第十三章差分方程第一節函數的差分與差分方程的基本概念一、差分的概念二、差分方程的概念三、常系數線性差分方程解的結構四、小結引例某商家經營一種產品，記第t月初的存貨量是則ΔR(t)記錄的就是商家相鄰兩月庫存量的改變量.如果記R(t)，第t月的進貨量和出售量分別是P(t)和Q(t),則第

一、函數的差分第t+1

月初的存貨量是R(t+1)應是即1、差分的定義函數的差分.定義1設有函數y=f(x)，其中自變量的取值為非負整數，函數y的取值為一個序列或記為當自變量由x改變到x+1時，相應的函數值的改變量稱為函數y=f(x)在點x的差分（也稱為一階差分），記為Δyx，即解：例1

解：即：常數的一階差分為零.例2

一般地，指數函數y=ax（其中a>0且a≠1），解：例3Δyx=ax(a-1).例4解：解：例5解：例6

2、一階差分的運算性質與導數的四則運算法則類似.一階差分的幾何意義：由差分的定義，函數y=f(x)在點x的（一階）差分可化為表示經過點(x,yx)與點(x+1,yx+1)的直線的斜率.定義2對于函數y=f(x)，一階差分函數Δyx的差分稱為函數y=f(x)的二階差分，記為Δ2yx，即類似地，可以定義三階差分、四階差分、…二階或二階以上的差分統稱為高階差分．解：例7說明：對于n次多項式，它的n階差分是常數，n階以上的差分均為零．解：例8可以看到，一階差分Δyx可以用yx的兩個相鄰的值表示；二階差分Δ2yx可以用yx的三個相鄰的值表示；三階差分Δ3yx可以用yx的四個相鄰的值表示．即：n階差分Δnyx是函數yx的n+1個相鄰值的線性組合.定理1

設有函數yx=f(x)，則定義3含有未知函數及其差分的等式稱為差分方程.它的一般形式是由定理1，yx的高階差分可以用yx的相鄰值表示，則有二、差分方程的一般概念定義4含有未知函數的相鄰值的等式稱為差分方程.它的一般形式是或例如:

差分方程可化為又可化為定義5差分方程中含有的未知函數yx的最大下標與最小下標的差稱為該差分方程的階.例如，二階三階一階三階定義6對于n階差分方程若有函數ux，使得則稱此函數ux為差分方程的解.若ux中含有n個相互獨立的任意常數，則稱此函數ux為差分方程的通解；若ux中不含有任意常數，則稱此函數ux為差分方程的特解.一般地，為得到差分方程的特解（確定通解中的任意常數），需要知道一些附加的條件，即定解條件.對于n階差分方程，常見的定解條件是以下的初始條件：初值問題：求滿足給定初始條件的差分方程解的問題.其中，是已知的常數.n階常系數線性差分方程的一般形式為三、常系數線性差分方程解的結構其中是常數，當不恒等于零時，稱差分方程是非齊次的；當恒等于零時，稱差分方程是齊次的，即為也是差分方程(2)的解.定理2設

是齊次線性差分方程(2)的解，則也是差分方程(2)的解，定理3

設

是齊次線性差分方程(2)的n個線性無關的解，則與齊次線性微分方程解的結構類似.是非齊次線性差分方程(1)的通解.定理4

設

是非齊次線性差分方程(1)的一個特解，Yx是方程(1)對應的齊次線性差分方程(2)的通解，則說明：“非齊次的通解”=“齊次的通解”+“非齊次的特解”.與非齊次線性微分方程解的結構類似.定理5設

分別是以下非齊次線性差分方程的特解，則是差分方程的特解.證明例9四、小結1、差分的定義2、差分方程與差分方程的階3、差分方程的解、定解條件和通解4、常系數線性差分方程解的結構第十三章差分方程第二節一階常系數線性差分方程一、一階常系數齊次線性差分方程二、一階常系數非齊次線性差分方程三、小結一階常系數線性差分方程的一般形式為其中是常數，當不恒等于零時，稱差分方程是非齊次的；當恒等于零時，稱差分方程是齊次的，即為稱(2)是(1)所對應的齊次線性差分方程.一、一階常系數齊次線性差分方程1、迭代法齊次線性差分方程可化為于是，利用數學歸納法可證明若令y0=C(任意常數)，則差分方程(2)的通解為解：例1將方程變形為由于y0=1，則有所以，原方程滿足初始條件y0=1的特解為2、特征根法齊次線性差分方程可化為即這說明齊次差分方程的解與它的一階差分只相差一個常數因子倍數，故可認定yx是某個指數函數，不妨設將其代入齊次差分方程，得即所以從而由解的結構可得齊次線性差分方程的通解為因此是齊次差分方程的一個解.特征方程特征根解：例2特征方程為得特征根所以原差分方程的通解為例3

解：將差分方程改寫為得特征根特征方程為所以原差分方程的通解為由初始條件y0=3，得C=3，因此所求的特解為二、一階常系數非齊次線性差分方程由解的結構知，差分方程(1)的通解由兩項的和組成：一項是該方程的一個特解，另一項是對應的齊次差分方程的通解.在前一部分已經討論完齊次線性差分方程的通解，所以接下來只討論特解的求法.1、迭代法差分方程(1)可化為以此類推，由數學歸納法得差分方程(1)的一個特解為又因為差分方程(1)對應的齊次線性差分方程的通解為所以差分方程(1)的通解為解：例4

其通解為再利用迭代法，可得原方程的一個特解所以原差分方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為解：例5

其通解為再利用迭代法，可得原方程的一個特解所以原差分方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為2、待定系數法[1]f(x)為多項式型：差分方程(1)可改寫為因此可假設差分方程的解為以下的待定式這里Qn(x)是n次待定多項式，k的取值按下列方式確定解：例6

所以齊次線性方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為特征方程為則特征根為又因為1不是特征根，且右端函數為零次多項式，則可設特解為將代入原方程，有得b=1.于是原方程的通解為解：例7所以齊次線性方程的通解為又因為1是特征根，且右端函數為二次多項式，則可設特解為原方程對應的齊次線性方程為特征方程為則特征根為將代入原方程，有于是有所以原方程的通解為此時差分方程(1)可寫為[2]f(x)為指數函數與多項式之積型：這是右端函數為多項式型的非齊次線性差分方程.由待定系數法得它的特解，則原方程的特解為解：例8所以齊次線性方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為特征方程為則特征根為由于1不是特征根，且上面方程的右端函數為一次多項式，所以可假設再求原方程的一個特解.代入原方程，化簡得解：例8比較同次冪的系數，得于是得到原方程的一個特解因此，原方程的通解為此時差分方程(1)可寫為[3]f(x)為三角函數型：它對應的齊次線性差分方程的通解為(i)(ii)解：例9

三、小結1、一階常系數齊次線性差分方程求通解(1)寫出相應的特征方程；(2)求出特征根；(3)寫出通解.2、一階常系數非齊次線性差分方程求通解第十三章差分方程第三節二階常系數線性差分方程一、二階常系數齊次線性差分方程的解法二、二階常系數非齊次線性差分方程的解法三、小結二階常系數線性差分方程的一般形式為其中是常數，當不恒等于零時，稱差分方程是非齊次的；當恒等于零時，稱差分方程是齊次的，可表示為稱方程(2)是方程(1)所對應的齊次線性差分方程.一、二階常系數齊次線性差分方程的解法因為齊次差分方程可化為代入方程，得所以特征根特征方程(ii)(i)(iii)特征方程有一對共軛復特征根則通解為解：例1所以原方程的通解為特征方程為得特征根為例2解：所以原方程的通解為特征方程為得特征根為這是二階常系數齊次線性差分方程，其特征方程為解

原方程可改寫為易知此特征方程有兩個共軛的復根即則所以原方程的通解為解：例4所以原方程的通解為特征方程為得特征根為由初始條件可得解得所以原方程滿足初始條件的特解為二、二階常系數非齊次線性差分方程的解法由解的結構知，差分方程(1)的通解由兩項的和組成：一項是該方程的一個特解，另一項是對應的齊次差分方程的通解.在前一部分已經討論完齊次線性差分方程的通解，所以接下來只討論特解的求法.1、

f(x)為多項式型：此時，差分方程(1)可寫為利用差分的概念，上面的方程可化為若是上面方程的解，則有這里Qn(x)是n次待定多項式，k的取值按下列方式確定因此可假設差分方程的解為以下的待定式解：例5

則特征根為特征方程為所以原方程對應的齊次線性差分方程的通解為由于1不是特征根，且右端函數為一次多項式，則可令特解為將代入原方程，有求得所以從而，原方程的通解為解：則特征根為特征方程為所以原方程對應的齊次線性差分方程的通解為由于1是特征根且為單根，而右端函數為一次多項式，則可令特解為例6將代入原方程，有求得所以從而，原方程的通解為解：例7所以原方程對應的齊次線性差分方程的通解為特征方程為得特征根為由于1是特征根且為二重根，而右端函數為零次多項式，則可令特解為將代入原方程，有求得所以特解為從而，原方程的通解為由初始條件可得因此所求的特解為2、f(x)為指數函數與多項式之積型：此時，差分方程(1)可改寫為若作變換則上面的方程可化為這是右端函數為多項式型的非齊次線性差分方程.由待定系數法得它的特解，則原方程的特解為解：例8所以齊次線性方程的通解為原方程對應的齊次線性方程為特征方程為則特征根為這是屬于右端函數為零次多項式的情形.令特解為將其代入原方程，經化簡得解：例8特征方程為由于1不是特征根，且上面方程的右端函數為零次多項式，所以可令特解為解得特征根為將代入以上方程，整理并比較兩邊同次冪的系數，可得則有進而有因此原方程的通解為三、小結1、二階常系數齊次線性差分方程的解法(1)寫出相應的特征方程；(2)求出特征根；(3)寫出通解.2、二階常系數非齊次線性差分方程的解法第十三章差分方程第四節差分方程在經濟管理中的應用一、存貸款相關的模型二、動態供需均衡模型（蛛網模型）三、國民收入相關的模型四、小結

在經濟與管理的許多實際問題中，所涉及的變量數據常常以等間隔時間周期進行統計，這就導致其中有關的變量是離散化取值的，它們之間的關系往往是以差分方程的形式體現．

本節通過舉例來說明差分方程在經濟管理中的簡單應用．一、存貸款相關的模型例1（存款模型）設將資金存于某金融機構，初始資金量為

Z0=100萬，按期結息，每一期的利率為r=4%，求第10期期末的資金總量Z10.解由題意，第n期期末和第n+1期期末時的資金總量的關系為上式可化為這是一個一階常系數齊次線性差分方程，特征方程為所以是特征根，從而上面差分方程的通解為一、存貸款相關的模型例1（存款模型）設將資金存于某金融機構，初始資金量為

Z0=100萬，按期結息，每一期的利率為r=4%，求第10期期末的資金總量Z10.解由初始資金量為

Z0，可得C=Z0，則第n期期末時的資金總量為這里Z0=100萬，r=4%，求第10年末的資金總量為例2

（貸款模型）

設某人向銀行貸款A0元，用于購買某件商品，貸款年限為n年，約定按月等額還款，假定年利率為r，求該借款人每月需向銀行還款多少元？特別地，當A0=600000元、r=6%和n=10時，借款人每月需向銀行還款多少元？解設借款人每月還款a元.記從借款之日起，第t個月還款后尚欠銀行At元，總計還款期限為12n個月，則有以下差分方程即又由于貸款年限為n年（12n個月），則有A12n=0，所以可求得每月的還款金額為這是一個一階常系數非齊次線性差分方程，利用待定系數法可求得其通解為再由初始貸款金額A0元，可得因此有舉例說明：當A0=600000元、r=6%和n=10時，計算得每月還款額為二、動態供需均衡模型（蛛網模型）例1在普通市場中，一種商品的價格和消費者對該種商品的需求量是相互影響的，多呈負相關的走勢．用Dt表示第t期該商品的供給量，

St表示第t期該商品的供給量，

Pt表示第t期該商品的價格.第t期的需求量依賴于同期價格，假設它們之間的關系（需求函數）為其中a,b為常數.第t期的供給量依賴于前期價格，即供給量滯后于價格一個周期，假設它們之間的關系為其中a1,b1為常數，且b1≠b.

求供需均衡（Dt=St）的條件下，商品的價格隨時間的變化規律.解：由題意，供需均衡（Dt=St）時，得上式亦可化為這是一個一階常系數非齊次線性差分方程，它對應的齊次線性差分方程的通解為所以商品的價格隨時間的變化規律為利用待定系數法，可求得它的一個特解說明：1.如果供需平衡，并且商品價的價格保持不變，即則可求得靜態均衡價格此時，需求函數和供給函數可改寫為如果將這兩個函數的圖形畫在同一個坐標平面上，記其交點為

稱為該種商品的靜態均衡點．2.如果已知初始價格

則可得所以此時商品的價格隨時間的變化規律為（1）當

時，有，這表明沒有外部干擾因素，商品的價格將固定在常數值上，也就是前面所說的靜態均衡．（2）當

時，商品價格隨著時間t的變化而變化.容易看出，當且僅當時，有也就是說，當商品的價格

隨著時間t的無限增大逐漸地振蕩趨近于靜態均衡價格.下圖給出了不同情形下商品的價格（縱軸）與供需（橫軸）的關系圖示．可以看到上圖的形狀類似于蜘蛛網，因此稱上面的模型為蛛網模型．三、國民收入相關的模型（哈羅德(HarrodR