）3＝﹣8x6y3﹣8x4?x2?y3＝﹣8x6y3﹣8x6y3＝﹣16x6y3，把x＝，y＝2代入上式得：原式＝﹣16×（）6×23＝﹣2．即（﹣2x2y）3+8（x2）2?（﹣x）2?（﹣y）3的值是﹣2．19．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（3，3），C（5，1）．（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△AB1C1；（2）△ABC的面積為5；（3）在x軸上求一點P，使得△APB的面積等于△ABC的面積．解：（1）如圖所示，△AB1C1即為所求．（2）△ABC的面積為4×3﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×2＝5，故答案為：5；（3）設點P坐標為（m，0），根據題意，得：×|m﹣1|×3＝5，解得m＝或m＝﹣，∴點P的坐標為（，0）或（﹣，0）．20．（8分）某學校在暑假期間開展“心懷感恩，孝敬父母”的實踐活動，倡導學生在假期中幫助父母干家務．開學以后，校學生會隨機抽取了部分學生，就暑假“平均每天幫助父母干家務所用時長”進行了調査，以下是根據相關數據繪制的統計圖的一部分：根據上述信息，回答下列問題：（1）在本次隨機抽取的樣本中，調查的學生人數是200人；（2）m＝20，n＝25；（3）補全頻數分布直方圖；（4）如果該校共有學生1000人，請你估計“平均每天幫助父母干家務的時長不少于30分鐘”的學生大約有多少人？解：（1）在本次隨機抽取的樣本中，調查的學生人數是：60÷30%＝200，故答案為：200；（2）m%＝（200﹣60﹣40﹣50﹣10）÷200×100%＝20%，n%＝50÷200×100%＝25%，即m＝20，n＝25，故答案為：20，25；（3）20～30分鐘的頻數為：200﹣60﹣40﹣50﹣10＝40，補全的頻數分布直方圖如右圖所示；（4）1000×＝300（人），即“平均每天幫助父母干家務的時長不少于30分鐘”的學生大約有300人．21．（8分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，EB⊥AB，且EA＝EC．（1）若∠BAC＝50°，求∠AEC的度數；（2）求證：AC＝2AB．【解答】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，∴∠EAC＝∠BAC＝25°，∵EA＝EC，∴∠ECA＝∠EAC＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）證明：作EF⊥AC于F，∵EA＝EC，EF⊥AC，∴AC＝2AF，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS），∴AB＝AF，∴AC＝2AB．22．（9分）如圖，D，E分別是AB，AC中點，CD⊥AB，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，CD與BE交于點F．（1）求證：AC＝AB；（2）猜想CF與DF的數量關系，并證明．【解答】（1）證明：連接BC．∵點D是AB中點且CD⊥AB于點D，∴CD是線段AB的垂直平分線，∴CA＝CB，同理BA＝BC，∴AC＝AB．（2）猜想：CF＝2DF．證明：由（1）得AC＝AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，在Rt△BFD中，BF＝2DF，∵在Rt△ADC中，∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠FBC＝∠FCB，∴CF＝BF，∴CF＝2DF．23．（9分）國家發改委、工業和信息化部、財政部公布了“節能產品惠民工程”，公交公司積極響應將舊車換成節能環保公交車，計劃購買A型和B型兩種環保型公交車10輛，其中每臺的價格、年載客量如表：A型B型價格（萬元/臺）xy年載客量/萬人次60100若購買A型環保公交車1輛，B型環保公交車2輛，共需400萬元；若購買A型環保公交車2輛，B型環保公交車1輛，共需350萬元．（1）求x、y的值；（2）如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保10輛公交車在該線路的年載客量總和不少于680萬人次，問有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種方案使得購車總費用最少？最少費用是多少萬元？解：（1）由題意，得，解得；（2）設購買A型環保公交車m輛，則購買B型環保公交車（10﹣m）輛，由題意，得，解得6≤m≤8，∵m為整數，∴有三種購車方案方案一：購買A型公交車6輛，購買B型公交車4輛；方案二：購買A型公交車7輛，購買B型公交車3輛；方案三：購買A型公交車8輛，購買B型公交車2輛．（3）設購車總費用為w萬元則w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，∵﹣50＜0，6≤m≤8且m為整數，∴m＝8時，w最小＝1100，∴購車總費用最少的方案是購買A型公交車8輛，購買B型公交車2輛，購車總費用為1100萬元．24．（10分）對正整數x，y，我們定義了一種新運算：T（x，y）＝．（其中a，b為非零常數），例如：T（3，5）＝，已知T（1，2）＝3，T（4，2）＝．（1）求a，b的值；（2）若T（m，9﹣m）＝9，求出m的值；（3）若1≤T（﹣2n，2n+3）≤81，求符合條件的n的值．解：（1）根據題意得：T（1，2）＝＝3，T＝（4，2）＝＝，∴，化簡得，，∴a4b2＝ab2，即ab2（a3﹣1）＝0，∴a3＝1，∴a＝1，由b2＝9，得b＝±3；（2）∵T（m，9﹣m）＝9，∴，∴amb9﹣m＝81，∵a＝1，b＝±3，∴b9﹣m＝81，當b＝3時，39﹣m＝34，解得，m＝5，當b＝﹣3時，（﹣3）9﹣m＝34，解得，m＝5，綜上，m的值為5；（3）∵1≤T（﹣2n，2n+3）≤81，∴1≤≤81，又∵a＝1，b＝±3，∴3≤b2n+3≤35，當b＝3時，3≤32n+3≤35，又∵2n+3為整數，∴2n+3＝1或2n+3＝2或2n+3＝3或2n+3＝4或2n+3＝5，解得，n＝﹣1或n＝﹣或n＝0或n＝或n＝1，又∵﹣2n為正整數，∴n＝﹣1或n＝﹣，當b＝﹣3時，3≤（﹣3）2n+3≤35，又∵2n+3為整數，∴2n+3＝2或2n+3＝4，解得，n＝﹣或n＝，