24.4相似三角形判定（第3課時）【夯實基礎】一、單選題1．一個鋁質三角形框架三條邊長分別為24cm、30cm、36cm，要做一個與它相似的鋁質三角形框架，現有長為27cm、45cm的兩根鋁材，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截下兩段（允許有余料）作為另外兩邊．截法有（

）A．0種 B．1種 C．2種 D．3種2．如圖，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格紙中的格點，為使△ABC∽△PQR，則點R應是甲、乙、丙、丁四點中的（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．給出下列論斷：①順次聯結三角形各邊中點所得的三角形與原三角形相似；②兩直角邊長分別是3．4的與兩直角邊長分別是6．8的相似；③若兩個三角形的邊長分別是4．6．8和6．8．10，則這兩個三角形相似；④一個三角形的三邊長分別為、、，另一個三角形的三邊長分別為、、，則這兩個三角形相似．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題4．已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6．(1)如果DE＝10，那么當EF＝________，FD＝________時，△DEF∽△ABC；(2)如果DE＝10，那么當EF＝________，FD＝________時，△FDE∽△ABC．5．在與中，，，，，，，則與是否相似？______，理由是______．三、解答題6．如圖，在與中，、分別為邊、上的中線，且．求證：∽．

7．如圖，是內任一點，、、分別為、、的中點．與相似嗎？為什么？8．如圖，方格紙中的與相似嗎，為什么？【能力提升】1.根據下列條件判定與是否相似，如果是，那么用符號表示出來．（1），，，，，（2），，，，，．2.如圖，在邊長為1個單位的方格紙上，有與．求證：∽．3.如圖，D、E、F分別是的邊BC、CA、AB的中點．求證：∽．4.如圖，點D為內一點，點E為外一點，且滿足．求證：∽．5.如圖，在中，，，，，．求證：∽．6.已知：如圖，在中，，，，點D在BC邊上， 且．（1）求AD的長；（2）取AD、AB的中點E、F，聯結CE、CF、EF．求證：∽．

24.4相似三角形判定（第3課時）（解析版）【夯實基礎】一、單選題1．一個鋁質三角形框架三條邊長分別為24cm、30cm、36cm，要做一個與它相似的鋁質三角形框架，現有長為27cm、45cm的兩根鋁材，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截下兩段（允許有余料）作為另外兩邊．截法有（

）A．0種 B．1種 C．2種 D．3種【答案】B【分析】先判斷出兩根鋁材哪根為邊，需截哪根，再根據相似三角形的對應邊成比例求出另外兩邊的長，由另外兩邊的長的和與另一根鋁材相比較即可．【詳解】∵兩根鋁材的長分別為27cm、45cm，若45cm為一邊時，則另兩邊的和為27cm，27<45，不能構成三角形，∴必須以27cm為一邊，45cm的鋁材為另外兩邊，設另外兩邊長分別為x、y，則(1)若27cm與24cm相對應時，，解得：x=33.75cm，y=40.5cm，x+y=33.75+40.5=74.25cm>45cm，故不成立；(2)若27cm與36cm相對應時，，解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm<45cm，成立；(3)若27cm與30cm相對應時，，解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm>45cm，故不成立；故只有一種截法.故選B.2．如圖，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格紙中的格點，為使△ABC∽△PQR，則點R應是甲、乙、丙、丁四點中的（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【詳解】分析：令每個小正方形的邊長為1，分別求出兩個三角形的邊長，從而根據相似三角形的對應邊成比例即可找到點R對應的位置．解答：解：根據題意，△ABC的三邊之比為：：，要使△ABC∽△PQR，則△PQR的三邊之比也應為：：，經計算只有丙點合適，故選C．3．給出下列論斷：①順次聯結三角形各邊中點所得的三角形與原三角形相似；②兩直角邊長分別是3．4的與兩直角邊長分別是6．8的相似；③若兩個三角形的邊長分別是4．6．8和6．8．10，則這兩個三角形相似；④一個三角形的三邊長分別為、、，另一個三角形的三邊長分別為、、，則這兩個三角形相似．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】分別根據相似三角形的判定定理判斷即可．【詳解】解：①如圖∵D、E分別為BA、BC的中點，∴DE=AC，即，同理，∴△DEF∽△CAB，①正確；②∵，且夾角都是90°，∴Rt△ABC和Rt△DEF相似，②正確；邊長分別是4．6．8的三角形的三邊長之比為2：3：4，邊長分別是6．8．10的三角形的三邊長之比為3：4：5，∴兩個三角形不相似，③錯誤；，即兩個三角形對應邊的比相等，∴這兩個三角形相似，∴④正確；故選C．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，掌握三組對應邊的比相等的兩個三角形相似、兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．二、填空題4．已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6．(1)如果DE＝10，那么當EF＝________，FD＝________時，△DEF∽△ABC；(2)如果DE＝10，那么當EF＝________，FD＝________時，△FDE∽△ABC．【答案】

12.5

15

12

8【分析】（1）由三條對應邊的比相等的三角形相似，即可得當時，△DEF∽△ABC；又由AB=4，BC=5，CA=6，DE=10，即可求得EF與FD的長；（2）由三條對應邊的比相等的三角形相似，即可得當時，△FDE∽△ABC，代入數值即可求得EF與FD的長．【詳解】（1）∵當時，△DEF∽△ABC；又∵AB=4，BC=5，CA=6，DE=10，∴，解得：EF=12.5，FD=15；∴當EF=12.5，FD=15時，△DEF∽△ABC；（2）∵當時，△FDE∽△ABC，又∵AB=4，BC=5，CA=6，DE=10，∴，解得：FD=8，EF=12，∴當EF=12，FD=8時，△FDE∽△ABC．故答案為（1）12.5，15；（2）12，8．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理，解題的關鍵是注意比例線段的對應關系．5．在與中，，，，，，，則與是否相似？______，理由是______．【答案】

相似

兩個三角形三邊對應成比例，這兩個三角形相似【分析】通過計算得出兩個三角形三邊成比例，即可得出兩個三角形相似.【詳解】解：∴（兩個三角形三邊對應成比例）∴△ABC∽△A′B′C′故答案為相似，兩個三角形三邊對應成比例，這兩個三角形相似【點睛】本題考查了相似三角形的判定方法；熟練掌握相似三角形的判定方法，通過計算得出兩邊或三邊成比例是解決問題的關鍵．三、解答題6．如圖，在與中，、分別為邊、上的中線，且．求證：∽．

【分析】根據可得，則可證明∽，即可推出，再根據，則可證明∽．【詳解】解：∵，、分別為邊、上的中線，∴，∴∽∴．又∵，∴∽．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．7．如圖，是內任一點，、、分別為、、的中點．與相似嗎？為什么？【答案】相似，理由見解析【分析】根據線段中點的性質得到A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC，于是得到，即可得到結論．【詳解】解：△A′B′C′與△ABC相似，理由：∵點A′、B′、C′分別是線段OA，OB，OC的中點，∴A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC∴∴△A′B′C′∽△ABC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似，也考查了三角形中線的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．8．如圖，方格紙中的與相似嗎，為什么？【答案】∽，理由見解析【分析】設每個小正方形的邊長為1，求出兩個三角形的三邊長，繼而可判斷△ABC與△DEF的關系．【詳解】解：△ABC∽△DEF，理由：設每個小正方形的邊長為1，則AB=AC=，BC=2，DE=DF=，EF=，，∴△ABC∽△DEF．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理．【能力提升】1.根據下列條件判定與是否相似，如果是，那么用符號表示出來．（1），，，，，（2），，，，，．【答案】（1）相似，．（2）相似，．【總結】本題考查相似三角形的判定定理3，同時注意表示相似時對應點的位置．2.如圖，在邊長為1個單位的方格紙上，有與．求證：∽．【解析】由圖知：，，， ，，． ， ．【總結】本題考查相似三角形的判定定理3．3.如圖，D、E、F分別是的邊BC、CA、AB的中點．求證：∽．【解析】、、分別是邊、、的中點， ，，． ，∽．【總結】本題考查相似三角形的判定定理3和三角形中位線的性質．4.如圖，點D為內一點，點E為外一點，且滿足．求證：∽．【解析】． ，即． ． ∽．【總結】本題考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性質知識．5.如圖，在中，，，，，．求證：∽．【解析】，，． ，在中，． ，