2024年高考數(shù)學(xué)學(xué)霸糾錯筆記直線與圓的方程含解析_第1頁
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文檔簡介

忽視90°傾斜角的特殊情形求經(jīng)過A(m,3),B(1,2)兩點的直線的斜率,并指出傾斜角α的取值范圍.【錯解】由斜率公式可得直線AB的斜率k=eq\f(3-2,m-1)=eq\f(1,m-1).①當m>1時,k=eq\f(1,m-1)>0,所以直線的傾斜角α的取值范圍是0°<α<90°;②當m<1時,k=eq\f(1,m-1)<0,所以直線的傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°.當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一探討時,就須要對探討對象進行分類探討,然后對每一類分別探討,得出每一類結(jié)果,最終解決整個問題.本題的探討分兩個層次:第一個層次是探討斜率是否存在;其次個層次是探討斜率的正、負.也可以分為m=1,m>1,m<1三種狀況進行探討.【試題解析】當m=1時,直線斜率不存在,此時直線傾斜角α=90°.當m≠1時,由斜率公式可得k=eq\f(3-2,m-1)=eq\f(1,m-1).①當m>1時,k=eq\f(1,m-1)>0,所以直線傾斜角α的取值范圍是0°<α<90°.②當m<1時,k=eq\f(1,m-1)<0,所以直線傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°.【參考答案】見試題解析.1.由斜率取值范圍確定直線傾斜角的范圍時要利用正切函數(shù)y=tanx的圖象,特殊要留意傾斜角取值范圍的限制.2.求解直線的傾斜角與斜率問題時要擅長利用數(shù)形結(jié)合的思想,要留意直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時,需依據(jù)正切函數(shù)y=tanx的單調(diào)性求斜率k的范圍.3.直線的傾斜角與斜率的關(guān)系(1)任何直線都存在傾斜角,但并不是隨意直線都存在斜率.比如直線的傾斜角為,但斜率不存在.(2)直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系:α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<01.直線的傾斜角為A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的斜率,則,所以直線的傾斜角.故選B.忽視斜率不存在的特殊情形已知直線l1經(jīng)過點A(3,a),B(a?2,3),直線l2經(jīng)過點C(2,3),D(?1,a?2),若l1⊥l2,求a的值.【錯解】由l1⊥l2?,又k1=eq\f(3-a,a-5),k2=eq\f(a-5,-3),所以eq\f(3-a,a-5)·eq\f(a-5,-3)=?1,解得a=0.【錯因分析】只有在兩條直線斜率都存在的狀況下,才有l(wèi)1⊥l2?,還有一條直線斜率為0,另一條直線斜率不存在的狀況也要考慮.【試題解析】由題意知l2的斜率肯定存在,則l2的斜率可能為0,下面對a進行探討.當時,a=5,此時k1不存在,所以兩直線垂直.當時,由,得a=0.所以a的值為0或5.【參考答案】0或51.直線的斜率是否存在是解直線問題首先要考慮的問題,以防漏解.2.斜率公式(1)若直線l的傾斜角90°,則斜率.(2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1≠x2,則l的斜率k=.3.求直線方程的方法(1)干脆法:依據(jù)已知條件,選擇恰當形式的直線方程,干脆求出方程中的系數(shù),寫出直線方程;(2)待定系數(shù)法:先依據(jù)已知條件恰當設(shè)出直線的方程,再依據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)解得系數(shù),最終代入設(shè)出的直線方程.4.求直線方程時,假如沒有特殊要求,求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+By+C=0,且A≥0.5.已知三點若直線的斜率相同,則三點共線.因此三點共線問題可以轉(zhuǎn)化為斜率相等問題,用于求證三點共線或由三點共線求參數(shù).2.設(shè)直線l的方程為m2-2m-3x+2m(1)在x軸上的截距為1;(2)斜率為1;(3)經(jīng)過定點P-1,-1【答案】(1)1;(2)43;(3)53或【解析】(1)∵直線過點P′(1,0),∴m2-2m-3=2m-6.解得m=3或m=1.又∵m=3時,直線l的方程為y=0,不符合題意,∴m=1.(2)由斜率為1,得-m2-2m-32m(3)直線過定點P(-1,-1),則-(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=53或m當用待定系數(shù)法確定直線的斜率時,肯定要對斜率是否存在進行探討,否則簡單犯解析不全的錯誤.忽視兩條直線平行的條件當a為何值時,直線:y=?x+2a與直線:平行?【錯解】由題意,得=?1,∴a=±1.【錯因分析】該解法只留意到兩直線平行時斜率相等,而忽視了斜率相等的兩直線還可能重合.【試題解析】∵,∴=?1且2a≠2,解得a=?1.【方法點睛】要解決兩直線平行的問題,肯定要留意檢驗,看看兩直線是否重合.【參考答案】a=?1.1.兩直線的位置關(guān)系問題中留意重合與平行的區(qū)分.2.由兩直線平行或垂直求參數(shù)的值:在解這類問題時,肯定要“前思后想”.“前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性,是否須要分狀況探討;“后想”就是在解題后,檢驗答案的正確性,看是否出現(xiàn)增解或漏解.3.兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式與相交與垂直與平行且或與重合且(1)當兩條直線平行時,不要遺忘它們的斜率不存在時的狀況;(2)當兩條直線垂直時,不要遺忘一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的狀況.3.已知直線與直線相互平行,則實數(shù)的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】直線與直線相互平行,;,即,解得:.當時,直線分別為和,平行,滿意條件當時,直線分別為和,平行,滿意條件;所以;故選A.【名師點睛】本題考查兩直線平行的性質(zhì),解題時留意平行不包括重合的狀況,屬于基礎(chǔ)題.忽視截距為0的情形已知直線l過點P(2,?1),且在兩坐標軸上的截距相等,求直線l的方程.【錯解】由題意,設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)+eq\f(y,a)=1,∵直線l過點(2,?1),∴eq\f(2,a)+eq\f(-1,a)=1,∴a=1,則直線l的方程為x+y?1=0.【錯因分析】錯解忽視了過原點時的狀況.【試題解析】設(shè)直線l在兩坐標軸上的截距為a.若a=0,則直線l過原點,其方程為x+2y=0;若a≠0,則直線l的方程可設(shè)為eq\f(x,a)+eq\f(y,a)=1,∵直線l過點(2,?1),∴eq\f(2,a)+eq\f(-1,a)=1,∴a=1,則直線l的方程為x+y?1=0.綜上所述,直線l的方程為或x+y?1=0.【思路分析】截距式方程中a≠0,b≠0,即直線與坐標軸垂直或直線過原點時不能用截距式方程.留意在兩坐標軸上存在截距的直線不肯定有截距式方程,此時在x,y軸上的截距均為0,即過原點.【參考答案】或x+y?1=0.1.在求與截距有關(guān)的直線方程時,留意對直線的截距是否為零進行分類探討,防止忽視截距為零的情形,導(dǎo)致產(chǎn)生漏解.2.在求直線方程時,應(yīng)先選擇適當?shù)闹本€方程的形式,并留意各種形式的適用條件.用斜截式及點斜式時,直線的斜率必需存在,而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線,截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線.在解題時,若采納截距式,應(yīng)留意分類探討,推斷截距是否為零;若采納點斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的狀況.截距為一個實數(shù),既可以為正數(shù),也可以為負數(shù),還可以為0,這是解題時簡單忽視的一點,常見的與截距問題有關(guān)的易錯點有:“截距互為相反數(shù)”;“一截距是另一截距的幾倍”等,解決此類問題時,應(yīng)先考慮截距為0的情形,留意分類探討思想的運用.4.經(jīng)過點,并且在兩坐標軸上的截距相等的直線有A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】C【解析】若直線過原點,則過的直線方程為,滿意題意.若直線不過原點,設(shè)直線為,代入,解得:,直線方程為:滿意題意的直線有條故選C.【名師點睛】本題考查在坐標軸截距相等的直線的求解,易錯點是忽視直線過原點的狀況.含參數(shù)的兩條直線相交因考慮問題不全面而致誤若三條直線共有三個不同的交點,則a的取值范圍為A. B.a(chǎn)≠1且a≠?2C.a(chǎn)≠?2 D.且a≠?2【錯解】選A或選B【錯因分析】在解題過程中,常錯選B,緣由在于考慮問題不全面,只考慮三條直線相交于一點而忽視了隨意兩條平行或重合的狀況.錯選A時,只考慮三條直線斜率不相等的條件而忽視了三條直線相交于一點的狀況.【試題解析】因為三條直線有三個不同的交點,需三條直線兩兩相交且不共點,由條件不易干脆求參數(shù),可考慮從反面著手求解.①若三條直線交于一點,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+ay+1=0,,x+y+a=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-a-1,,y=1,))將l2,l3的交點代入l1的方程解得a=1或a=?2.②若,則由a×a?1×1=0,解得a=±1,當a=1時,與重合.③若∥,則由1×1?a×1=0,解得a=1,當a=1,與重合.④若∥,則由a×1?1×1=0,解得a=1,當a=1時,與重合.綜上,當a=1時,三條直線重合;當a=?1時,∥;當a=?2時,三條直線交于一點.所以要使三條直線共有三個交點,需且a≠?2.【參考答案】D1.兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標,就是解由兩直線方程組成的方程組,以方程組的解為點的坐標,即交點的坐標.2.求過兩直線交點的直線方程的求法求過兩直線交點的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點坐標,再結(jié)合其他條件寫出直線方程.也可借助直線系方程,利用待定系數(shù)法求出直線方程,這樣能簡化解題過程.5.設(shè),若直線與線段相交,則的取值范圍是A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意,直線,即,所以直線經(jīng)過定點,又由斜率公式,可得,.∵直線與線段相交,∴或,則的取值范圍是.故選C.【名師點睛】本題考查了斜率計算公式及其應(yīng)用,考查了推理實力與計算實力,屬于基礎(chǔ)題.忽視圓的方程須要滿意的條件致錯已知點O(0,0)在圓x2+y2+kx+2ky+2k2+k?1=0外,求k的取值范圍.【錯解】∵點O(0,0)在圓外,∴2k2+k?1>0,解得k>eq\f(1,2)或k<?1.∴k的取值范圍是(?∞,?1)∪(eq\f(1,2),+∞).【錯因分析】本題忽視了圓的一般方程表示圓的條件為,而導(dǎo)致錯誤.【試題解析】∵方程表示圓,∴k2+(2k)2?4(2k2+k?1)>0,即3k2+4k?4<0,解得?2<k<eq\f(2,3).又∵點O(0,0)在圓外,∴2k2+k?1>0,解得k>eq\f(1,2)或k<?1.綜上所述,k的取值范圍是(?2,?1)∪(eq\f(1,2),eq\f(2,3)).【參考答案】(?2,?1)∪(eq\f(1,2),eq\f(2,3)).方程是否滿意表示圓的條件,這是將二元二次方程按圓的方程處理時應(yīng)首先考慮的問題.1.求圓的方程必需具備三個獨立的條件.從圓的標準方程來看,關(guān)鍵在于求出圓心坐標和半徑,從圓的一般方程來講,能知道圓上的三個點即可求出圓的方程,因此,待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.2.用幾何法求圓的方程,要充分運用圓的幾何性質(zhì),如“圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上”,“半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形”.3.與圓有關(guān)的對稱問題(1)圓的軸對稱性:圓關(guān)于直徑所在的直線對稱.(2)圓關(guān)于點對稱:①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓,只需確定所求圓的圓心位置;②兩圓關(guān)于點對稱,則此點為兩圓圓心連線的中點.(3)圓關(guān)于直線對稱:①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓,只需確定所求圓的圓心位置;②兩圓關(guān)于直線對稱,則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.4.對于圓中的最值問題,一般是依據(jù)條件列出關(guān)于所求目標的式子——函數(shù)關(guān)系式,然后依據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等,應(yīng)用不等式的性質(zhì)求出最值.特殊地,要利用圓的幾何性質(zhì),依據(jù)式子的幾何意義求解,這正是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6.若直線與圓至少有一個交點,則實數(shù)的取值范圍為A.[0,+∞) B.[4,+∞)C.(4,+∞) D.[2,4]【答案】C【解析】由可得,故直線恒過定點,因此可得點必在圓內(nèi)或圓上,故.由方程表示圓的條件可得或.綜上可知.故實數(shù)的取值范圍為(4,+∞).故選C.【名師點睛】本題主要考查了直線過定點及直線與圓的位置關(guān)系,點與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.利用數(shù)形結(jié)合的解題誤區(qū)

方程eq\r(1-x2)=kx+2有唯一解,則實數(shù)k的取值范圍是A.k=±eq\r(3)B.k∈(?2,2)C.k<?2或k>2D.k<?2或k>2或k=±3【錯解】選A或選C【錯因分析】因忽視y=eq\r(1-x2)中的y≥0而認為直線與圓相切而錯選A.雖然留意到圖形表示半圓但漏掉直線與圓相切的情形而錯選C.【試題解析】由題意知,直線y=kx+2與半圓x2+y2=1(y≥0)只有一個交點.結(jié)合圖形易得k<?2或k>2或k=±eq\r(3).【參考答案】D1.推斷直線與圓的位置關(guān)系時,通常用幾何法,其步驟是:(1)明確圓心C的坐標(a,b)和半徑長r,將直線方程化為一般式;(2)利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d;(3)比較d與r的大小,寫出結(jié)論.推斷直線與圓的位置關(guān)系時,若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達,則用幾何法;若方程中含有參數(shù),或圓心到直線的距離的表達較繁瑣,則用代數(shù)法.能用幾何法,盡量不用代數(shù)法.2.涉及直線被圓截得的弦長問題,一般有兩種求解方法:一是利用半徑長r、弦心距d、弦長l的一半構(gòu)成直角三角形,結(jié)合勾股定理求解;二是若斜率為k的直線l與圓C交于兩點,則.7.若直線y=x+b與曲線y=eq\r(4-x2)有公共點,試求b的取值范圍.【答案】?2≤b≤2eq\r(2)【解析】如圖所示,在坐標系內(nèi)作出曲線y=eq\r(4-x2)(半圓),直線l1:y=x?2,直線l2:y=x+2eq\r(2).當直線l:y=x+b夾在l1與l2之間(包含l1,l2)時,l與曲線y=eq\r(4-x2)有公共點,所以b的取值范圍為?2≤b≤2eq\r(2).不理解兩圓相切已知圓圓,推斷兩圓的位置關(guān)系.【錯解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2+2x+2y+1=0,,x2+y2-6x+8y+9=0,))得4x?3y?4=0,即y=eq\f(4x-4,3).將其代入方程x2+y2+2x+2y+1=0,得,即9x2+16x2+16?32x+18x+3(8x?8)+9=0,25x2+10x+1=0,因為Δ=100?4×25=0.所以兩圓只有一個公共點,兩圓相切.【錯因分析】將兩圓方程聯(lián)立,Δ=0說明兩圓只有一個公共點,此時兩圓有可能外切,也有可能內(nèi)切.【試題解析】把兩圓方程分別配方,化為標準方程為:(x+1)2+(y+1)2=1,(x?3)2+(y+4)2=16,所以C1(?1,?1),C2(3,?4),r1=1,r2=4.∵圓心距,r1+r2=1+4=5,∴|C1C2|=r1+r2,故兩圓外切.【參考答案】外切.1.推斷圓與圓的位置關(guān)系時,一般用幾何法,其步驟是:(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長;(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d,求;(3)比較的大小,寫出結(jié)論.2.求兩圓公共弦長一般有兩種方法:一是聯(lián)立兩圓的方程求出交點坐標,再利用兩點間的距離公式求解;二是求出兩圓公共弦所在直線的方程,轉(zhuǎn)化為直線被圓截得的弦長問題.8.已知兩圓和相切,求實數(shù)的值.【答案】或0【解析】題中所給兩圓的圓心坐標分別為,半徑分別為,若兩圓外切,則:,解得:,若兩圓內(nèi)切,則:,解得:,綜上可得,a的值為或0.【名師點睛】推斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系,一般不采納代數(shù)法,兩圓相切留意探討內(nèi)切外切兩種狀況.兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切,d=|r1?r2|?內(nèi)切;d=r1+r2?外切.本題簡單出現(xiàn)的錯誤是:只考慮外切的狀況而把內(nèi)切狀況漏掉了.求切線時考慮不全致錯過點P(2,4)引圓的切線,則切線方程為__________.【錯解】設(shè)切線方程為y?4=k(x?2),即kx?y+4?2k=0,因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即d=,解得k=,故所求切線方程為x?y+4?2×=0,即4x?3y+4=0.【錯因分析】本題簡單忽視切線斜率不存在的狀況,從而導(dǎo)致漏解.【試題解析】明顯點P(2,4)不在圓上,當切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為y?4=k(x?2),即,因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即d=,解得k=,故所求切線方程為x?y+4?2×=0,即4x?3y+4=0;當切線的斜率不存在時,切線方程為,此時圓心到直線的距離等于半徑,符合題意.綜上,切線方程為或4x?3y+4=0.【參考答案】或4x?3y+4=0.求解此類問題時,應(yīng)先推斷點是在圓上還是在圓外,在圓上時切線方程唯一,在圓外時切線方程必有兩條.1.求過圓上的一點的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率k,若k不存在,則由圖形可寫出切線方程為;若,則由圖形可寫出切線方程為;若k存在且k≠0,則由垂直關(guān)系知切線的斜率為,由點斜式方程可求出切線方程.2.求過圓外一點的圓的切線方程:(1)幾何方法當斜率存在時,設(shè)為k,則切線方程為,即.由圓心到直線的距離等于半徑長,即可得出切線方程.(2)代數(shù)方法當斜率存在時,設(shè)為k,則切線方程為,即,代入圓的方程,得到一個關(guān)于x的一元二次方程,由,求得k,切線方程即可求出.3.在求過肯定點的圓的切線方程時,應(yīng)首先推斷定點與圓的位置關(guān)系,若點在圓上,則該點為切點,切線只有一條;若點在圓外,切線有兩條;若點在圓內(nèi),則切線不存在.9.已知圓:,則過點(1,2)作該圓的切線方程為A. B. C. D.【答案】D【解析】依據(jù)題意,設(shè)圓:的圓心為M,且M(0,1),點N(1,2),有,則點N在圓上,則過點N的切線有且只有1條;則,則過點(1,2)作該圓的切線的斜率,切線的方程為,變形可得,故選D.一、直線與方程1.直線的傾斜角(1)定義:在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線圍著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角.當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為.(2)范圍:直線l傾斜角的范圍是.2.斜率公式(1)若直線l的傾斜角90°,則斜率.(2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1≠x2,則直線l的斜率k=.3.直線方程的五種形式方程適用范圍①點斜式:不包含直線②斜截式:不包含垂直于x軸的直線③兩點式:不包含直線和直線④截距式:不包含垂直于坐標軸和過原點的直線⑤一般式:不全為平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用1.常見的直線系方程(1)過定點P(x0,y0)的直線系方程:還可以表示為,斜率不存在時可設(shè)為x=x0.(2)平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程:.(3)垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程:.(4)過兩條已知直線交點的直線系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直線).2.求解含有參數(shù)的直線過定點問題,有兩種方法:(1)任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點,從而問題得解.(2)分項整理,含參數(shù)的并為一項,不含參數(shù)的并為一項,整理成等號右邊為零的形式,然后令含參數(shù)的項和不含參數(shù)的項分別為零,解方程組所得的解即為所求定點.二、直線的位置關(guān)系1.兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式與相交與垂直與平行且或與重合且(1)當兩條直線平行時,不要遺忘它們的斜率不存在時的狀況;(2)當兩條直線垂直時,不要遺忘一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的狀況.2.兩條直線的交點對于直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,與的交點坐標就是方程組的解.(1)方程組有唯一解與相交,交點坐標就是方程組的解;(2)方程組無解;(3)方程組有多數(shù)解與重合.3.距離問題(1)平面上隨意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離|P1P2|=.(2)點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=.(3)兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0(C1≠C2)間的距離d=.1.求兩點間的距離,關(guān)鍵是確定兩點的坐標,然后代入公式即可,一般用來推斷三角形的形態(tài)等.2.解決點到直線的距離有關(guān)的問題,應(yīng)熟記點到直線的距離公式,若已知點到直線的距離求直線方程,一般考慮待定斜率法,此時必需探討斜率是否存在.3.求兩條平行線間的距離,要先將直線方程中x,y的對應(yīng)項系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式,再利用距離公式求解.也可以轉(zhuǎn)化成點到直線的距離問題.4.對稱問題(1)中心對稱:點為點與的中點,中點坐標公式為.(2)軸對稱:若點關(guān)于直線l的對稱點為,則.解決對稱問題要抓住以下兩點:(1)已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直;(2)以已知點和對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上.三、圓的方程1.圓的標準方程與一般方程圓的標準方程圓的一般方程定義在平面內(nèi),到定點的距離等于定長的點的集合叫圓,確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑方程圓心半徑區(qū)分與聯(lián)系(1)圓的標準方程明確地表現(xiàn)出圓的幾何要素,即圓心坐標和半徑長;(2)圓的一般方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)明顯,圓心坐標和半徑長須要通過代數(shù)運算才能得出;(3)二者可以互化:將圓的標準方程綻開可得一般方程,將圓的一般方程配方可得標準方程當D2+E2?4F=0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個點;當D2+E2?4F<0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有意義,不表示任何圖形.2.點與圓的位置關(guān)系標準方程的形式一般方程的形式點(x0,y0)在圓上點(x0,y0)在圓外點(x0,y0)在圓內(nèi)(1)圓的三特性質(zhì)①圓心在過切點且垂直于切線的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③兩圓相切時,切點與兩圓心三點共線.(2)兩個圓系方程具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系,它們的方程叫圓系方程.①同心圓系方程:,其中a,b為定值,r是參數(shù);②半徑相等的圓系方程:,其中r為定值,a,b為參數(shù).四、直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的三種位置關(guān)系(1)直線與圓相離,沒有公共點;(2)直線與圓相切,只有一個公共點;(3)直線與圓相交,有兩個公共點.2.直線與圓的位置關(guān)系的推斷方法推斷方法直線與圓的位置關(guān)系幾何法:由圓心到直線的距離d與半徑長r的大小關(guān)系來推斷直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,依據(jù)一元二次方程的解的個數(shù)來推斷方程無實數(shù)解,直線與圓相離方程有唯一的實數(shù)解,直線與圓相切方程有兩個不同的實數(shù)解,直線與圓相交3.圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系外切相切兩圓有唯一公共點內(nèi)切內(nèi)含相離兩圓沒有公共點外離相交兩圓有兩個不同的公共點4.圓與圓位置關(guān)系的推斷圓與圓的位置關(guān)系的推斷方法有兩種.(1)幾何法:由兩圓的圓心距d與半徑長R,r的關(guān)系來推斷(如下圖,其中).(2)代數(shù)法:設(shè)圓①,圓②,聯(lián)立①②,假如該方程組沒有實數(shù)解,那么兩圓相離;假如該方程組有兩組相同的實數(shù)解,那么兩圓相切;假如該方程組有兩組不同的實數(shù)解,那么兩圓相交.設(shè)圓①,圓②,若兩圓相交,則有一條公共弦,由①?②,得③.方程③表示圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程.1.直線分別與軸,軸交于,兩點,點在圓上,則面積的取值范圍是A. B.C. D.【答案】A【解析】直線分別與軸,軸交于,兩點,,則.點P在圓上,圓心為(2,0),則圓心到直線的距離.故點P到直線的距離的范圍為,則.故答案為A.【名師點睛】本題主要考查直線與圓,考查了點到直線的距離公式,三角形的面積公式,屬于中檔題.先求出A,B兩點坐標得到再計算圓心到直線的距離,得到點P到直線距離的范圍,由面積公式計算即可.2.圓的圓心到直線的距離為1,則a=A. B.C. D.2【答案】A【解析】圓的方程可化為,所以圓心坐標為,由點到直線的距離公式得:,解得,故選A.3.不論為何值,直線恒過定點A. B. C. D.【答案】B【解析】恒過定點,恒過定點,由解得即直線恒過定點.4.已知直線與直線垂直,則A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】直線與直線垂直,,解得或.故選D.【名師點睛】對于直線:和直線:,;.5.圓上的一點到直線的最大距離為A. B. C. D.【答案】D【解析】圓心(2,1)到直線的距離是,所以圓上一點到直線的最大距離為,故選D.【名師點睛】本題主要考查圓上一點到直線距離最值的求法,以及點到直線的距離公式.6.已知圓與圓有3條公切線,則A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】由題意,圓與圓外切,所以,即,解得或.7.已知點,,在圓上運動,且,若點的坐標為,則的最大值為A. B. C. D.【答案】C【解析】為的斜邊,則為圓的一條直徑,故必經(jīng)過原點,則,即,設(shè)點,所以,所以,,其幾何意義為點到圓上的點的距離,所以,,故選C.【名師點睛】本題考查向量模的最值問題,在解決這類問題時,可設(shè)動點的坐標為,借助向量的坐標運算,將所求模轉(zhuǎn)化為兩點的距離,然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解,考查運算求解實力,屬于難題.8.已知直線是圓的對稱軸.過點作圓的一條切線,切點為,則A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的標準方程為,圓心為,半徑長為,易知,圓心在直線上,則,得,,,因此,.故選D.【名師點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查切線長的計算,在求解與圓有關(guān)的問題中,應(yīng)將圓的方程表示成標準形式,確定圓心坐標和半徑長,在計算切線長時,一般利用幾何法,即勾股定理來進行計算,以點到圓心的距離為斜邊、半徑長和切線長為兩直角邊來計算,考查計算實力,屬于中等題.9.已知點,是圓:上隨意一點,若線段的中點的軌跡方程為,則的值為A.1 B.2C.3 D.4【答案】D【解析】設(shè),的中點為,則由中點坐標公式得.因為點在圓上,所以,即.將此方程與方程比較可得,解得.故選D.10.過直線上的點作圓:的兩條切線、,當直線、關(guān)于直線對稱時,A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)可知當時,兩條切線關(guān)于直線對稱,此時即為點到直線的距離,即,應(yīng)選B.【名師點睛】解答本題的難點是如何理解兩條切線關(guān)于直線對稱,從而將問題轉(zhuǎn)化為,最終求得點到直線的距離,即,從而使得問題獲解.11.已知圓的圓心坐標是,半徑長是.若直線與圓C相切于點,則=___________,=___________.【答案】,【解析】由題意可知,把代入直線AC的方程得,此時.【名師點睛】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線的斜率,進一步得到其方程,將代入后求得,計算得解.解答直線與圓的位置關(guān)系問題,往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合,特殊是要留意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì).12.在平面直角坐標系中,經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為__________.【答案】x【解析】設(shè)圓的方程為x2F=01+1+D+E+F=04+0+2D+F=0,解得:D=-2E=0【名師點睛】求圓的方程,主要有兩種方法:(1)幾何法:詳細過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理.如:①圓心在過切點且與切線垂直的直線上;②圓心在隨意弦的中垂線上;③兩圓相切時,切點與兩圓心三點共線.(2)待定系數(shù)法:依據(jù)條件設(shè)出圓的方程,再由題目給出的條件,列出等式,求出相關(guān)量.一般地,與圓心和半徑有關(guān),選擇標準式,否則,選擇一般式.不論是哪種形式,都要確定三個獨立參數(shù),所以應(yīng)當有三個獨立等式.13.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0【答案】2【解析】依據(jù)題意,圓的方程可化為x2所以圓的圓心為(0,-1),且半徑是2,依據(jù)點到直線的距離公式可以求得d=0+1+1結(jié)合圓中的特殊三角形,可知AB=24-2=2【名師點睛】該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長問題,在解題的過程中,嫻熟應(yīng)用圓中的特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形,借助于勾股定理求得結(jié)果.14.若直線l1:x-2y+m=0(m>0)與直線l2:x+ny-3=0之間的距離是【答案】0【解析】∵直線l1:x-2y+m=0(m>0)與直線l2∴n=-2m+35=5則m+n=2-2=0.故答案為0.15.在平面直角坐標系中,點在圓上,若,則點的橫坐標的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè),由,易得,由,可得或,令,則由得P點在圓左邊弧上,結(jié)合限制條件,可得點P橫坐標的取值范圍為.【名師點睛】對于線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標函數(shù)的幾何意義,是求橫坐標或縱坐標、直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等,最終結(jié)合圖形確定目標函數(shù)的最值或取值范圍.16.若雙曲線的漸近線與圓相切,則_________.【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為,即,圓,圓心坐標為,半徑為,由于雙曲線的漸近線與圓相切,則,故答案為.【名師點睛】本題考查雙曲線的漸近線,考查直線與圓的位置關(guān)系,在求解直線與圓相切的問題時,常有以下兩種方法進行轉(zhuǎn)化:(1)幾何法:圓心到直線的距離等于半徑;

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