黑龍江省哈爾濱市雙城區2025屆高三上學期期中考試數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知為虛數單位，復數滿足，則的共軛復數（

）A． B． C． D．3．平行四邊形中，為的中點，點滿足，若，則的值是（）A．4 B．2 C． D．4．已知各項均為正數的等比數列的前n項和為，，，，，則數列的公比為A．3 B． C．2 D．5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．設函數定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．為奇函數C．在上是減函數 D．方程僅有個實數解7．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．8．設函數，下列判斷正確的是（

）A．函數的一個周期為；B．函數的值域是；C．函數的圖象上存在點，使得其到點的距離為；D．當時，函數的圖象與直線有且僅有一個公共點.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．函數的最小值為10．下列命題正確的有（

）A．若等差數列的前項的和為，則，，也成等差數列B．若為等比數列，且，則C．若等差數列的前項和為，已知，且，，則可知數列前項的和最大D．若，則數列的前2020項和為404011．函數的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．的表達式可以寫成B．的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數是奇函數C．的對稱中心D．若方程在0,m上有且只有6個根，則三、填空題12．已知i是虛數單位，復數滿足，則.13．已知邊長為2的菱形中，，點為線段（含端點）上一動點，點滿足，則的取值范圍為．14．若，則的最小值為.四、解答題15．已知向量．(1)求向量與的夾角的大小；(2)若向量，求實數的值；(3)若向量滿足，求的值．16．已知向量，，函數，相鄰對稱軸之間的距離為．(1)求的單調遞減區間；(2)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位得的圖象，若關于x的方程在上只有一個解，求實數m的取值范圍．17．已知函數.(1)求的極值；(2)若對于任意不同的，，都有，求實數的取值范圍.18．在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)若，，求邊上的角平分線長；(2)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.19．一般地，元有序實數組稱為維向量（如用一個實數可表示一維向量，用二元有序實數對可表示二維向量，）.類似我們熟悉的二維向量和三維向量，對于維向量，也可以定義兩個向量的加法運算、減法運算、數乘運算、兩個向量的數量積、向量的長度（模）等，如，則.若存在不全為零的個實數，，，，使得，則稱向量組，，，是線性相關的，否則，稱向量組，，，是線性無關的.(1)判斷向量組，，是否線性相關.(2)已知函數，，且恒成立.①求的值；②設，其中，若，，數列的前項和為；證明：當時，.參考答案：題號12345678910答案BBDAACCDBCBCD題號11答案ABC1．B【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集運算可得結果.【詳解】解不等式可得；又可知，可知A錯誤，B正確；，即可得C錯誤，D錯誤.故選：B2．B【解析】由復數的乘法運算法則化簡復數,根據共軛復數的定義即可求解.【詳解】因為復數,由復數的乘法運算法則可得,,利用共軛復數的定義可得,=,故選:B【點睛】本題考查復數的四則運算及共軛復數的定義;屬于基礎題.3．D【分析】利用M為CD的中點，點N滿足，得到，再將等式轉化成的關系，從而得到，的方程，求解即可．【詳解】解：根據題意可得，，因為，所以，所以，由平面向量基本定理可得，解得，所以故選：D【點睛】本題考查了平面向量基本定理的應用，涉及了平面向量的數乘和線性運算，用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．4．A【解析】設正項等比數列的公比為，根據等比數列的性質，求得，進而得出公比的方程，即可求解.【詳解】設正項等比數列的公比為，由，可得，因為，所以，又因為，所以，即，解得或，又由，可得，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數列的性質，以及等比數列的通項公式的應用，著重考查推理與計算能力.5．A【分析】以為整體，利用誘導公式結合倍角公式求，結合兩角和差公式運算求解.【詳解】因為，則，且，可得，則，，所以，故選：A.6．C【分析】根據fx?1與的奇偶性可判斷函數的對稱性與周期性，從而作出函數圖像，數形結合判斷各選項.【詳解】為奇函數，即，關于點對稱，又為偶函數，即，關于直線對稱，所以，即，所以，即函數的最小正周期為，A選項：，A選項正確；B選項：，所以為奇函數，B選項正確；C選項：由當時，，所以，所以在上單調遞增，C選項錯誤；D選項：由，得作出函數及圖像如圖所示，

由已知函數的值域為，且，當時，，函數與無公共點，當時，由圖像可知函數與函數有個公共點，即有個解，D選項正確；故選：C.7．C【分析】根據給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，，則，當且僅當時取等號，因此，的面積，所以當時，的面積取得最大值.故選：C8．D【分析】利用函數的周期性定義結合余弦函數的周期性可判斷A；采用三角代換，利用導數判斷函數單調性，利用函數單調性求解函數值域，判斷B；利用，結合兩點間距離公式可判斷C；結合解，根據解的情況判斷D，即得答案.【詳解】對于A，，，故不是函數的一個周期，A錯誤；對于B，，需滿足，即，令，，則即為，當時，在上單調遞增，則；當時，，（，故）此時在上單調遞減，則，綜上，的值域是，B錯誤；對于C，由B知，，當時，,滿足此條件下的圖象上的點到的距離；當時，,滿足此條件下的圖象上的點到的距離，當且僅當且時等號成立，而時，或，滿足此條件的x與矛盾，即等號取不到，故函數的圖象上不存在點Px,y，使得其到點1,0的距離為，C錯誤；對于D，由B的分析可知，則，即，又，故當且僅當時，，即當時，函數的圖象與直線有且僅有一個公共點，D正確．故選：D【點睛】難點點睛：本題綜合考查了函數的知識的應用問題，涉及余弦函數的周期，值域以及最值和函數圖象的交點問題，綜合性強，難度較大，解答時要結合余弦函數的性質以及函數的單調性，綜合求解.9．BC【分析】對A舉反例即可；對B根據不等式性質即可判斷；對C，利用指數函數單調性即可判斷；對D舉反例即可.【詳解】對A，當時，，故A錯誤；對B，當，則，則，故B正確；對C，根據指數函數在上單調遞增，且，則，故C正確；對D，當時，，故D錯誤.故選：BC.10．BCD【分析】A.利用等差數列的性質判斷；B.利用等比數列的性質判斷；C.根據等比數列前n項和公式判斷；D.利用數列并項求和判斷.【詳解】A.等差數列的前項的和為，則，，也成等差數列，故錯誤；B.為等比數列，且，則，所以，故正確；C.因為，則，，則，所以，，所以數列前項的和最大，故正確；D.因為，所以數列的前2020項和為：，，故正確.故選：BCD11．ABC【分析】利用特殊點求得函數的解析式即可判斷A，根據相位變換求得新函數解析式即可判斷奇偶性，即可判斷B，先求出的解析式，然后代入正弦函數對稱中心結論求解判斷C，把問題轉化為根的問題，找到第7個根，即可求解范圍判斷D.【詳解】由，得，即，又，所以，又的圖象過點，則，即，所以，即得，又，所以，所以，故A正確；向右平移個單位后得，為奇函數，故B正確；對于C，，令得，所以對稱中心，故C正確；對于D，由，得，解得或，方程即，因為，所以，又在0,m上有6個根，則根從小到大為，而第7個根為，所以，故D錯誤.故選：ABC.12．【分析】根據復數運算的除法法則和模的計算公式，即可化簡得到答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.13．【分析】利用基底，結合向量的線性運算表示，即可根據數量積的運算律求解.【詳解】設，其中，已知邊長為2的菱形中，，則為等邊三角形，又，則又，故故．故答案為：

14．【分析】令，則，可得，求導求得最小值即可.【詳解】令，則，所以，所以，令，則，所以在上為增函數，即在上為增函數，又，當時，，在上為減函數，當時，，在上為增函數，所以函數.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用換元法，通過二次求導，求函數的最小值是一種常用方法，在平時的學習中應多體會.15．(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用向量的夾角公式計算即得.（2）利用平面向量共線的坐標表示，共線向量的坐標表示列式計算即得.（3）利用向量相等構造方程求得，再利用坐標求模即得結果.【詳解】（1）由向量，得，于是，而，所以.（2）由向量，得，，由，得，解得，所以實數的值是.（3）依題意，即，于是，解得，所以.16．(1)(2)【分析】（1）首先利用數量積公式和三角恒等變換化簡函數，再結合三角函數的性質，即可求解；（2）首先利用三角函數的圖象變換求函數的解析式，再通過換元后，結合的圖象，即可求解.【詳解】（1），，，因為相鄰的對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，得，所以，令,則，所以的單調遞減區間為;（2）由（1）知，將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數，再向左平移個單位得，令，則，所以，因為在上只有一個解，

由的圖象可得，?3≤m<3或所以的取值范圍是17．(1)極小值為，無極大值；(2).【分析】（1）根據導數的性質，結合函數極值的定義進行求解即可；（2）對已知不等式進行變形，構造新函數，利用新函數的單調性，結合導數的性質分類討論求解即可.【詳解】（1））因為，所以令，解得或（舍去）.當變化時，，的變化情況如表所示.20單調遞減單調遞增因此，當時，有極小值，且極小值為，無極大值（2）不妨令，則等價于，即令函數，可知在上單調遞減，若，即，則在上恒成立，故在上恒成立，則在上單調遞減，符合題意若，即，則在上不恒成立，故在上不恒成立，則在上不可能單調遞減，不符合題意.綜上所述，實數的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：由已知不等式構造函數，得到函數的單調性是解題的關鍵.18．(1)(2)【分析】（1）先根據平方關系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面積法計算可得答案；（2）延長交于，延長交于，設，分別求出、，再根據三角恒等變換化，結合正切函數的性質即可得解.【詳解】（1）因為，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以；又因為，，所以，即，解得，設邊上的角平分線長為，則，即，即，解得，即邊上的角平分線長為；（2）延長交于，延長交于，設，所以，在中，在中，，，所以，在中，同理可得在中，所以，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍為12,1.19．(1)，，是線性無關的(2)①；②證明見詳解【分析】（1）假設，，線性相關，根據題意列方程解得，即可得出矛盾；（2）①令，分析可知原題意等價于對任意恒成立，結合定點法求得；②利用放縮法結合裂項相消法可得，