二次函數與最值的六種考法-重難點題型【知識點1定軸定區間】對于二次函數在上的最值問題（其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自變量x為全體實數，如圖①，函數在時，取到最小值，無最大值．（2）若，如圖②，當，；當，．（3）若，如圖③，當，；當，．（4）若，，如圖④，當，；當，．【知識點2動軸或動區間】對于二次函數，在（m，n為參數）條件下，函數的最值需要分別討論m，n與的大小．【題型1二次函數中的定軸定區間求最值】【例1】（甌海區月考）已知二次函數y＝﹣x2+2x+4，關于該函數在﹣2≤x≤2的取值范圍內，下列說法正確的是（）A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4 C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4【變式1-1】（龍沙區期中）當﹣1≤x≤3時，二次函數y＝x2﹣3x+m最大值為5，則m＝．【變式1-2】（哈爾濱模擬）已知二次函數y＝x2﹣4x+3，當自變量滿足﹣1≤x≤3時，y的最大值為a，最小值為b，則a﹣b的值為．【變式1-3】（番禺區校級期中）若函數y＝x2﹣6x+5，當2≤x≤6時的最大值是M，最小值是m，則M﹣m＝．【題型2二次函數中的動軸定區間求最值】【例2】（雁塔區校級模擬）已知二次函數y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2時有最小值﹣2，則m＝（）A．3 B．﹣3或38 C．3或?38【變式2-1】（甌海區模擬）已知二次函數y＝ax2﹣4ax﹣1，當x≤1時，y隨x的增大而增大，且﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．1 B．34 C．?35【變式2-2】（章丘區模擬）已知二次函數y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自變量），當x≥2時，y隨x的增大而減小，且﹣2≤x≤1時，y的最小值為15，則a的值為（）A．1或﹣2 B．?2或2 C．﹣2 【變式2-3】（濱江區三模）已知二次函數y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），當1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，則A．4 B．6 C．8 D．49【題型3二次函數中的定軸動區間求最值】【例3】（馬鞍山期末）當a﹣1≤x≤a時，函數y＝x2﹣2x+1的最小值為1，則a的值為．【變式3-1】（濟南模擬）函數y＝﹣x2+4x﹣3，當﹣1≤x≤m時，此函數的最小值為﹣8，最大值為1，則m的取值范圍是（）A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5【變式3-2】（寧波模擬）若二次函數y＝ax2﹣x+2的圖象經過點（2，﹣1），當t≤x≤2時，y有最大值3，最小值﹣1，則t的取值范圍應是（）A．﹣6≤t≤2 B．t≤﹣2 C．﹣6≤t≤﹣2 D．﹣2≤t≤2【變式3-3】（萊蕪區二模）已知二次函數y＝（x+1）2﹣4，當a≤x≤b且ab＜0時，y的最小值為2a，最大值為2b，則a+b的值為（）A．23 B．?72 C．3?【題型4二次函數中求線段最值】【例4】（海淀區校級期末）如圖，拋物線y＝x2+5x+4與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接AC，點P在線段AC上，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，則線段PQ長的最大值為．【變式4-1】（鎮平縣期末）如圖，直線y=?34x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=?38x2+34x+3經過B，C兩點，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，過點E作y軸的平行線交直線BC【變式4-2】（埇橋區模擬）對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝x2+bx+c，與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．（1）求點B的坐標．（2）點C是拋物線與y軸的交點，點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．【變式4-3】（濱海新區期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+52與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）若點M是拋物線的頂點，連接AM，CM，求△ACM的面積；（Ⅲ）若點P是拋物線上的一動點，過點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為點F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．【題型5二次函數中求線段和最值】【例5】（安居區期末）如圖，在拋物線y＝﹣x2上有A，B兩點，其橫坐標分別為1，2，在y軸上有一動點C，當BC+AC最小時，則點C的坐標是（）A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）【變式5-1】（鐵嶺模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+px+q的對稱軸為x＝﹣3，過其頂點M的一條直線y＝kx+b與該拋物線的另一個交點為N（﹣1，1）．要在坐標軸上找一點P，使得△PMN的周長最小，則點P的坐標為（）A．（0，2） B．（43，0）C．（0，2）或（43，0） 【變式5-2】（包頭）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C，點D（4，y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當BE+DE的值最小時，△ACE的面積為．【變式5-3】（涪城區模擬）如圖，拋物線y=53x2?203x+5與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C，在其對稱軸上有一動點M，連接MA、MC、AC，則當△MAC的周長最小時，點M的坐標是【題型6二次函數中求面積最值】【例6】（鹽城期末）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線l交拋物線于點C（2，m），點P是線段AC上一個動點，過點P做x軸的垂線交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當P在何處時，△ACE面積最大．【變式6-1】（金塔縣月考）如圖，已知拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三點．（1）求該拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大，若存在，求出點D的坐標及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由．【變式6-2】（無為市月考）如圖，直線y＝﹣x+n與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B．（1）求拋物線的解析式．（2）若P為直線AB上方的拋物線上一點，且點P的橫坐標為m，求四邊形BCAP的面積S關于點P橫坐標m的函數解析式，并求S的最大值．【變式6-3】（無棣縣月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．（1）求二次函數解析式；（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP'C．是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

二次函數與最值的六種考法-重難點題型（解析版）【知識點1定軸定區間】對于二次函數在上的最值問題（其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自變量x為全體實數，如圖①，函數在時，取到最小值，無最大值．（2）若，如圖②，當，；當，．（3）若，如圖③，當，；當，．（4）若，，如圖④，當，；當，．【知識點2動軸或動區間】對于二次函數，在（m，n為參數）條件下，函數的最值需要分別討論m，n與的大小．【題型1二次函數中的定軸定區間求最值】【例1】（甌海區月考）已知二次函數y＝﹣x2+2x+4，關于該函數在﹣2≤x≤2的取值范圍內，下列說法正確的是（）A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4 C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4【解題思路】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以得到該函數的對稱軸和開口方向，然后根據﹣2≤x≤2，即可得到相應的最大值和最小值，從而可以解答本題．【解答過程】解：∵二次函數y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴該函數的對稱軸是直線x＝1，函數圖象開口向下，∴當﹣2≤x≤2時，x＝1時取得最大值5，當x＝﹣2時，取得最小值﹣4，故選：D．【變式1-1】（龍沙區期中）當﹣1≤x≤3時，二次函數y＝x2﹣3x+m最大值為5，則m＝．【解題思路】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以求得m的值，本題得以解決．【解答過程】解：∵二次函數y＝x2﹣3x+m＝（x?32）2+m∴該函數開口向上，對稱軸為x=3∵當﹣1≤x≤3時，二次函數y＝x2﹣3x+m最大值為5，∴當x＝﹣1時，該函數取得最大值，此時5＝1+3+m，解得m＝1，故答案為：1．【變式1-2】（哈爾濱模擬）已知二次函數y＝x2﹣4x+3，當自變量滿足﹣1≤x≤3時，y的最大值為a，最小值為b，則a﹣b的值為．【解題思路】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以得到自變量滿足﹣1≤x≤3時，x＝﹣1時取得最大值，x＝2時取得最小值，然后即可得到a、b的值，從而可以求得a﹣b的值，本題得以解決．【解答過程】解：∵二次函數y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴該函數圖象開口向上，對稱軸為直線x＝2，∵當自變量滿足﹣1≤x≤3時，y的最大值為a，最小值為b，∴當x＝﹣1時，取得最大值，當x＝2時，函數取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案為：9．【變式1-3】（番禺區校級期中）若函數y＝x2﹣6x+5，當2≤x≤6時的最大值是M，最小值是m，則M﹣m＝．【解題思路】根據題意畫出函數圖象，即可由此找到m和M的值，從而求出M﹣m的值．【解答過程】解：原式可化為y＝（x﹣3）2﹣4，可知函數頂點坐標為（3，﹣4），當y＝0時，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如圖：m＝﹣4，當x＝6時，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．則M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案為9．【題型2二次函數中的動軸定區間求最值】【例2】（雁塔區校級模擬）已知二次函數y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2時有最小值﹣2，則m＝（）A．3 B．﹣3或38 C．3或?38【解題思路】先求出對稱軸為x＝﹣1，分m＞0，m＜0兩種情況討論解答即可求得m的值．【解答過程】解：∵二次函數y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴對稱軸為直線x＝﹣1，①m＞0，拋物線開口向上，x＝﹣1時，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，拋物線開口向下，∵對稱軸為直線x＝﹣1，在﹣2≤x≤2時有最小值﹣2，∴x＝2時，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m=?3故選：C．【變式2-1】（甌海區模擬）已知二次函數y＝ax2﹣4ax﹣1，當x≤1時，y隨x的增大而增大，且﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．1 B．34 C．?35【解題思路】根據二次函數y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到該函數的對稱軸，再根據當x≤1時，y隨x的增大而增大，可以得到a的正負情況，然后根據﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，即可得到a的值．【解答過程】解：∵二次函數y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴該函數的對稱軸是直線x＝2，又∵當x≤1時，y隨x的增大而增大，∴a＜0，∵當﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，∴x＝6時，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，解得a=?1故選：D．【變式2-2】（章丘區模擬）已知二次函數y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自變量），當x≥2時，y隨x的增大而減小，且﹣2≤x≤1時，y的最小值為15，則a的值為（）A．1或﹣2 B．?2或2 C．﹣2 【解題思路】先求出二次函數的對稱軸，再根據二次函數的增減性得出拋物線開口向下a＜0，然后由﹣2≤x≤1時，y的最小值為15，可得x＝1時，y＝15，即可求出a．【解答過程】解：∵二次函數y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自變量），∴對稱軸是直線x=?4a∵當x≥2時，y隨x的增大而減小，∴a＜0，∵﹣2≤x≤1時，y的最小值為15，∴x＝1時，y＝2a+4a+6a2+3＝15，∴6a2+6a﹣12＝0，∴a2+a﹣2＝0，∴a＝1（不合題意舍去）或a＝﹣2．故選：C．【變式2-3】（濱江區三模）已知二次函數y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），當1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，則A．4 B．6 C．8 D．49【解題思路】由二次函數解析式求出對稱軸直線方程，分類討論拋物線開口向下及開口向上的m，n的取值范圍，將mn轉化為含一個未知數的整式求最值．【解答過程】解：拋物線y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1的對稱軸為直線x①當m＞1時，拋物線開口向上，∵1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，∴6?nm?1≥2，即2m+解得n≤8﹣2m，∴mn≤m（8﹣2m），m（8﹣2m）＝﹣2（m﹣2）2+8，∴mn≤8．②當0≤m＜1時，拋物線開口向下，∵1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，∴6?nm?1≤1，即m+解得m≤7﹣n，∴mn≤n（7﹣n），n（7﹣n）＝﹣（n?72）2∴mn≤49∵0≤m＜1，∴此情況不存在．綜上所述，mn最大值為8．故選：C．【題型3二次函數中的定軸動區間求最值】【例3】（馬鞍山期末）當a﹣1≤x≤a時，函數y＝x2﹣2x+1的最小值為1，則a的值為．【解題思路】利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當y＝1時x的值，結合當a﹣1≤x≤a時函數有最小值1，即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答過程】解：當y＝1時，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵當a﹣1≤x≤a時，函數有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案為：0或3．【變式3-1】（濟南模擬）函數y＝﹣x2+4x﹣3，當﹣1≤x≤m時，此函數的最小值為﹣8，最大值為1，則m的取值范圍是（）A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5【解題思路】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以求得m的取值范圍．【解答過程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴該函數圖象開口向下，對稱軸是直線x＝2，頂點坐標為（2，1），∴x＝﹣1和x＝5對應的函數值相等，∵當﹣1≤x≤m時，此函數的最小值為﹣8，最大值為1，當x＝﹣1時，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故選：D．【變式3-2】（寧波模擬）若二次函數y＝ax2﹣x+2的圖象經過點（2，﹣1），當t≤x≤2時，y有最大值3，最小值﹣1，則t的取值范圍應是（）A．﹣6≤t≤2 B．t≤﹣2 C．﹣6≤t≤﹣2 D．﹣2≤t≤2【解題思路】根據二次函數y＝ax2﹣x+2的圖象經過點（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到該函數的解析式，再根據二次函數的性質和當t≤x≤2時，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范圍．【解答過程】解：∵二次函數y＝ax2﹣x+2的圖象經過點（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=?1∴y=?14x2﹣x+2=?14（∴該函數的圖象開口向下，對稱軸是直線x＝﹣2，當x＝﹣2時，該函數取得最大值3，∵當t≤x≤2時，y有最大值3，最小值﹣1，當x＝2時，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故選：C．【變式3-3】（萊蕪區二模）已知二次函數y＝（x+1）2﹣4，當a≤x≤b且ab＜0時，y的最小值為2a，最大值為2b，則a+b的值為（）A．23 B．?72 C．3?【解題思路】根據a的取值范圍分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三種情況討論，求出滿足題目條件的情況即可．【解答過程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b異號，∴a＜0，b＞0，由二次函數的對稱性，b關于對稱軸的對稱點為﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，則（a+1）2﹣4＝2a，解得a=?3若﹣b﹣2≤a＜﹣1，則﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=3∴a+b=3若a＜﹣b﹣2，則2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=?3故選：C．【題型4二次函數中求線段最值】【例4】（海淀區校級期末）如圖，拋物線y＝x2+5x+4與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接AC，點P在線段AC上，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，則線段PQ長的最大值為．【解題思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再確定C（0，4），則可利用待定系數法求出直線AC的解析式為y＝x+4，設P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函數的性質解決問題．【解答過程】解：當y＝0時，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，則A（﹣4，0），B（﹣1，0），當x＝0時，y＝x2+5x+4＝4，則C（0，4），設直線AC的解析式為y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得?4k+b=0b=4，解得k=1∴直線AC的解析式為y＝x+4，設P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），則Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴當t＝﹣2時，PQ有最大值，最大值為4．故答案為4．【變式4-1】（鎮平縣期末）如圖，直線y=?34x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=?38x2+34x+3經過B，C兩點，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，過點E作y軸的平行線交直線BC【解題思路】設出E的坐標，表示出M坐標，進而表示出EM，化成頂點式即可求得EM的最大值．【解答過程】解：∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，∴點E的坐標是（m，?38m2+34m+3），點M的坐標是（m∴EM=?38m2+34m+3﹣（?34m+3）=?38m2+32m=?38（∴當m＝2時，EM有最大值為32故答案為32【變式4-2】（埇橋區模擬）對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝x2+bx+c，與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．（1）求點B的坐標．（2）點C是拋物線與y軸的交點，點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．【解題思路】（1）利用二次函數對稱性即可得出B點坐標；（2）首先利用待定系數法求二次函數解析式，進而求出直線AC的解析式，再利用QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）進而求出最值．【解答過程】解：（1）∵點A（﹣3，0）與點B關于直線x＝﹣1對稱，∴點B的坐標為（1，0）．（2）∵a＝1，∴y＝x2+bx+c．∵拋物線過點（﹣3，0），且對稱軸為直線x＝﹣1，∴9?3b+c=0∴解得：b=2c=?3∴y＝x2+2x﹣3，且點C的坐標為（0，﹣3）．設直線AC的解析式為y＝mx+n，則?3m+n=0n=?3解得：m=?1n=?3∴y＝﹣x﹣3如圖，設點Q的坐標為（x．y），﹣3≤x≤0．則有QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）∵﹣3≤?32≤0，∴當x=?32∴線段QD長度的最大值為94【變式4-3】（濱海新區期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+52與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）若點M是拋物線的頂點，連接AM，CM，求△ACM的面積；（Ⅲ）若點P是拋物線上的一動點，過點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為點F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．【解題思路】（Ⅰ）用待定系數法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面積＝S△MHC+S△MHA=12×MH（Ⅲ）點D在直線AC上，設點D（m，?12m+52），由題意得，四邊形OEDF為矩形，故EF＝OD，即當線段【解答過程】解：（Ⅰ）令x＝0，則y=52，即C（0，設拋物線的表達式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），將點C的坐標代入上式得：52=解得a=?1故拋物線的表達式為y=?12（x﹣5）（x+1）=?12x2（Ⅱ）由拋物線的表達式得頂點M（2，92過點M作MH∥y軸交AC于點H，設直線AC的表達式為y＝kx+t，則t=5解得k=?1故直線AC的表達式為y=?12x當x＝2時，y=32，則MH則△AMC的面積＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA=（Ⅲ）點D在直線AC上，設點D（m，?12m由題意得，四邊形OEDF為矩形，故EF＝OD，即當線段EF的長度最短時，只需要OD最短即可，則EF2＝OD2＝m2+（?12m+52）2=54∵54＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此時故點D（1，2），∵點P、D的縱坐標相同，故2=?12x2+2x+52，解得故點P的坐標為（2+5，2）或（2?【題型5二次函數中求線段和最值】【例5】（安居區期末）如圖，在拋物線y＝﹣x2上有A，B兩點，其橫坐標分別為1，2，在y軸上有一動點C，當BC+AC最小時，則點C的坐標是（）A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）【解題思路】利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，作點B關于y軸的對稱點B′，連接AB′交y軸于點C，此時BC+AC最小，由點B的坐標可得出點B′的坐標，由點A，B′的坐標，利用待定系數法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征，即可求出點C的坐標．【解答過程】解：當x＝1時，y＝﹣12＝﹣1，∴點A的坐標為（1，﹣1）；當x＝2時，y＝﹣22＝﹣4，∴點B的坐標為（2，﹣4）．作點B關于y軸的對稱點B′，連接AB′交y軸于點C，此時BC+AC最小，如圖所示．∵點B的坐標為（2，﹣4），∴點B′的坐標為（﹣2，﹣4）．設直線AB′的解析式為y＝kx+b（k≠0），將A（1，﹣1），B（﹣2，﹣4）代入y＝kx+b得：k+b=?1?2k+b=?4解得：k=1b=?2∴直線AB′的解析式為y＝x﹣2．當x＝0時，y＝0﹣2＝﹣2，∴點C的坐標為（0，﹣2），∴當BC+AC最小時，點C的坐標是（0，﹣2）．故選：D．【變式5-1】（鐵嶺模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+px+q的對稱軸為x＝﹣3，過其頂點M的一條直線y＝kx+b與該拋物線的另一個交點為N（﹣1，1）．要在坐標軸上找一點P，使得△PMN的周長最小，則點P的坐標為（）A．（0，2） B．（43，0）C．（0，2）或（43，0） 【解題思路】首先，求得拋物線的解析式，根據拋物線解析式求得M的坐標；欲使△PMN的周長最小，MN的長度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．然后，過點M作關于y軸對稱的點M′，連接M′N，M′N與y軸的交點即為所求的點P（如圖1）；過點M作關于x軸對稱的點M′，連接M′N，則只需M′N與x軸的交點即為所求的點P（如圖2）．【解答過程】解：如圖，∵拋物線y＝﹣x2+px+q的對稱軸為x＝﹣3，點N（﹣1，1）是拋物線上的一點，∴?p解得p=?6q=?4∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，∴M（﹣3，5）．∵△PMN的周長＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．如圖1，過點M作關于y軸對稱的點M′，連接M′N，M′N與y軸的交點即為所求的點P．則M′（3，5）．設直線M′N的解析式為：y＝ax+t（a≠0），則5=3a+t1=?a+t解得a=1t=2故該直線的解析式為y＝x+2．當x＝0時，y＝2，即P（0，2）．同理，如圖2，過點M作關于x軸對稱的點M′，連接M′N，則只需M′N與x軸的交點即為所求的點P（?4如果點P在y軸上，則三角形PMN的周長=42+MN；如果點P在x軸上，則三角形PMN的周長所以點P在（0，2）時，三角形PMN的周長最小．綜上所述，符合條件的點P的坐標是（0，2）．故選：A．【變式5-2】（包頭）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C，點D（4，y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當BE+DE的值最小時，△ACE的面積為．【解題思路】解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），則拋物線的對稱軸為直線x＝1，再確定C（0，﹣3），D（4，5），連接AD交直線x＝1于E，交y軸于F點，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時BE+DE的值最小，接著利用待定系數法求出直線AD的解析式為y＝x+1，則F（0，1），然后根據三角形面積公式計算．【解答過程】解：當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則A（﹣1，0），B（3，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，當x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，則C（0，﹣3），當x＝4時，y＝x2﹣2x﹣3＝5，則D（4，5），連接AD交直線x＝1于E，交y軸于F點，如圖，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此時BE+DE的值最小，設直線AD的解析式為y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（4，5）代入得?k+b=04k+b=5，解得k=1∴直線AD的解析式為y＝x+1，當x＝1時，y＝x+1＝2，則E（1，2），當x＝0時，y＝x+1＝1，則F（0，1），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF=12×故答案為4．【變式5-3】（涪城區模擬）如圖，拋物線y=53x2?203x+5與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C，在其對稱軸上有一動點M，連接MA、MC、AC，則當△MAC的周長最小時，點M的坐標是【解題思路】點A關于函數對稱軸的對稱點為點B，連接CB交函數對稱軸于點M，則點M為所求點，即可求解．【解答過程】解：點A關于函數對稱軸的對稱點為點B，連接CB交函數對稱軸于點M，則點M為所求點，理由：連接AC，由點的對稱性知，MA＝MB，△MAC的周長＝AC+MA+MC＝AC+MB+MC＝CA+BC為最小，令y=53x2?203x+5＝0，解得x＝1或3，令故點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（3，0）、（0，5），則函數的對稱軸為x=1設直線BC的表達式為y＝kx+b，則0=3k+bb=5，解得k=?故直線BC的表達式為y=?53當x＝2時，y=?53x+5故點M的坐標為（2，53【題型6二次函數中求面積最值】【例6】（鹽城期末）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線l交拋物線于點C（2，m），點P是線段AC上一個動點，過點P做x軸的垂線交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當P在何處時，△ACE面積最大．【解題思路】（1）利用交點式寫出拋物線解析式；（2）先利用二次函數解析式確定C（2，﹣3），再利用待定系數法求出直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，設E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），則P（t，﹣t﹣1），利用三角形面積公式得到△ACE的面積=12×（2+1）×PE=32（﹣【解答過程】解：（1）拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）把C（2，m）代入y＝x2﹣2x﹣3得m＝4﹣4﹣3＝﹣3，則C（2，﹣3），設直線AC的解析式為y＝mx+n，把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得?m+n=02m+n=?3，解得m=?1∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1；設E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），則P（t，﹣t﹣1），∴PE＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+2，∴△ACE的面積=12=32（﹣t2+=?32（t?12當t=12時，△ACE的面積有最大值，最大值為278，此時P點坐標為（1【變式6-1】（金塔縣月考）如圖，已知拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三點．（1）求該拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大，若存在，求出點D的坐標及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）根據題意設出拋物線的交點式，用待定系數法求解即可；（2）根據題意作出相關輔助線，用待定系數法求得直線AC解析式為y=12x﹣2，因為點D在拋物線上，所以可設其坐標為（x，?12x2+52x﹣2），點E在直線AC上則設點E坐標為（x，12x﹣2），由圖形可知S△DCA＝S△DCE【解答過程】（1）設該拋物線解析式為y＝a（x﹣4）（x﹣1），將點C（0，﹣2）坐標代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=?1∴y=?12（x﹣4）（x﹣1）=?12x故該拋物線的解析式為：y=?12x2+（2）如圖，設存在點D在拋物線上，連接AD、CD，過點D作DE⊥x軸且與直線AC交于點E，設直線AC表達式為：y＝kx+b（k≠0），將A（4，0），C（0，﹣2）代入其表達式得：0=4k+b?2=b，解得k=∴直線AC：y=12設點D坐標為（x，?12x2+52x﹣2），則點E坐標為（xS△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×xE+12×DE×（xA﹣xE）=12×∵DE＝（?12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=?∴S△DCA＝2DE＝2×（?12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）∴當x＝2時，y=?12x2+52此時△DCA的面積最大，最大值為4．【變式6-2】（無為市月考）如圖，直線y＝﹣x+n與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B．（1）求拋物線的解析式．（2）若P為直線AB上方的拋物線上一點，且點P的橫坐標為m，求四邊形BCAP的面積S關于點P橫坐標m的函數解析式，并求S的最大值．【解題思路】（1）將點A坐標代入直線解析式可求n的值，可求點B坐標，利用待定系數法可求解；（2）過點P做PE⊥x軸于點E，與直線AB交