第4章相交線和平行線全章整合與提升

相交線、平行線及垂線的相關概念1.

一種對頂角量角器如圖所示，此時它所測量的角的度數是

30°，用它測量角的數學依據是

?.對頂角相等23456789101112.

如圖，射線DE，DC被直線AB所截得的用數字表示的角

中，∠4與

是同位角，∠4與

是內錯角，

∠4與

是同旁內角.∠1

∠2

∠5

2345678910111

3.

[2023·泉州期末]如圖，在8×8的正方形網格中，P是

∠AOB的邊OB上一點.(1)過點M畫OA的平行線MN；2345678910111解：(1)直線MN如圖所示.(2)過點P畫OB的垂線，交OA于點C；2345678910111

3.

[2023·泉州期末]如圖，在8×8的正方形網格中，P是

∠AOB的邊OB上一點.解：(2)直線PC如圖所示.(3)點C到直線OB的距離是線段

的長度.PC

2345678910111

3.

[2023·泉州期末]如圖，在8×8的正方形網格中，P是

∠AOB的邊OB上一點.4.

如圖，在一張半透明的紙上畫一條直線l，在l上任取一

點P，在l外任取一點Q，折出過點P且與l垂直的直線.

這樣的直線能折出幾條？為什么？過點Q呢？2345678910111解：過點P且與l垂直的直線只能折出1

條，因為在同一平面內過一點有且只

有一條直線與已知直線垂直.過點Q且與l垂直的直線也只能折出1條，理由同上.

平行線的判定5.

[2024·福州月考]如圖，能判定直線AB∥CD的條件是

(

C

)A.

∠1＝∠2B.

∠3＝∠4C.

∠1＋∠3＝180°D.

∠3＋∠4＝180°C23456789101116.

如圖所示的是驅逐艦、巡洋艦兩艘艦艇參與某次演練的情

景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°.(1)若驅逐艦在AC方向上航行，巡洋艦在BE方向上航

行，假設在航行過程中各自航行方向保持不變，試判

斷這兩艘艦艇會不會相撞，請說明理由；2345678910111解：(1)不會，理由：∵∠MAC＝120°，∴∠CAN＝60°.∵∠NBE＝60°，∴∠CAN＝∠NBE，∴AC∥BE，∴這兩艘艦艇不會相撞.2345678910111(2)驅逐艦到達點C后沿CD繼續航行，巡洋艦到達點E后沿EF繼續航行，MN∥EF，∠ACD＝140°.若驅逐艦在原航向上向左轉動α(0°＜α＜180°)后，才能與巡洋艦航向相同，求α的值.23456789101116.

如圖所示的是驅逐艦、巡洋艦兩艘艦艇參與某次演練的情

景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°.解：(2)如圖，若要驅逐艦與巡洋

艦航向相同，則EF∥CG，2345678910111∵MN∥EF，∴CG∥MN，∴∠ACG＝∠MAC＝120°.∵∠ACD＝140°，∴α＝∠ACD－∠ACG＝20°.

平行線的性質7.

在同一平面內，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺

(CD⊥DE)按如圖所示的方式擺放，若AB∥CD，則∠1

的大小為(

A

)A.30°B.45°C.60°D.75°A23456789101118.

【創新題新考法】請閱讀以下“預防近視”知識卡讀書、寫字、看書姿勢要端正.一般人正常的閱讀角度約

為俯角(如圖視線BC與水平線BA的夾角∠ABC)40°.在學習和工作中，要保持讀寫姿勢端正，可概括為“三個

一”，包括：眼與書本的距離為1尺；身體與桌子的距離

為1拳；握筆時，手指離筆尖1寸.書本與課桌的角度要保

持在30°至45°.2345678910111已知如圖，桌面和水平面平行，CD與書本所在平面重

合，根據卡片內容，請判斷正常情況下，坐姿正確且座椅

高度適合時，視線BC和書本所在平面所成角度∠BCD不

可能為以下哪個角度(

D

)D2345678910111A.74°B.78°C.84°D.88°9.

如圖，EF∥CD，GD∥CA.

若CD平分∠ACB，DG

平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度數.2345678910111解：

∵GD∥AC，∴∠GDB＝∠A＝40°.∵DG平分∠CDB，∴∠2＝∠BDG＝40°，∴∠ACD＝∠2＝40°

.∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝80°.10.

問題情境：如圖①，AB∥CD，∠PAB＝130°，

∠PCD＝120°，求∠APC的度數.小明的思路是過點P

作PE∥AB，通過平行線的性質來求∠APC的度數.2345678910111(1)按照小明的思路，求∠APC的度數.解：(1)過點P在∠APC內部作PE∥AB.

∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB＋∠APE＝180°，∠PCD＋∠CPE＝180°.∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°.2345678910111(2)問題遷移：如圖②，AB∥CD，點P在射線ON上運動，記∠PAB＝∠α，∠PCD＝∠β.當點P在B，D兩點之間運動時，∠APC與∠α，∠β之間有何數量關系？請說明理由.234567891011110.

問題情境：如圖①，AB∥CD，∠PAB＝130°，

∠PCD＝120°，求∠APC的度數.小明的思路是過點P

作PE∥AB，通過平行線的性質來求∠APC的度數.解：(2)∠APC＝∠α＋∠β.理由：過點P作PF∥AB交AC于點F.

∵AB∥CD，∴AB∥PF∥CD，∴∠α＝∠APF，∠β＝∠CPF，∴∠APC＝∠APF＋∠CPF＝∠α＋∠β.2345678910111(3)在(2)的條件下，當點P不在B，D兩點之間運動時(點P與點O，B，D均不重合)，請直接寫出∠APC

與∠α，∠β之間的數量關系.234567891011110.

問題情境：如圖①，AB∥CD，∠PAB＝130°，

∠PCD＝120°，求∠APC的度數.小明的思路是過點P

作PE∥AB，通過平行線的性質來求∠APC的度數.解：(3)當點P在BD的延長線上時，∠APC＝∠α－∠β；當點P在OB上時，

∠APC＝∠β－∠α.234567891011111.

如圖，P是直線l外的一點，A，B，C是直線l上的三

點，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，則下列判斷不正

確的是(

C

)

A.

線段PB的長度是點P到直線l的距離B.

PA，PB，PC三條線段中，PB最短C.

線段AC的長度是點A到直線PC的距離D.

線段PC的長度是點C到直線PA的距離C2345678910111易錯專訓點撥：A.

線段PB的長度是點P到直線l的距離，原說法正

確，故此選項不符合題意；B.

PA，PB，PC三條線段

中，依據垂線段最