河北省衡水市2024?2025學年高二上學期綜合素質評價二數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結論成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．已知圓的面積為，則（

）A． B． C． D．4．已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為()A．eq\f(5\r(22),66)B．－eq\f(5\r(22),66)C．eq\f(5\r(22),22)D．－eq\f(5\r(22),22)6．在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．7．若動點，分別在直線與直線上移動，則MN的中點P到原點的距離的最小值為（

）A． B． C． D．8．邊長為1的正方體中，，分別是，中點，是靠近的四等分點，在正方體內部或表面，，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，四棱柱中，為的中點，為上靠近點的五等分點，則（

）A． B．C． D．10．已知兩條直線，的方程分別為與，下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（

）

A．存在點，使得B．存在點，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當點自向處運動時，直線與平面所成的角逐漸增大三、填空題（本大題共3小題）12．點與圓上任一點連結的線段的中點的軌跡方程；13．已知點和直線，則點到直線的距離的取值范圍是.14．如圖，已知點A是圓臺O1O的上底面圓O1上的動點，B,C在下底面圓O上，AO1=1，OO1=2，BO=3，BC=25四、解答題（本大題共5小題）15．在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標為.

(1)求直線的方程；(2)求直線的方程及點的坐標.16．如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.

(1)證明：平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．已知直線過定點．(1)求過點且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線方程；(2)若直線交軸正半軸于點，交軸負半軸于點，的面積為（為坐標原點），求的最小值并求此時直線的方程．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.(1)求證：平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．在空間直角坐標系中，己知向量，點.若直線以為方向向量且經過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經過點，則平面的點法式方程表示為.(1)已知直線的標準式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，點到平面的距離；(3)（i）若集合，記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體的體積；（ii）若集合.記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小.

參考答案1．【答案】A【詳解】設直線的的傾斜角為，且，直線的斜率，所以，故選：A2．【答案】C【詳解】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，由，可得，所以A不正確，C正確；對于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；故選：C.3．【答案】B【分析】由題意確定圓的半徑，結合圓的面積公式建立方程，即可求解.【詳解】因為圓，即，所以，解得.故選B.4．【答案】A【詳解】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.5．【答案】A【詳解】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3，－3)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,3×\r(22))＝eq\f(5\r(22),66)，∴直線AB，CD所成角的余弦值為eq\f(5\r(22),66).6．【答案】D【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的法向量為，則，取，得，所以點到平面的距離為，故選：D．7．【答案】C【詳解】解：由題意知，MN的中點P的軌跡為平行于兩直線且到兩直線距離相等的直線，故其方程為，到原點的距離的最小值為．故選：C8．【答案】D【詳解】

如圖，建立空間直角坐標系，設，則，所以，則，因為，又，所以，即，所以，又，所以，當且僅當，此時時，等號成立，所以的最大值是.故選：D.9．【答案】BD【詳解】，即，故A錯誤、B正確；，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.10．【答案】AD【詳解】兩條直線，的方程分別為與，它們不重合，若，則，得，檢驗符合，故A選項正確；若，由A選項可知，：，直線的方程可化為，故兩條平行直線之間的距離為，故B選項不正確；若，則，得，故C選項不正確；由A選項知，當時，，所以若，則直線，一定相交，故D選項正確.故選：AD.11．【答案】ACD【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

A0,0,0，，，，，，，；對于A，假設存在點，使得，則，又，所以，解得，即點與重合時，，A正確；對于B，假設存在點，使得異面直線與所成的角為，因為，，所以，方程無解；所以不存在點，B錯誤；

對于C，連接，設，因為，所以當，即點與點重合時，取得最大值；又點到平面的距離，所以，C正確；對于D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令x=1，則，因為，設直線與平面所成的角為，，所以，當點自向處運動時，的值由到變大，此時也逐漸增大，因為在為增函數，所以也逐漸增大，故D正確.故選：ACD12．【答案】【分析】設圓上任意一點為（x1，y1），中點為（x，y），則，由此能夠軌跡方程．【詳解】設圓上任意一點為（x1，y1），中點為（x，y），則代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化簡得．故答案為：．【點睛】求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設出動點的坐標，根據題意列出關于的等式即可；②定義法，根據題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數法，把分別用第三個變量表示，消去參數即可；④逆代法，將代入.13．【答案】【詳解】可化為：設直線的定點為，點P到直線的距離為，則有：可得：為直線的定點則有：，此時為點P到直線的最大距離若在直線上，則有：，即可得：不可能在直線上，則有：綜上可得：故答案為：14．【答案】310【分析】以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得對應點的坐標，設出未知點的坐標，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【詳解】連接OC，過C點作CH垂直于BO的延長線于點H，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示：在三角形OBC中，因為OB=3,OC=3,BC=25故cosB=OB則BH=BC?cosB=25×則CH=BCOH=BH?OB=13故點C?13,453,0，又O設點Am,n,2，m,n∈?1,1，由O1A=1BC=?103,設平面O1BC的法向量m則m?BC=0m?取y=5，則x=2,z=3故平面O1BC的法向量m又OA=m,n,2設直線AO與平面O1BC所成角為θ，θ∈則sinθ=cosOA因為m,n∈?1,1，且m2故令m=cosα，n=sinα，α∈0,2π則2m+5n+6=5sinα+2cosα+6=3sinα+φ+6，又α∈0,2π，所以sinα+φ所以3sinα+φ+6∈3,9所以sinθ的最大值為9310故答案為：31010【方法總結】求直線與平面所成角的方法：(1)定義法：①作，在直線上選取恰當的點向平面引垂線，確定垂足的位置是關鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角；(2)向量法：sinθ＝|cos〈→，n〉|＝AB?nAB?n(其中AB→為平面α的斜線AB的方向向量，n為平面α15．【答案】(1)(2)直線的方程為：，【詳解】（1）由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結合，可得的點斜式方程：，化簡整理，得，即為所求的直線方程．（2）由和聯解，得由此可得直線方程為：，即，，關于角平分線軸對稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯解，得，，因此，可得點的坐標為．16．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）不妨設，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）不妨設，則，如圖建立空間直角坐標系，

則，，，A1,0,0，，，所以，，，設m=x,y,z是平面則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因為平面，所以平面.（2）因為平面，所以是平面的一個法向量，又因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【答案】(1)或或(2)最小值為24，直線【詳解】（1）直線，則直線過定點，①當，時，設的方程為．點在直線上，．若，則，直線的方程為，若，則，，直線的方程為；②當時，直線過原點，且過點，直線的方程為，綜上所述，所求直線的方程為或或；（2）令，則；令，則，直線交軸的正半軸于點，交軸的負半軸于點，，為坐標原點，設的面積為，則，當且僅當時，即時取等號，故的最小值為24，此時，直線．18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在；【分析】（1）根據面面垂直的性質可得平面，進而得，再結合線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，再利用空間向量夾角公式、線面角的定義進行求解即可；（3）要使平面，則，由此列式求解可得.【詳解】（1）∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；（2）取中點為，連接，又∵，∴．則，∵，∴，則，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，，，設為平面的一個法向量，則由，得，令，則．設與平面的夾角為，則；（3）假設在棱上存在點點，使得平面.設，，由（2）知，，，，則，，，由（2）知平面的一個法向量．若平面，則，解得，又平面，故在棱上存在點點，使得平面，此時.19．【答案】(1)(2)(3)（i）；（ii）【分析】（1）利用題中概念分別計算出直線方向向量與平面法向量，然后利用線面角與直線方向向量和平面法向量所成角的關系計算即可；（2）先計算平面法向量，找到平面上一點然后利用向量的投影計算即可；（3）（i）先建立等式，然后畫出所表示的面，計算所圍成的圖形的面積即可；（ii）因為是一個完全對稱的圖形，只需計算第一卦限內相鄰面的二面角，我們需要畫出第一卦限內圖像，得到其二面角為鈍角；【詳解】（1）由題可知，直線的一個方向向量坐標為，平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則有，所以，直線與平面所成角的余弦值為.（2）由題可知平面的法向量為，且過點，因為,所以，所以點到平面的距離