專題25三角形和四邊形知識梳理知識梳理1.三角形三角形的意義：由三條線段首尾順次相接圍成的封閉圖形叫作三角形。三角形的分類。（1）按角來分。名稱銳角三角形直角三角形鈍角三角形圖形特征三個角都是銳角有一個角是直角有一個角是鈍角（2）按邊來分。名稱不等邊三角形等腰三角形圖形特征三條邊都不相等有兩條邊相等三條邊都相等三角形的特性。（1）三角形不容易變形，具有穩定性。（2）三角形的內角和是180°。（3）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。[提示]一個三角形中至少有兩個銳角；任何三角形都有3條高。2.四邊形四邊形的分類。名稱基本圖形特征共同點長方形兩組對邊分別平行且相等，四個角都是直角。都是由四條線段圍成的對邊平行且相等的圖形，對角相等。正方形四條邊都相等，四個角都是直角。平行四邊形兩組對邊分別平行且相等。梯形一般梯形邊長短不一，角各不相等。都是只有一組對邊平行的四邊形。等腰梯形兩腰相等，兩底角相等。直角梯形一腰與兩底的夾角都是90°。四邊形的周長和面積。名稱圖形字母意義特征周長公式面積公式正方形a邊長四條邊都相等,四個角都是直角C=4aS=a2長方形a長

b寬兩組對邊分別相等,四個角都是直角C=(a+b)×2S=ab平行四邊形a底

h高兩組對邊分別平行且相等\S=ah三角形a底

h高兩邊之和大于第三邊,三個內\S=12梯形a上底

b下底

h高只有一組對邊平行\S=12(a+b)例題精講例題精講【例1】下列各圖形中，三角形的個數各是多少？【點撥分析】因為底邊上的任何一條線段都對應一個三角形（以頂點及這條線段的兩個端點為頂點的三角形）、所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線段的條數就是三角形的總個數。由前面數段段的方法可以求出三角形的總個數。【答案】圖（1）中有三角形1+2＝3（個）。圖（2）中有三角形1+2+3＝6（個）。圖（3）中有三角形1+2+3+4＝10（個）。圖（4）中有三角形1+2+3+4+5＝15（個）。舉一反三舉一反三1.下面圖中各有多少個正方形？2.數一數，下面圖中各有多少個長方形？3.下圖中有多少個平行四邊形？例題精講例題精講【例2】一個木工師傅有兩根長分別為8cm、15cm的木條，他要找第三根木條，將它們釘成一個三角形框架，現有7cm、20cm、30cm三根木條，他可以選擇長為（）cm的木條。【點撥分析】本題可直接根據三角形的三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”分別進行判斷，15+8＝23，158＝7，則第三邊在7mm和23cm之間，故選擇長為20cm的木條，才可以釘成三角形框架。【答案】20舉一反三舉一反三1.選擇。（1）一個三角形三個內角的度數比是3:4:5，這個三角形是（）三角形。A.銳角B.鈍角C.直角D.等腰（2）已知三角形三邊長為a，9，12，則三角形的周長可能為（）。A.30B.24C.42D.45（3）一個三角形的最小角是44°，則這個三角形是（）。A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定（4）三角形ABC中，∠A＝13A.鈍角B.銳角C.直角D.都有可能2.一個等腰三角形的兩邊長分別是10厘米和8厘米，這個三角形的周長是（）厘米。3.一個等腰三角形中，有一個內角的度數是另一個內角度數的4倍，則這個等腰三角形的頂角是（）度。例題精講例題精講【例3】計算下面平行線間各圖形的面積，說一說你有什么發現。【點撥分析】圖中的4個圖形分別是梯形、平行四邊形和兩個三角形，可直接數出各圖形的底，而它們的高都是兩平行線間的距離5cm，因此可直接計算出各圖形的面積。①（2+6）×5÷2＝20（cm2）②4×5＝20（cm2）③8×5÷2＝20（cm2）④8×5÷2＝20（cm2）計算后發現這4個圖形的面積相等，其存在的規律是什么呢？我們來看各圖形之間的變化情況。【答案】發現:a.梯形的上底和下底增加或減少可變形為平行四邊形和三角形。若直角梯形的上底減少或增加可變形為長方形或正方形，其面積公式可統一為:S＝b.梯形的上底減少a，同時下底增加a，其形狀發生變化，若高不變，其面積也不變。C.將三角形的頂點沿平行于底的直線平移，三角形形狀發生變化，但其高、面積都保持不變。舉一反三舉一反三1.計算下面圖形的周長和面積。（單位:cm）2.在下圖的方格中分別畫出面積是12平方厘米的三角形、平行四邊形和梯形各1個。（每小格的邊長為1厘米）3.（1）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，邊長為5厘米，三角形ECF的面積比三角形ADF的面積大5平方厘米，則線段CE的長為（）厘米。（2）如圖，平行四邊形被分為7部分，其中甲的面積是36平方厘米，乙的面積是63平方厘米，則丙的面積是（）平方厘米。例題精講例題精講【例4】右圖是由兩個完全一樣的直角三角形疊在一起形成的，求陰影部分的面積。（單位:厘米）【點撥分析】陰影部分是個梯形，但梯形的上底、下底和高均不知道，不能直接求出面積。仔細觀察圖形可以看出:陰影部分的面積+三角形FEC的面積＝大三角形DEO的面積，梯形ABEF的面積+三角形FBC的面積＝大三角形ABC的面積。而三角形DEO和三角形ABC是完全相同的直角三角形，因此，陰影部分的面積與梯形ABEF的面積相等。【答案】FE的長為:83＝5（厘米）陰影部分的面積為:（8+5）×5÷2＝32.5（平方厘米）舉一反三舉一反三1.如圖，三角形ABC與三角形DBE都是等腰直角三角形，BC的長是8厘米，BE的長是4厘米，求陰影部分的面積。2.如圖，在邊長為6厘米的正方形內有一個三角形DEF，AE＝3，BF＝2，求三角形DEF的面積。3.在一塊梯形的地中間有一個長方形的游泳池，其余的地方是草地（圖中陰影部分），草地的面積是多少平方米？例題精講例題精講【例5】如圖，BO＝2DO，陰影部分的面積是4平方厘米。梯形ABCD的面積是多少平方厘米？【點撥分析】根據等底等高的三角形面積相等，可知三角形DBC的面積等于三角形CAD的面積，所以三角形AOD的面積等于三角形BOC的面積，即為4平方厘米。因為BO＝2D0，所以三角形ABD的面積是三角形AOD面積的3倍，即是4×3＝12（平方厘米）。因為BO＝2D0，所以三角形DOC的面積是三角形BOC面積的一半，即是4÷2＝2（平方厘米）。最后將三角形ABD、三角形DOC和三角形BOC面積相加即可。【答案】△ABD的面積為:4×3＝12（平方厘米）△DOC的面積為:4÷2＝2（平方厘米）梯形ABCD的面積為:12+2+4＝18（平方厘米）梯形ABCD的面積是18平方厘米。舉一反三舉一反三1.如圖，陰影部分面積是4平方厘米，OC＝2A0，求梯形的面積。2.如圖,正方形的邊長是12cm,BE＝EF＝FD,CI＝H＝HG＝GD,AK＝KJ＝JC,求陰影部分的面積。3.如圖所示，把△ABC的三條邊分別延長，使得AE＝BA，BF＝2BC，CG＝3AC，已知△ABC的面積為2平方厘米，求△EFG的面積。【自我檢測】【自我檢測】滿分：100分，時間：60分鐘基礎達標（60分）一、填空。（7~11題每空2分，其余每空1分，共23分）1.一個三角形的三條邊都是整厘米數，已知其中的兩條邊分別是5cm和8cm，那么第三條邊最長是（）cm，最短是（）cm。2.在一個等腰三角形中，有一個角是100°，另外兩個角的度數是（）和（），它又是一個（）角三角形。3.一個三角形的底增加15，高縮短14.用兩個如右圖的完全相同的三角形，可以拼出（）個不同的平行四邊形，其中周長最長的平行四邊形的周長是（）cm。5.一個三角形的三個內角的度數比是1:2:3，這個三角形中最大的角是（）度，如果按角分，這個三角形是（）三角形。6.一個平行四邊形的高是15分米，底比高少157.一塊布長18.1米，寬1.6米，用這塊布剪兩條直角邊分別為4分米和3分米的直角三角形小旗，最多能剪出（）面。8.三角形的一條邊長是6厘米，這條邊上的高是8厘米，另一條長10厘米的邊上的高是（）厘米。9.一個長方形的寬是長的3810.一個梯形有兩個角是直角，且上、下底的和與較短的腰的長度都是10厘米，該梯形的面積是（）平方厘米。11.一個直角三角形的三條邊長的比是3:4:5，已知它的周長是36厘米，它的面積是（）平方厘米，斜邊上的高是（）厘米。二、選擇。（把正確答案的序號填在括號里）（12分）1.右圖中長方形的面積和平行四邊形的面積相比，結果是（）。A.平行四邊形的面積大B.長方形的面積大C.一樣大D.不能確定2.如圖，一塊三角形的玻璃碎成了甲、乙兩小塊，如果只許帶其中一塊玻璃到玻璃店配原樣，只需要帶（）。A.甲B.乙C.甲乙都行3.圖中有（）個三角形。A.9B.12C.13D.144.如圖，兩個正方形的面積分別為16，9，兩陰影部分的面積分別為a，b（a＞b），則（ab）等于（）。A.9B.8C.7D.65.在一個平面內把18根同樣長的火柴棒首尾相接，圍成一個等腰三角形，最多能圍成（）種不同的等腰三角形。A.3B.4C.5D.66.有一些長方形，它們的長和寬為互質數，而這些長方形的面積都是48，這樣的長方形的周長有可能是（）。A.96B.14C.52D.38三、計算下面圖形陰影部分的面積。（單位:厘米）（15分）四、計算。（10分）1.求如圖所示平行四邊形的周長。（單位:厘米）2.如圖，平行四邊形的面積是24平方厘米，求陰影部分的面積。能力創新（40分）五、實際應用。（24分）1.要在一塊長80米、寬50米的長方形地里種黃瓜，如果每株黃瓜占邊長是4分米的地，問:這塊地里最多可以種多少株黃瓜？2.爸爸用籬笆圍一塊梯形菜地，一面靠墻（如圖），籬笆全長48米。如果每平方米收白菜10千克，這塊地一共可以收白菜多少千克？3.如圖，長方形ABCD中，E，F，G分別是BC，CD，DA邊上的中點，已知長方形ABCD的面積是30平方厘米，求陰影部分的面積。六、填空。（16分）1.一塊長方形耕地如圖所示，已知其中三塊小長方形的面積分別是15平方米、16平方米、20平方米，則陰影部分的面積是（）平方米。2.如圖，兩個邊長為12cm的正方形相互錯開3cm，那么圖中陰影平行四邊形的面積為（）cm2。3.如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AD＝6厘米，DC＝4厘米，三角形DOC的面積是5平方厘米，則陰影部分的面積是（）平方厘米。4.如圖所示，△ABC的面積是36，D，E是三等分點，F是BC的中點，G是FC的中點，則陰影部分的面積是（）。【附加題】如圖，在長方形內畫了一些直線，已知靠邊的三塊的面積分別為13平方厘米、35平方厘米、49平方厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？【答案解析】[舉一反三訓練1]1.8個、26個2.30個、90個3.30個[舉一反三訓練2]1.（1）A（2）A（3）D（4）C2.28或263.20或120[舉一反三訓練3]1.（1）72cm，216cm2（2）48.5cm，125cm22.（略）3.（1）7（2）27[舉一反三訓練4]1.24平方厘米2.S(△DME)＝3×6÷2＝9（平方厘米）S(△EDF)＝（63）×2÷2＝3（平方厘米）S(△FCD)＝（62）×6÷2＝12（平方厘米）S(△DEF)＝629312＝12（平方厘米）3.（40+80）×50÷230×15＝2550（平方米）[舉一反三訓練5]1.△AOB的面積＝△DOC的面積＝4×2＝8（平方厘米）△BOC的面積＝8×2＝16（平方厘米）梯形面積＝16+8+8+4＝36（平方厘米）2.因為CI＝IH＝HG＝GD＝12+4＝3（cm），所以S(△CM)＝S(△AABG)。由于△EMF和△CM∥等底，高之和是12cm，因而S側＝S(△E_B)+S(△CM)+2S(△H)G)＝（12÷3）×12+2+2×（12+4）×12÷2＝60（cm2）。3.如圖添加輔助線，聯結AF，CE、BG。因為BF＝2BC，所以S(△AFB)＝2×2＝4（cm2）;因為AE＝BA，所以S(△CAE)＝2cm2，S(△FAE)＝S(△AFB)＝4cm2。同理可得出S(△ECG)＝2×3＝6（cm2），S(△BCG)＝2×3＝6（cm2），S(△BGF)＝6×2＝12（cm2）。所以S(△EFG)＝2+4+2+4+6+6+12＝36（cm2）。[自我檢測]一、1.12、42.40°、40°、鈍3.44.3、265.90、直角6.1807.4808.4.89.4410.5011.54、7.2二、