專題02空間向量在立體幾何中的應用知識結構思維導圖學法指導與考點梳理知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1.直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應用，可以參與向量運算或向量的坐標運算．2.平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量．已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3.平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數法求解，一般步驟如下：（i）設出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標，；（iii）根據法向量的定義建立關于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關系空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關系空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當法向量與的方向分別指向二面角的內側與外側時，二面角的大小等于的夾角的大小．②當法向量的方向同時指向二面角的內側或外側時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小．知識點五、用向量方法求空間距離1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發的平面的任一條斜線段對應的向量；③求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3.點線距設直線l的單位方向向量為，，，設，則點P到直線l的距離.重難點題型突破重難點題型1空間向量的基本運算例1（1）、（2022·江蘇徐州·高二期末）已知直線過點，且方向向量為，則點到的距離為（

）A． B． C． D．（2）、（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學高二階段練習）若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（

）A． B． C． D．或【變式訓練11】、（2020·廣東順德德勝學校高二期中）設向量分別是平面的法向量，向量，若平行，則實數___________【變式訓練12】、（2022·全國·高二單元測試）一個正方體的平面展開圖如圖所示.在該正方體中，以下命題正確的是___________.（填序號）①；②平面；③與是異面直線且夾角為；④與平面所成的角為；⑤二面角的大小為.重難點題型2利用空間向量研究平行問題例2（1）、（2022·廣東·鶴山市鶴華中學高三開學考試）已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則=_________．（2）、（2022·云南省下關第一中學高二階段練習）（多選題）如圖，在正方體中，M，N，P分別是的中點，則下列說法正確的有（

）A． B．平面C．與是異面直線 D．三棱錐與正方體的體積比為【變式訓練21】、（2022·全國·高二課時練習）若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，

【變式訓練22】、（2022·全國·高二專題練習）如圖，在長方體體中，分別是棱的中點，以下說法正確的是（

）A．平面B．平面C．D．重難點題型3利用空間向量研究垂直問題例3（1）、（2021·陜西·延安市第一中學高一階段練習）如圖，在正方體中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中點，N是上的動點，則直線NO?AM的位置關系是（

）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直（2）、（2022·全國·高二課時練習）已知平面α和平面β的法向量分別為，，且α⊥β，則x=________.【變式訓練31】、（2021·浙江·高二期中）已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則等于（

）A．1 B．1 C．2 D．2【變式訓練32】、（2022·吉林·東北師大附中高二階段練習）如圖所示，在矩形中，平面，若在上只有一個點Q滿足，則a的值等于__________．重難點題型4線線角與距離問題例4（1）、（2022·湖南·高三開學考試）兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且.已知則線段的長為（

）A．8 B． C． D．（2）、（2022·安徽·高三開學考試）在棱長均等的正三棱柱中，直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式訓練41】、（2022·全國·高二單元測試）正方體的棱長為，點在上，且，為的中點，則的長為__．【變式訓練42】、（2022·浙江·慈溪中學高三開學考試）已知正四棱柱，，，則直線與平面所成角的正弦值為___________.重難點題型5線面角例5、（2022·江蘇·寶應縣教育局教研室高三開學考試）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

【變式訓練51】、（2022·吉林·東北師大附中高二階段練習）如圖，已知圓柱，過軸的截面圖形為正方形，點在底面圓周上，且，為的中點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值.【變式訓練52】、（2022·廣東深圳·高三階段練習）在三棱柱中，側面側面，且.(1)證明：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.

重難點題型6二面角例6、（2022·河南省上蔡第一高級中學高三階段練習（文））如圖，在三棱錐中，底面分別為的中點，點都在棱上，，且滿足平面.(1)求的長；(2)求平面與平面夾角的余弦值.

【變式訓練61】、（2022·云南省下關第一中學高三開學考試）如圖，已知AB為圓錐SO底面的直徑，點C在圓錐底面的圓周上，，，BE平分，D是SC上一點，且平面平面SAB．(1)求證：；(2)求平面EBD與平面BDC所成角的余弦值．【變式訓練62】、（2022·河南安陽·高三開學考試（理））在多面體中，平面平面ABCD，EDCF是面積為的矩形，，，.(1)證明：.(2)求平面EDCF與平面EAB夾角的余弦值.課堂定時訓練（45分鐘）1．（2022·全國·高二課時練習）已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實數的值為（

）A． B． C．1 D．22．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在正方體中，是底面正方形的中心，是的中點，是的中點，則直線，的位置關系是（

）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直3．（2022·全國·高二課時練習）如圖，下列正方體中，O為下底面的中心，M，N為正方體的頂點，P為所在棱的中點，則滿足直線的是（

）A． B．C． D．4．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高三期中）（多選題）如圖所示，若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為是的中點，則下列說法不正確的是（

）A．B．平面平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為5．（2022·全國·高二課時練習）（多選題）如圖，在三棱錐中，，，則（

）A．B．C．若點P是棱BC上任一點，則為定值D．三棱錐的體積是6．（2022·四川·閬中中學高二期中（理））已知平面的法向量分別為，，若，則的值為___．7．（2021·安徽·合肥一中高二期中）如圖，在菱形中，，