PAGE平面對量基本定理(15分鐘30分)1.銳角三角形ABC中,下列說法正確的是 ()A.與的夾角是銳角B.與的夾角是銳角C.與的夾角是鈍角D.與的夾角是銳角【解析】選B.由兩向量的夾角定義知,與的夾角是180°-∠B,與的夾角是∠A,與的夾角是∠C,與的夾角是180°-∠C,只有B正確.2.若G是△ABC的重心,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,則++等于 ()A.6 B.-6 C.-6 D.0【解析】選D.令=a,=b,則=-=-QUOTE=-QUOTE(a+b),=-=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTEb+QUOTEa,=-=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTEa+QUOTEb,所以++=-QUOTEa-QUOTEb-QUOTEb+QUOTEa-QUOTEa+QUOTEb=0.3.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共線,則a+b與c=6e1-2e2的關系是 ()A.不共線B.共線C.相等D.不確定【解析】選B.因為a+b=3e1-e2,所以c=2(a+b).所以a+b與c共線.4.(2024·棗莊高一檢測)設a,b是兩個不共線向量,已知=2a+kb,=a+b,=2a-b,若A、B、D三點共線,則k=.

【解析】因為=a+b,=2a-b,所以=-=(2a-b)-(a+b)=a-2b.因為A、B、D三點共線,所以=λ,所以2a+kb=λ(a-2b)=λa-2λb.又a,b是兩個不共線向量.所以QUOTE,所以k=-4.答案:-45.如圖,在△ABC中,點M是BC的中點,點N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN交于點P,求AP∶PM的值.【解析】設=e1,=e2,則=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因為A,P,M和B,P,N分別共線,所以存在實數λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又=+=2e1+3e2,所以QUOTE解得QUOTE所以=QUOTE,即AP∶PM=4∶1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.在△ABC中,點D在線段BC的延長線上,且=3,點O在線段CD上(與點C,D不重合),若=x+(1-x),則x的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.依題意,設=λ,其中1<λ<QUOTE,則有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),且,不共線,于是有x=1-λ∈QUOTE,即x的取值范圍是QUOTE.2.向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則QUOTE= ()A.2 B.4 C.5 D.7【解析】選B.以如圖所示的兩個相互垂直的單位向量e1,e2為基底,則a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2,因為c=λa+μb(λ,μ∈R),所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,所以QUOTE解得QUOTE所以QUOTE=4.3.(2024·漢中高一檢測)已知向量a,b不共線,c=ka+b(k∈R),d=a-b,假如c∥d,那么 ()A.k=-1且c與d反向 B.k=1且c與d反向C.k=-1且c與d同向 D.k=1且c與d同向【解析】選A.因為c∥d,所以存在實數λ,使得c=λd,即ka+b=λ(a-b)=λa-λb.又a,b不共線,所以QUOTE所以λ=k=-1,c=-d,故c與d反向.4.如圖,在△ABC中,M為邊BC上不同于B,C的隨意一點,點N滿意=2.若=x+y,則x2+9y2的最小值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.依據題意,得=QUOTE=QUOTEx+QUOTEy.因為M,B,C三點共線,所以有QUOTEx+QUOTEy=1,即x+y=QUOTE,所以x2+9y2=QUOTE+9y2=10y2-QUOTEy+QUOTE=10QUOTE+QUOTE,所以當y=QUOTE時,x2+9y2取得最小值QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2024·東營高一檢測)如圖,平面內有三個向量、、,其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=2QUOTE,若=λ+μ(λ、μ∈R),則λ+μ=.

【解析】如圖,利用向量加法的平行四邊形法則,=+=4+2,所以λ=4,μ=2.所以λ+μ=6.答案:66.已知向量a,b,c滿意|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,則a,b的夾角等于.

【解析】作=a,=b,則c=a+b=(如圖所示),則a,b夾角為180°-∠C.因為|a|=1,|b|=2,c⊥a,所以∠C=60°,所以a,b的夾角為120°.答案:120°三、解答題7.(10分)設e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)證明:a,b可以作為一組基底.(2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)若a,b共線,則存在λ∈R,使a=λb,則e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共線,得QUOTE?QUOTE所以λ不存在,故a與b不共線,可以作為一組基底.(2)設c=ma+nb(m,n∈R),則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)