專題3.7函數的圖象【考綱解讀與核心素養】1.會運用函數圖象理解和探討函數的性質.2．培育學生的數學運算、數據分析、直觀想象等核心數學素養.3.高考預料：（1）函數圖象的辨識（2）函數圖象的變換（3）主要有由函數的性質及解析式選圖；由函數的圖象來探討函數的性質、圖象的變換、數形結合解決不等式、方程等問題．經常與導數結合考查.4.備考重點（1）基本初等函數的圖象（2）兩圖象交點、函數性質、方程解的個數、不等式的解集等方面的應用.【學問清單】1．利用描點法作函數的圖象步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)探討函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其留意特別點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.2．利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換(2)對稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于直線y＝x對稱))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(縱坐標不變),\s\do5(各點橫坐標變為原來的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(橫坐標不變),\s\do5(各點縱坐標變為原來的A（A>0）倍))y＝Af(x).(4)翻轉變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方部分翻折到上方),\s\do5(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側部分翻折到左側),\s\do5(原y軸左側部分去掉，右側不變))y＝f(|x|)的圖象.【典例剖析】高頻考點一：作圖【典例1】（2024·全國高一）已知是定義在上的奇函數，且當時，（1）在給定坐標系下畫出的圖像，并寫出的單調區間.（2）求出的解析式.【答案】（1）圖像見詳解，單調遞減區間為，單調遞增區間為，；（2）【解析】（1）的圖像如圖所示：可得其單調遞減區間為，單調遞增區間為，；（2）當時，，且為奇函數，可得當時，故可得的解析式為：.【典例2】(2024年全國卷Ⅲ理)設函數．（1）畫出的圖象；（2）當，，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）的圖象如圖所示．（2）由（1）知，的圖像與軸交點的縱坐標為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當且僅當且時，在成立，因此的最小值為．【規律方法】函數圖象的畫法(1)干脆法：當函數表達式(或變形后的表達式)是熟識的基本函數時，就可依據這些函數的特征描出圖象的關鍵點干脆作出．(2)轉化法：含有肯定值符號的函數，可去掉肯定值符號，轉化為分段函數來畫圖象．【變式探究】1.對、，記，函數．（1）求，．（2）寫出函數的解析式，并作出圖像．（3）若關于的方程有且僅有個不等的解，求實數的取值范圍．（只需寫出結論）【答案】見解析．【解析】解：（1）∵，函數，∴，．（2）（3）或．2.（2024·全國高一）在學習函數時，我們經驗了“確定函數的表達式利用函數圖象探討其性質——運用函數解決問題“的學習過程，在畫函數圖象時，我們通過列表、描點、連線的方法畫出了所學的函數圖象．同時，我們也學習過肯定值的意義．結合上面經驗的學習過程，現在來解決下面的問題：在函數中，當時，；當時，．（1）求這個函數的表達式；（2）在給出的平面直角坐標系中，請干脆畫出此函數的圖象并寫出這個函數的兩條性質；（3）在圖中作出函數的圖象，結合你所畫的函數圖象，干脆寫出不等式的解集．【答案】（1）；（2）圖象、性質見解析；（3）．【解析】（1）將點、的坐標代入函數的解析式，得，解得,所以，函數的解析式為；（2）圖象如下：函數的圖象關于直線對稱，該函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，最小值為；（3）圖象如下，視察圖象可得不等式的解集為：．【典例3】畫出下列函數的圖象，并說明它們是由函數f(x)＝2x的圖象經過怎樣的變換得到的.(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.【答案】見解析【解析】如圖所示．(1)y＝2x－1的圖象是由y＝2x的圖象向右平移1個單位得到的；(2)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個單位得到的；(3)y＝－2x的圖象與y＝2x的圖象關于x軸對稱；(4)y＝2|x|的圖象是由y＝2x的y軸右邊的圖象和其關于y軸對稱的圖象組成的；(5)y＝|2x－1|的圖象是由y＝2x的圖象向下平移1個單位，然后將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方得到的；(6)y＝－2－x的圖象與y＝2x的圖象關于原點對稱．【典例4】分別畫出下列函數的圖象：【答案】見解析【解析】(1)首先作出y＝lgx的圖象C1，然后將C1向右平移1個單位，得到y＝lg(x－1)的圖象C2，再把C2在x軸下方的圖象作關于x軸對稱的圖象，即為所求圖象C3：y＝|lg(x－1)|.如圖1所示(實線部分).(2)y＝2x＋1－1的圖象可由y＝2x的圖象向左平移1個單位，得y＝2x＋1的圖象，再向下平移一個單位得到，如圖2所示.(3)第一步作y＝lgx的圖像．其次步將y＝lgx的圖像沿y軸對折后與原圖像，同為y＝lg|x|的圖像．第三步將y＝lg|x|的圖像向右平移一個單位，得y＝lg|x－1|的圖像第四步將y＝lg|x－1|的圖像在x軸下方部分沿x軸向上翻折，得的圖像，如圖3．【規律方法】1．平移變換當m>0時，y＝f(x－m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向右平移m個單位得到；y＝f(x＋m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向左平移m個單位得到；y＝f(x)＋m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向上平移m個單位得到；y＝f(x)－m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向下平移m個單位得到．2．對稱(翻折)變換y＝f(|x|)的圖象可以將y＝f(x)的圖象位于y軸右側和y軸上的部分不變，原y軸左側部分去掉，畫出y軸右側部分關于y軸對稱的圖形而得到．y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象位于y軸上方的部分不變，而將位于y軸下方的部分翻折到y軸上方得到．y＝－f(x)的圖象可將y＝f(x)的圖象關于x軸對稱而得到．y＝f(－x)的圖象可由y＝f(x)的圖象關于y軸對稱得到．【變式探究】1.（2024·上海高一課時練習）函數的圖象可由的圖象經過下列怎樣的變換得到()A．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位B．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位C．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位D．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位【答案】B【解析】的圖象先向左平移2個單位，得到的圖像；再向下平移1個單位得到的圖像.故選：B.2．（2024·上海高一課時練習）已知的圖像如圖①，則的圖像是_________；的圖像是_________；的圖像是_________；的圖像是________．【答案】④③⑤②【解析】因為的圖像與的圖像關于軸對稱，故的圖像是④因為的圖像與的圖像關于軸對稱，故的圖像是③當時，的圖像與的圖像相同，然后是偶函數，故的圖像是⑤保留圖像在軸上方的部分，將軸下方的部分翻折到軸上方，得到的圖像就是的圖像故的圖像是②故答案為：④，③，⑤，②高頻考點二：識圖【典例5】（2014·浙江高考真題（理））在同始終角坐標系中，函數的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數，與，答案A沒有冪函數圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【典例6】（2024·全國高考真題（理））函數在的圖像大致為A． B．C． D．【答案】B【解析】設，則，所以是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，解除選項C．又解除選項D；，解除選項A，故選B．【典例7】（2024年浙江卷）函數y=sin2x的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【總結提升】識圖的三種常用方法1．抓住函數的性質，定性分析：（1）由函數的定義域，推斷圖象的左、右位置，由函數的值域，推斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，推斷圖象的改變趨勢；（3）由函數的奇偶性，推斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，推斷圖象的循環往復．2．抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特別值的計算分析解決問題．3．依據實際背景、圖形推斷函數圖象的方法：(1)依據題目所給條件確定函數解析式，從而推斷函數圖象(定量分析)；(2)依據自變量取不同值時函數值的改變、增減速度等推斷函數圖象(定性分析)．【變式探究】1.（2024·莆田第九中學高三高考模擬（文））函數(且)與函數的圖像關于直線對稱，則函數與二次函數在同一坐標系內的圖像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數(且)與函數的圖像關于直線對稱，所以，在選項A中，對數函數的圖像單調遞增，所以a>1,所以a-1>0,所以二次函數的拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為所以選項A是正確的，故答案為：A.2.（2024·山東濟南外國語學校高考模擬（文））若函數在R上為減函數，則函數的圖象可以是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上為減函數，故0＜a＜1．函數y＝loga（|x|﹣1）是偶函數，定義域為x＞1或x＜﹣1，函數y＝loga（|x|﹣1）的圖象，x＞1時是把函數y＝logax的圖象向右平移1個單位得到的，故選：D．3.（2010·山東省高考真題（文））函數的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為2、4是函數的零點，所以解除B、C；因為時，所以解除D,故選A高頻考點三：用圖【典例8】（山東省2024年一般高校招生（春季））奇函數的局部圖像如圖所示，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為奇函數，所以,因為>0>，所以,即，選A.【典例9】（2024·北京高三高考模擬（文））當x∈[0，1]時，下列關于函數y=的圖象與的圖象交點個數說法正確的是（）A．當時，有兩個交點 B．當時，沒有交點C．當時，有且只有一個交點 D．當時，有兩個交點【答案】B【解析】設f（x）=，g（x）=，其中x∈[0，1]A．若m=0，則與在[0，1]上只有一個交點，故A錯誤．B．當m∈（1，2）時，即當m∈（1，2]時，函數y=的圖象與的圖象在x∈[0，1]無交點，故B正確，C．當m∈（2，3]時，，當時，此時無交點，即C不肯定正確．D．當m∈（3，+∞）時，g（0）=＞1，此時f（1）＞g（1），此時兩個函數圖象只有一個交點，故D錯誤，故選：B．【典例10】（2024·北京高考模擬（理））已知函數f（x）=2x（x＜0）與g（x）=ln（x+a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在同始終角坐標系中作出函數f（x）=2x（x＜0）與g（x）=ln（x+a）的圖象，當y=lnx向左平移a（a＞0）個單位長度，恰好過（0，1）時，函數f（x）與g（x）就不存在關于y軸對稱的點，所以0＜a＜e，當y=lnx向右平移（a＜0）個單位長度，函數f（x）與g（x）總存在關于y軸對稱的點，當a=0時，明顯滿意題意，綜上：a＜e，故選：B．【典例11】（2024·全國高三其他（文））已知函數在區間的值域為，則（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】在上為奇函數，圖象關于原點對稱，是將上述函數圖象向右平移2個單位，并向上平移3個單位得到，所以圖象關于對稱，則，故選.【總結提升】函數圖象應用的常見題型與求解策略【變式探究】1.（2024·陜西高考模擬（理））已知函數，若且，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），則b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a．則2a+b，當且僅當b時取等號．滿意b＞2，故選：A．2.（2024·四川高三高考模擬（理））已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則方程的全部解的和為（）A． B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】∵是定義在R上的奇函數，且當時，∴當時，則即則作出的圖象如圖：∵的圖象與的圖象關于對稱∴作