第十章概率章末題型歸納總結章末題型歸納目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：互斥事件、對立事件與相互獨立事件經典題型二：古典概型經典題型三：相互獨立事件概率的計算經典題型四：概率綜合問題模塊三：數學思想與方法分類與整合思想②等價轉換思想③函數與方程的思想

模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：典型例題經典題型一：互斥事件、對立事件與相互獨立事件例1．袋子里裝有大小質地都相同的2個白球，1個黑球，從中不放回地摸球兩次，用表示事件“第1次摸得白球”，表示事件“第2次摸得白球”，則與是A．互斥事件 B．相互獨立事件 C．對立事件 D．不相互獨立事件【答案】【解析】互斥事件是指在一定條件下不可能同時發生的事件，由此判斷和不互斥，則也不對立．由題意可知：（A），（B）．故事件發生對事件的概率有影響，故和不是相互獨立事件．故選：．例2．將一枚均勻的骰子擲兩次，記事件為“第一次出現奇數點”，為“第二次出現偶數點”，則有A．與相互獨立 B．（A）（B） C．與互斥 D．【答案】【解析】對于，由題意可知，事件的發生與否對事件沒有影響，所以與相互獨立，故選項正確；對于，，由于事件與事件可以同時發生，所以事件與不互斥，則選項，錯誤；對于，由于事件與相互獨立，所以（A）（B），故選項錯誤．故選：．例3．設、為兩個隨機事件，給出以下命題：（1）若、為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則、為相互獨立事件；（3）若，，，則、為相互獨立事件；（4）若，，，則、為相互獨立事件；（5）若，，，則、為相互獨立事件；其中正確命題的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】在（1）中，若、為互斥事件，且，，則，故（1）正確；在（2）中，若，，，則由相互獨立事件乘法公式知、為相互獨立事件，故（2）正確；在（3）中，若，，，則由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知、為相互獨立事件，故（3）正確；在（4）中，若，，，當、為相互獨立事件時，，故（4）錯誤；（5）若，，，則由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知、為相互獨立事件，故（5）正確．故選：．例4．拋擲3枚質地均勻的硬幣，既有正面向上又有反面向上，至多有一個反面向上，則與關系是A．互斥事件 B．對立事件 C．相互獨立事件 D．不相互獨立事件【答案】【解析】由于中的事件發生與否對于中的事件是否發生不產生影響，故與是相互獨立的，故選：．例5．一個口袋中有黑球和白球各5個，從中連摸兩次球，每次摸一個且每次摸出后不放回，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，則與是A．互斥事件 B．不相互獨立事件 C．對立事件 D．相互獨立事件【答案】【解析】由互斥事件與對立事件定義可知互斥事件是二者一個發生了另一個就不能發生．對立事件是二者互斥并且二者必有一個發生，相互獨立事件：事件（或是否發生對事件（A）發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件．所以一個口袋中有黑球和白球各5個，從中連摸兩次球，每次摸一個且每次摸出后不放回，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，則與是不相互獨立事件．故選：．例6．一袋中裝有5只白球，3只黃球，在有放回地摸球中，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，則事件與是A．相互獨立事件 B．不相互獨立事件 C．互斥事件 D．對立事件【答案】【解析】由題意可得表示第二次摸到的不是白球，即表示第二次摸到的是黃球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黃球互不影響，故事件與是相互獨立事件．故選：．例7．設，，是隨機事件，則以下說法一定正確的是A．若，相互獨立，則，互斥 B．若，互斥，則，相互獨立 C．若，既互斥又相互獨立，則必有（A）或（B） D．，，兩兩互斥，則，，相互獨立【答案】【解析】一般情況下，若不考慮不可能事件和必然事件，當事件，若滿足（A）（B），則兩事件相互獨立，，是可以同時發生的，而互斥事件是指在同一個試驗中不能同時發生的兩個事件，故、、錯誤；若，相互獨立且互斥，則（A）（B），則（A），或（B），故正確；故選：．例8．設事件，的概率分別為，，與互斥，求的值A． B． C． D．【答案】【解析】根據題意，（B），因為與互斥，則，故，則（B），故選：．經典題型二：古典概型例9．從裝有大小相同的3個紅球和2個白球的袋子中，隨機摸出2個球，則至少有一個白球的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】由題意，所求概率即為摸出的兩個球中有白球的概率，設3個紅球分別記為，，，2個白球分別記為，，則所有可能的結果為，，，，，，，，，，共10種，符合條件的結果為，，，，，，，共7種，所以所求概率為．故選：．例10．4張卡片上分別寫有數字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片的數字之積為偶數的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】從4張卡片上分別寫有1，2，3，4中隨機抽取2張的基本事件有12，13，14，23，24，34共6種情況，其中數字之積為偶數的有12，14，23，24，34共5種情況，故概率．故選：．例11．甲、乙兩位同學暑假計劃從吉林省去河北省旅游，他們所搭乘動車的“”座位車廂如圖所示，若這兩位同學買到了同一排的座位，則他們的座位正好相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】設事件為“他們的座位正好相鄰”，甲乙二人買到同一排，，，，個座位中的兩個形成的樣本空間為，則，，，，，，，，，，共包含10個樣本點，其中事件，，，包含3個樣本點，則有，所以他們的座位正好相鄰的概率為．故選：．例12．已知袋中裝有5個大小形狀相同的小球，其中黑球2個、紅球3個，現從中不放回地抽取2次，每次取出1個球，則第二次取出的球是紅球的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】由題可知第二次取出的球是紅球有兩種情況，一種是第一次抽到黑球，第二次抽到紅球，概率為，一種是第一次抽到紅球，第二次抽到紅球，概率為，第二次取出的球是紅球的概率．故選：．例13．煙花三月、草長鶯飛，櫻花、桃花、梨花、蘋果花陸陸續續地都開放了，周老師準備從這4種花中任選出3種去旅游觀賞，則恰巧選中梨花與蘋果花的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】設櫻花、桃花為1，2，梨花與蘋果花為和，從中選3種花去旅游觀賞的基本事件為：，，，，共4種，其中含有梨花與蘋果花的事件有：，，共2個，所以恰巧選中梨花與蘋果花的概率為，故答案為：．例14．袋中有大小、質地均相同的黑球和白球共個，設“任取1個球，這個球是白球”為事件，則．現再向袋中放入4個白球和3個黑球，則，則的值是A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【解析】設原來袋中白球有個，根據“任取1個球，這個球是白球”為事件，則．得，又再向袋中放入4個白球和3個黑球，則，得，則，，故選：．例15．從3名男生和2名女生中隨機選取2人參加書法展覽會，則選取的2人全是男生的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：記3名男生分別為，，，2名女生分別為，，從5人中隨機選取2人，樣本空間，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設事件“2名全是男生”，則，，，，，，（A），故所求概率為：．方法二：5人中選2人有種方法，2人全是男生，則從3個男生中選2人，有種方法，故所求概率為：．故選：．例16．劉徽是魏晉時代著名數學家，他給出的階幻方被稱為“神農幻方”．所謂幻方，即把1，2，，排成的方陣，使其每行、每列和對角線的數字之和均相等．如圖是劉徽構作的3階幻方，現從中隨機抽取和為15的三個數，則含有4或6的概率是A． B． C． D．【答案】【解析】所有和為15的3個數的情況為：1、5、9，1、6、8，2、4、9，2、5、8，2、6、7，3、4、8，3、5、7，4、5、6共有8種，其中含有4或6的情況共有5種，所以含有4或6的概率是．故選：．經典題型三：相互獨立事件概率的計算例17．為普及抗疫知識、弘揚抗疫精神，某學校組織防疫知識競賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，．甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．（1）從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．【解析】（1）設“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，，，，，同理，，派甲參賽獲勝的概率更大．（2）由（1）知，設“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，，于是“兩人中至少有一人贏得比賽”，．例18．第56屆世界乒乓球團體錦標賽于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮．現有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領先對方至少2分，即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發2個球就要交換發球權，如果雙方比分為后，每人發一個球就要交換發球權．（1）已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結果相互獨立，求甲乙兩人只需要再進行兩局比賽就能結束本場比賽的概率；（2）已知某局比賽中雙方比分為，且接下來兩球由甲發球，若甲發球時甲得分的概率為，乙發球時乙得分的概率為，各球的結果相互獨立，求該局比賽甲得11分獲勝的概率．【解析】（1）設“甲乙兩人只需要再進行兩局比賽就能結束本場比賽”為事件，若兩局比賽就能結束，則只能甲連勝兩局，所以；（2）設“該局比賽甲得（11分）獲勝”為事件，甲得（11分）獲勝有兩類情況：甲連得（3分），則甲獲勝；甲得（3分），乙得（1分），則甲獲勝，此時有三種情況，每球得分方分別為乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以．例19．今有甲、乙兩支籃球隊進行比賽，規定兩隊中有一隊勝4場，則整個比賽宣告結束，假設甲、乙兩隊在每場比賽中獲勝的概率都是，各場比賽沒有平局且相互獨立．（1）求恰好打滿4場整個比賽就結束的概率；（2）求甲隊連勝4場整個比賽就結束的概率．【解析】設表示事件：甲隊在第，2，3，4，5，6，場比賽中獲勝，則，（1）設表示事件：恰好打滿4場整個比賽就結束，則（A），（2）設事件表示：甲隊連勝4場比賽就結束，則（B）．例20．甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為，且各自能否被選中互不影響．（1）求3人同時被選中的概率；（2）求3人中至少有1人被選中的概率．【解析】（1）甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為，且各自能否被選中互不影響．則3人同時被選中的概率為：．（2）3人中至少有1人被選中的概率為：．例21．某高校的特殊類型招生面試中有4道題目，獲得面試資格的甲同學對一四題回答正確的概率依次是，，，．規定按照題號依次作答，并且答對一，二，三，四題分別得1，2，3，6分，答錯1題減2分，當累計積分小于分面試失敗，不少于4分通過面試，假設甲同學回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求甲同學回答完前3題即通過面試的概率；（2）求甲同學最終通過面試的概率．【解析】（1）用，2，3，表示第個問題回答正確，記“甲同學回答完前3題即通過面試”為事件，則，則甲同學回答完前3題即通過面試的概率為：；（2）設“甲同學最終通過面試”為事件，則，甲同學最終通過面試的概率為：．例22．某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有，，，四個問題，規則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題，，，分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分．②每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局．③每位參加者按問題，，，順序作答，直至答題結束．假設甲考生對問題，，，回答正確的概率依次為、、、、且各題回答正確與否相互之間沒有影響（1）求甲考生本輪答題結束時恰答了3道題的概率；（2）求甲考生能進入下一輪的概率．【解析】解．（1）設，，，分別為第一、二、三、四個問題，用，2，3，分別表示甲考生在第個問題回答正確的概率，則，記“本輪答題結束時甲恰答了3道題”為事件，則甲考生本輪答題結束時恰答了3道題的概率為：；（2）記“甲考生能進入下一輪”為事件，則甲考生能進入下一輪的概率為：．例23．一位同學想調查某學校學生閱讀古典四大名著《紅樓夢》、《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》的情況，他隨機問了5名同學表示已讀），得到了以下表格：《紅樓夢》《三國演義》《西游記》《水滸傳》同學同學同學同學同學（1）現在從這五位同學中選出兩位，設事件為“兩位同學都讀過《紅樓夢》和《三國演義》”，請用集合的形式分別寫出樣本空間和事件所包含的所有結果，并計算出事件的概率；（2）經過統計，該學校讀過《紅樓夢》、《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》四本名著的概率分別為，，，，求一位同學恰好讀過其中三本書的概率．【解析】（1）設五位同學分別為，，，，，樣本空間，，，，，，，，，，事件為“兩位同學都讀過《紅樓夢》和《三國演義》”，則事件，，，事件的概率（A）．（2）該學校讀過《紅樓夢》、《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》四本名著的概率分別為，，，，則一位同學恰好讀過其中三本書的概率為：．例24．甲、乙、丙三人進行摔跤比賽，比賽規則如下：①每場比賽有兩人參加，另一人當裁判，沒有平局；②每場比賽結束時，負的一方在下一場當裁判；③累計負兩場者被淘汰；④當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人累計負兩場被淘汰，另一人最終獲得冠軍，比賽結束．已知在每場比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各局比賽的結果相互獨立．經抽簽，第一．場比賽甲當裁判．（1）求前三場比賽結束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四場比賽就決出冠軍的概率；（3）求甲最終獲勝的概率．【解析】記事件為甲勝乙，則，，事件為甲勝丙，則，，事件為乙勝丙，則，，前三場比賽結束后，丙被淘汰的概率為．（2）只需四場比賽就決出冠軍的概率為．（3）由于甲勝乙和甲勝丙的概率均為，且乙勝丙和丙勝乙的概率也相等，均為，第一場比賽甲當裁判，以后的比賽相對于甲，可視乙丙為同一人，設甲勝為事件，甲當裁判為事件，．例25．甲、乙、丙、丁四名選手進行羽毛球單打比賽．比賽采用單循環賽制，即任意兩位參賽選手之間均進行一場比賽．每場比賽實行三局兩勝制，即最先獲取兩局的選手獲得勝利，本場比賽隨即結束．假定每場比賽、每局比賽結果互不影響．（1）若甲、乙比賽時，甲每局獲勝的概率為，求甲獲得本場比賽勝利的概率；（2）若甲與乙、丙、丁每場比賽獲勝的概率分別為，，，試確定甲第二場比賽的對手，使得甲在三場比賽中恰好連勝兩場的概率最大．【解析】（1）設甲在第局獲勝為事件，事件為“甲獲得本場比賽勝利”，則，又，；（2）若甲在第二場與乙比賽，則甲勝乙，且在甲丙、甲與丁的比賽中，甲只勝一場．此時，甲恰好連勝兩場的概率；若甲在第二場與丙比賽，則甲勝丙，且在甲與乙、甲與丁的比賽中，甲只勝一場．此時，甲恰好連勝兩場的概率；若甲在第二場與丁比賽，則甲勝丁，且在甲與乙、甲與丙的比賽中，甲只勝一場．此時，甲恰好連勝兩場的概率．，甲在第二場與丁比賽時，甲恰好連勝兩場的概率最大．經典題型四：概率綜合問題例26．甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（Ⅰ）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，求選出的2名教師性別相同的概率；（Ⅱ）若從報名的6名教師中任選2名，求選出的2名教師來自同一學校的概率．【解析】（Ⅰ）甲校兩名男教師分別用，表示，女教師用表示；乙校男教師用表示，兩名女教師分別用、表示．從甲校和乙校的教師中各任選1名的所有可能的結果為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9種．從中選出兩名教師性別相同的結果有：，，，，，，，，共4種，所以選出的兩名教師性別相同的概率為．（Ⅱ）從甲校和乙校的教師中任先2名的所有可能的結果為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15種．從中選出兩名教師來自同一學校的結果有：，，，，，，，，，，，，共6種．所以，選出兩名教師來自同一學校的概率為．例27．某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有學生1000人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數．（3）若從樣本中數學成績在，與，兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，試用列舉法求這2名學生的數學成績之差的絕對值大于10的概率．【解析】（1）由頻率分布直方圖，得：，解得．（2）數學成績不低于60分的概率為：，數學成績不低于60分的人數為：（人．（3）數學成績在，的學生為（人，數學成績在，的學生人數為（人，設數學成績在，的學生為，，數學成績在，的學生為，，，，從樣本中數學成績在，與，兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，其中兩名學生的數學成績之差的絕對值大于10的情況有：，，，，，，，，共8種，這2名學生的數學成績之差的絕對值大于10的概率為．例28．某市地鐵全線共有四個車站，甲乙兩人同時在地鐵第一號車站（首發站）乘車．假設每人自第2號車站開始，在每個車站下車是等可能的．約定用有序實數對表示“甲在號車站下車，乙在號車站下車”．（1）用有序實數對把甲乙兩人下車的所有可能的結果列舉出來；（2）求甲乙兩人同在第3號車站下車的概率；（3）求甲乙兩人在不同的車站下車的概率．【解析】（1）甲、乙兩人下車的所有可能的結果為：，，，，，，，，（2）設甲、乙兩人同在第3號車站下車的事件為，則（3）設甲、乙兩人在不同的車站下車的事件為，則．例29．一個包裝箱內有6件產品，其中4件正品，2件次品．現隨機抽出兩件產品．（要求羅列出所有的基本事件）（1）求恰好有一件次品的概率．（2）求都是正品的概率．（3）求抽到次品的概率．【解析】（1）將六件產品編號，四件正品設為、、、，兩件次品設為、，從6件產品中選2件，其包含的基本事件為：，共有15種，設恰好有一件次品為事件，事件中基本事件數為：共有8種，則恰好有一件次品的概率（A）．（4分）（2）設都是正品為事件，事件中基本事件數為：，共6種則都是正品的概率（B）．（8分）（3）設抽到次品為事件，事件與事件是對立事件，則抽到次品的概率（C）（B）．（12分）例30．某果園要用三輛汽車將一批水果從所在城市運至銷售城市，已知從城市到城市有兩條公路．統計表明：汽車走公路Ⅰ堵車的概率為，不堵車的概率為；走公路Ⅱ堵車的概率為，不堵車的概率為，若甲、乙兩輛汽車走公路Ⅰ，第三輛汽車丙由于其他原因走公路Ⅱ運送水果，且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響．（1）求甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率；（2）求三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率．【解析】（1）記“汽車甲走公路Ⅰ堵車”為事件，“汽車乙走公路Ⅰ堵車”為事件，“汽車丙走公路Ⅱ堵車”為事件．甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率為．（2）甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為．例31．設人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一對基因所決定的，以表示顯性基因，表示隱性基因，則具有基因的人為純顯性，具有基因的人是純隱性，具有基因的人為混合性．純顯性與混合性的人都露顯性基因決定的某一特征，孩子從父母身上各得到1個基因，假定父母都是混合性．問：（1）1個孩子有顯性基因決定的特征的概率是多少？（2）2個孩子中至少有一個有顯性基因決定的特征的概率是多少？【解析】因為父母都是混合性．即型的，易得到孩子的一對基因為，，的概率分別為，，，（1）孩子有顯性決定的特征是具有，，所以：1個孩子有顯性決定的特征的概率為．（2）因為2個孩子如果都不具有顯性決定的特征．即2個孩子都具有基因的純隱性特征，其概率為．所以2個孩子中至少有一個顯性決定特征的概率為．

模塊三：數學思想與方法分類與整合思想例32．（2023·全國·模擬預測）某口罩生產廠生產了一批N95型口罩，已知每只口罩檢驗合格的概率為0.8，對不合格的口罩進行一次技術精加工，加工后每只口罩檢驗合格的概率為0.3，不合格的作為廢品處理.現從這批N95型口罩中任選一只，則得到合格口罩的概率為（

）A．0.78 B．0.86 C．0.88 D．0.90【答案】B【解析】由題意可知，任選一只為合格口罩分第一次檢驗合格和經過精加工后檢驗合格兩種情況，所以得到合格口罩的概率為.故選：B.例33．（2023·云南德宏·高三統考期末）高三某位同學準備參加物理、化學、政治科目的等級考．已知這位同學在物理、化學、政治科目考試中達的概率分別為、、，假定這三門科目考試成績的結果互不影響，那么這位同學恰好得個的概率是_______．【答案】【解析】設這位同學在物理、化學、政治科目考試中達的事件分別為，以為這位同學在物理、化學、政治科目考試中達的概率分別為、、，所以，，，這三門科目考試成績的結果互不影響，則這位考生至少得2個的概率：．故答案為：．例34．（2023·江西上饒·高三校聯考階段練習）排球比賽的規則是5局3勝制（5局比賽中，優先取得3局勝利的一方，獲得最終勝利，無平局），在某次排球比賽中，甲隊在每局比賽中獲勝的概率都相等，均為，則最后甲隊獲勝的概率是________．【答案】【解析】當經過局甲隊獲勝，則概率為，當經過局甲隊獲勝，則概率為，當經過局甲隊獲勝，則概率為，所以最后甲隊獲勝的概率是.故答案為：.例35．（2023·全國·高三專題練習）某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為___________.【答案】/0.04608【解析】由該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪，說明他第4、第5兩個問題是連續答對的，第3個問題沒有答對，第1和第2兩個問題也沒有全部答對，即他答題結果可能有三種情況：或或，根據獨立事件同時發生的概率公式，可得該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為故答案為：0.04608例36．（2023·高一單元測試）甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為的方框表示第場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第場比賽的勝者稱為“勝者”，負者稱為“負者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙?丙?丁相互之間勝負的可能性相同.(1)求乙僅參加兩場比賽且連負兩場的概率；(2)求甲獲得冠軍的概率；(3)求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.【解析】（1）根據題意，乙獲連負兩場，所以1、4均負，所以乙獲連負兩場的概率為.（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結果有三種情況：1勝3勝6勝；1負4勝5勝6勝；1勝3負5勝6勝，所以甲獲得冠軍的概率為.（3）若乙的決賽對手是甲，則兩人參加的比賽結果有兩種情況：甲1勝3勝，乙1負4勝5勝；甲1負4勝5勝，乙1勝3勝，所以甲與乙在決賽相遇的概率為：，若乙的決賽對手是丙，則兩人只可能在第3場和第6場相遇，兩人參加的比賽的結果有兩種：乙1勝3勝，丙2勝3負5勝；乙1勝3負5勝，丙2勝3勝，同時考慮甲在第4場和第5場的結果，乙與丙在第3場和第6場相遇的概率為：，若乙的決賽對手是丁，則其概率與乙的決賽對手是丙相同，所以乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率為.例37．（2023·山東威海·高二校考階段練習）某學校組織校園安全知識競賽.在初賽中有兩輪答題，第一輪從A類的5個問題中任選兩題作答，若兩題都答對，則得40分，否則得0分；第二輪從B類的5個問題中任選兩題作答，每答對1題得30分，答錯得0分若兩輪總積分不低于60分則晉級復賽.小芳和小明同時參賽，已知小芳每個問題答對的概率都為0.5.在A類的5個問題中，小明只能答對4個問題；在B類的5個問題中，小明每個問題答對的概率都為0.4.他們回答任一問題正確與否互不影響.(1)求小明在第一輪得40分的概率；(2)以晉級復賽的概率大小為依據，小芳和小明誰更容易晉級復賽？【解析】（1）對A類的5個問題進行編號：，第一輪從A類的5個問題中任選兩題作答，則有共種，設小明只能答對4個問題的編號為：，則小明在第一輪得40分，有共種，則小明在第一輪得40分的概率為：；（2）由（1）知，小明在第一輪得40分的概率為，則小明在第一輪得0分的概率為：，依題意，兩人能夠晉級復賽，即兩輪總積分不低于60分當第一輪答對兩題得分，第二輪答對一題得分時，小芳和小明晉級復賽的概率分別為：；；當第一輪答對兩題得分，第二輪答對兩題得分時，小芳和小明晉級復賽的概率分別為：；；當第一輪答錯一題得分，第二輪答對兩題得分時，小芳和小明晉級復賽的概率分別為：；；當第一輪答錯兩題得分，第二輪答對兩題得分時，小芳晉級復賽的概率分別為：；小芳晉級復賽的概率為：；小明晉級復賽的概率為：；，小明更容易晉級復賽.例38．（2023·全國·高二期中）甲?乙?丙?丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i“，負者稱為“負者i“，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙?丙?丁之間相互比賽，每人勝負的可能性相同.(1)求甲獲得冠軍的概率；(2)求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.【解析】（1）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結果有三種情況：1勝3勝6勝；1負4勝5勝6勝；1勝3負5勝6勝.所以甲獲得冠軍的概率為：（2）若乙的決賽對手是甲，則兩人參加的比賽結果有兩種情況：甲：1勝3勝，乙：1負4勝5勝；甲：1負4勝5勝，乙：1勝3勝．所以甲與乙在決賽相遇的概率為：若乙的決賽對手是丙，則兩人只可能在第3場和第6場相遇，兩人參加的比賽的結果有兩種情況：乙：1勝3勝，丙：2勝3負5勝；乙：1勝3負5勝，丙：2勝3勝．同時考慮甲在第4場和第5場的結果，乙與丙在第3場和第6場相遇的概率為，丁與丙的情況相同，所以乙進入決賽，且乙與其決賽對于是第二次相遇的概率為例39．（2023·陜西延安·高二校考期末）在某次1500米體能測試中，甲，乙，丙三人各自通過測試的概率分別為，，，求：(1)3人都通過體能測試的概率；(2)只有2人通過體能測試的概率；(3)至少有1人通過體能測試的概率.【解析】（1）設事件表示“甲通過體能測試”，事件表示“乙通過體能測試”，事件表示“丙通過體能測試”，則由題意知：，，.設表示事件“甲，乙，丙3人都通過體能測試”，即，由事件，，相互獨立，可得.所以3人都通過體能測試的概率為.（2）設表示事件“甲，乙，丙3人中只有2人通過體能測試”，則，由于事件，，，，，均相互獨立，并且事件，，兩兩互斥，因此所求概率為.所以只有2人通過體能測試的概率為.（3）設表示事件“甲，乙，丙3人中至少1人通過體能測試”，.等價轉換思想例40．（2023·高一單元測試）社會實踐課上，老師讓甲、乙兩同學獨立地完成某項任務，已知兩人能完成該項任務的概率分別為，，則此項任務被甲、乙兩人完成的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，此項任務不能完成的概率為，此項任務被甲乙兩人完成的概率為.故選:D.例41．（多選題）（2023·高一課時練習）(多選)給出關于滿足的非空集合A，B的四個命題，其中正確的命題是（

）A．若任取，則是必然事件B．若任取，則是不可能事件C．若任取，則是隨機事件D．若任取，則是必然事件【答案】ACD【解析】對于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正確；對于B，若，則是有可能的，所以是可能事件，故B錯誤；對于C，任取，則x不一定是A中的元素，所以是隨機事件，故C正確；對于D，若，則x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正確；故選：ACD例42．（2023·江蘇泰州·高二統考期中）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件1正常工作且元件2或元件3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命（單位：）均服從正態分布，且各個部件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過的概率為______．【答案】【解析】因為三個電子元件的使用壽命（單位：）均服從正態分布.所以三個電子元件的使用壽命超過3000小時的概率均為.設“超過3000小時時，元件2和元件3至少有一個正常”為事件，“超過3000小時時，元件1正常”為事件，“該部件的使用壽命超過”為事件.所以，.因為事件和事件相互獨立，所以.故答案為:例43．（2023·高一課時練習）甲、乙兩人進行圍棋比賽，采用局制．已知每局比賽甲勝的概率為，且第一局比賽甲勝，則最終甲獲勝的概率是_____．【答案】【解析】“最終甲獲勝”的對立事件為“最終乙獲勝”，所以“最終甲獲勝”的概率.故答案為：.例44．（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學校考階段練習）在同一時間內，甲?乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為和.在同一時間內，求：(1)甲?乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率.(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率.【解析】（1）記事件A=“甲氣象臺預報天氣準確”，B=“乙氣象臺預報天氣準確”.顯然事件A，B相互獨立且..（2）至少有一個氣象臺預報準確的概率為例45．（2023·湖南長沙·高二長沙麓山國際實驗學校校考開學考試）為普及抗疫知識?弘揚抗疫精神，某學校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲?乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，.甲?乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)從甲?乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲?乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.【解析】（1）設“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，，，，同理因為，所以，派甲參賽獲勝的概率更大.（2）由（1）知，設“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，；于是“兩人中至少有一人贏得比賽”..例46．（2023·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學校考期中）已知甲、乙兩人下象棋，其中和棋的概率為，乙獲勝的概率為.（1）求甲獲勝的概率；（2）求甲不輸的概率.【解析】（1）設“甲獲勝”為事件，“甲乙和棋”為事件，“乙獲勝”為事件.由題意可知，事件與事件互為對立事件，且事件與事件互為互斥事件，故.（2）設“甲不輸”