2023耳中考敏老總復習一裕耕依惻（）

第一單克極易式

考版02卷式的運算房出式名、解（釬秣）

廠一復習目標

熱身練習

__________________________/--，---------------------

整式的運算與因式分解］I基礎梳理

考點一整式及其加減運算

［考點二、鬲的運算

------------考點三、整式的乘除及化簡求值

深度講練考點四、乘法公式及應用

［考點五、因式分解

考點六、數字與圖形的變化規律

0

1、能并用代數式表示，會求代數式的值；能根據特定問題找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算.

2、掌握同類項及合并同類項的概念，并能熟練進行合并；掌握同類項的有關應用.

3、掌握去括號與添括號法則，充分注意變號法則的應用；會用整式的加減運算法則，熟練進行整式的化簡

及求值.

4、同底數幕的乘法運算性質的過程，感受早的意義，發展推理能力和表達能力，提高計算能力.

5、了解整式乘法的有關法則，會進行簡單的整式加、減、乘、除運算以及化簡求值問題.

6、會推導平方差公式和完全平方公式，會進行簡單的計算；會用提公因式法、公式法進行因式分解.

7.會用提取公因式法、公式法（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數是正整數）.

1.（2022?嘉興）計算/.0=（）

A.aB.3aC.2a2D.a3

【分析】根據同底數幕相乘，底數不變，指數相加，即可解決問題.

【解答】解：原式=/2=/.

故選：D.

2.(2022?臺州)下列運算正確的是()

A.a1-a3=a5B.(a2)3=a,C.(a2b)3-a2b3D.a6-i-a3=a2

【分析】根據同底數的幕的乘除，幕的乘方與積的乘方法則逐項判斷.

【解答】解：a2-a3=a5,故/正確，符合題意；

(。2)3=/,故8錯誤，不符合題意；

(a26)3=a6b3,故C錯誤，不符合題意；

a6^a3=a3,故D錯誤，不符合題意；

故選：A.

3.(2022春?余杭區期中)已知9,=25〉=15,那么代數式(x-l)(y-l)+孫+3的值是()

A.4B.3C.2D.1

【分析】先關鍵已知條件得到x+y=2xy,在整體代入到整理后的代數式即可.

【解答】解：；9'=25y=15,

9xy=15v,25砂=153

.?.15X+〉=(9X25甲=(3x5)2力

:.x+y=2xy,

(x-l)(j-l)+xy+3

=xy-{x+y')+\+xy+3

=2xy-(x+y)+4

=4.

故選：A.

4.(2022?金華模擬)把一根起點為0的數軸彎折成如圖所示的樣子，虛線最下面第1個數字是0,往上第

2個數字是6,第3個數字是21,…，則第10個數字是()

012345

A.378B.372C.482D.389

【分析】觀察根據排列的規律得到第1個數字為0,第2個數字為0加6個數即為6,第3個數字為從6開

始加15個數得到21,第4個數字為從21開始加24個數即45,…，由此得到后面加的數比前一個加的數

多9,由止匕得至U第"個數字為0+6+(6+9xl)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(〃-2)](〃>2),

然后得到結論.

【解答】解：???第1個數字為0,

第2個數字為0+6=6,

第3個數字為0+6+15=21=0+6+(6+9x1)

第4個數字為0+6+15+24=45=0+6+(6+9*1)+(6+9*2),

第5個數字為0+6+15+24+33=78=0+6+(6+9xl)+(6+9x2)+(6+9x3),......,

第"個數字數字為0+6+(6+9x1)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(〃_2)](〃>2),

.,.第10個數字數字為0+6+(6+9x1)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(10-2)]=378,

故選：A.

5.(2021?勤州區模擬)如圖，在矩形/BCD中，將兩種直角邊長分別為。和6(。>6)的等腰直角三角形按

設圖1,圖2兩種方式放置(圖1,圖2中兩張等腰直角三角形紙片均有重疊部分)，矩形未被這兩張等腰

直角三角形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1陰影部分的面積為圖2中陰影部分的面積為邑.當

AD=S,NB=10時，百-邑的值為()

圖1圖2

A.a+b—9B.a+b—7C.a+b—6D.a+b—5

【分析】延長尸G交/。于點E,過G作GHLND于“，延長/K交CD于點N,過K作KCCD于Z,

先根據題意表示出M、GH、MN和KZ的長度，進而表示出岳和邑，再計算月-邑即可得出答案.

【解答】解：如圖，延長PG交/D于點￡,過G作GHLND于〃，延長瓜交CO于點N,過K作KZJ.CD

于￡,

■■■ADQF=ZDFQ=ZAEP=NAPE=45°,

AGEb為等腰直角三角形，

???GHLAD,

EH=HF=GH,

■：AD=8,AS=10,

:.EF=a+b-8,GH=^(a+b-8),

同理：MN=a+b-lO,KL=^(a+b-lQ),

,22

.?..S1=8xl0-1a-1z7+i-(a+/7-8)xi-(a+/)-8)

=80--a2--b2+-(a+b-^2,

224

22

S2=8x10-1a-1z>+1(t7+Z>-10)xl(a+Z)-10)

=80-：/一;/+；(a+6—10)2,

：.s{-s2

=80--a2--Z>2+-(a+/>-8)2-[80--a2--^2+H：a+Z7-10)2]

224224

=80一家-；62+3+6-8)2-80+好+32-卜+6-10)2

1,1,

=-(a+&-8)2--(a+Z7-10)2

44

=-[(a+/)-8)+(a+/>-10)][(a+Z)-8)-(a+/>-10)]

4

=；(2a+26-18)x2

=；x2(a+b-9)x2

=a+Z?—9，

故選：A.

6.(2022?富陽區二模)計算4q+2a-3a的結果等于_3Q_.

【分析】根據合并同類項的法則計算即可.合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數,

字母和字母的指數不變.

【解答】解：4a+2a-3a

=(4+2—3)。

=3a.

故答案為：3a.

7.(2022?椒江區二模)若/一2%—3=0,則3%2一6%-6=3.

【分析】根據題意得：/_2%=3,整體代入求值即可.

【解答】解：???——2x—3=0,

/.x2-2x=3,

原式=3C?_2x)_6

=3x3—6

=9-6

=3.

故答案為：3.

8.(2022?余杭區一模)已知(a+b)2=64,a1+Z>2=34,則仍的值為15

【分析】利用完全平方公式進行計算，即可得出答案.

【解答】解：（?+b）2=64,

/./+/+2ab=64,

?.?/+〃=34,

34+2ab=64，

ab=15，

故答案為：15.

9.（2022?鎮海區校級模擬）對正整數"，記lx2x...x〃="！若M=l!x2!x...x6!,則M的正因數中

共有完全立方數為10個.

【分析】先把M分解成=212x35x52的形式，然后分別討論2%35,52,含有的立方數約數，最后求解.

【解答］解：M=\!x2!x3!x4!x5!x6!=212x35x52,

???一個完全立方數〃（幾屬于M）應該具有的形式為〃=23*33丁53z（x,y,Z均為自然數），且3/12,3%5,

3z,,2，

故這樣的〃有5x2x1=10個,

故答案為10.

10.（2022?麗水二模）如圖1,將一個邊長為10的正方形紙片剪去兩個全等小長方形，得到圖2,再將剪

下的兩個小長方形拼成一個長方形（圖3）,若圖3的長方形周長為3。，則6的值為一《一

圖3

【分析】根據圖形給出的已知條件列出算式，進行整式加減即可得結論.

【解答】解：觀察圖形可得:

圖3的長方形的周長30=2（10-6）+2（10-36），

解得6=2.

4

故答案為：

4

11.(2022?溫州校級模擬)計算：(1)V9-(^+l)0+(1)-'-2cos60°；

化簡：(2)(x-2)(x+2)+x(l-x).

【分析】(1)根據實數的混合運算法則，先計算算術平方根、零指數毫、負整數指數累、特殊角余弦值,

再計算加減.

(2)根據整式的混合運算法則，先計算乘法，再計算加法.

【解答】解：(1)V9-(^+l)°+(1)-1-2cos60°

=3-l+2-2x-

2

=3-l+2-l

=3.

(2)(x-2)(x+2)+x(l-x)

——4+x—%?

=x-4.

12.(2022?蕭山區二模)化簡：(x+2>-(x+l)(尤-1).

方方的解答如下：

(X+2)2-(X+1)(X-1)=X2+4-X2-1=3.

方方的解答正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答過程.

【分析】利用完全平方公式，平方差公式進行計算，即可解答.

【解答】解：方方的解答不正確，

正確的解答過程如下：

(x+2)2—(x+1)(%—1)

=x2+4.v+4—(x2-1)

=x2+4%+4-x2+1

=4x+5.

13.(2022?永嘉縣三模)(1)計算：V4+1-3|-(V5)°+(-2)x3.

(2)化簡：(加一”)(2加+3〃)—工冽(2加+8〃).

【分析】(1)先化簡各式，然后再進行計算即可解答；

(2)先利用多項式乘多項式、單項式乘多項式法則去括號，再合并同類項.

【解答】解：(1)原式=2+3-1-6

=-2；

(2)MS,=2m2+3mn-2mn—3n2-m2—4mn

=m2-3mn-3n2.

14.(2021?余杭區模擬)給出三個多項式：①/+3M一262,②/一3a6,③仍+6/.請任請選擇兩個多

項式進行加法運算，并把結果分解因式.

【分析】任選兩式利用整式的加減運算合并同類項，再利用公式法分解因式即可.

21222

【解答】解：①+②得：a+3ab-2b+b-3ab=a-b=(a+b\a-b).

①+③得：a2+3ab-2b2+ab+6b2=/+4ab+4b2=(a+2b)2.

②+③得：b~-hab+ab+6b2=1b1-lab=b(Jb-2a).

15.(2019?拱墅區校級模擬)已知a,6互為相反數，

(1)計算：a+b,a1-b2,a3+b3,a4-b4,......的值.

(2)用數學式子寫出(1)中的規律，并證明.

【分析】(1)用平方差公式計算用降次的方法將/+/化為g+6)(/一必+/)的形式求

解；

(2)總結代數式的規律為a"+(-1)向6"=0,然后分〃為奇偶數討論證明即可.

【解答】(1)-：a=-b,

:.a+b=0,

a2-b2=(a+b)(a-b)=0,

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=0,

a4-b4=(a2-b1)(a2+/)=(Q+b)(a-b)(a2+b2)=0

(2)通過上面的計算可得：陵+(-1)"b=0

證明：①當〃為奇數時，

a"+(-iy+'b"^an+b",

■：由楊輝三角知優+6"總可以表示為(a+6)乘以一個整式的積的形式,

a"+b"=0,

②當〃為偶數時，設〃=2加，7M為整數，

a"+㈠嚴，=a"_6”

=a2m-b2m

=(，')2-3m)2

=(am-bm)(am+bm)

而(a'"+，)也是最終總可以表示為(a+6)和一個整式的乘積,

:.^a=-b,a"+(T)”“=0成立.

1.整式的概念及整式的加減

(2)單項式：由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫做單項式,單獨一個數或一個字母也叫單項

式.一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數,單項式中的數字因數叫做這個單項式

的系數.

(2)多項式：由幾個單項式相加組成的代數式叫做多項式,多項式里次數最高的項的次數就是這個多項式

的次數,不含字母的項叫做常數項.

(3)整式：單項式和多項式統稱為整式.

(4)同類項以及合并同類項法則：多項式中，所含字母相同,并且相同字母的指數也相同的項,叫做同類

項.合并同類項的法則是：同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變.

2.整式的乘除

(1)幕的運算性質：

(1)同底數幕相乘：am?an=am+n(m,n都是整數，a#0).

(2)幕的乘方：〃都是整數，aWO).

(3)積的乘方：(")"=??b"(n是整數,a#0,6W0).

(4)同底數幕相除：d"+a"=a"「"(m,n都是整數，。/0).

(2)整式乘法：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數幕分別相乘，其余字母連同它的指數不變，

作為積的因式.

單項式乘多項式：m(a+6)=7力。+mb.

多項式乘多項式：(。+6)-+m=改+/+式+4.

(3)乘法公式：

①平方差公式：(a-\-b')(g—b}=a2—b2.②完全平方公式：(a+b')2=a2+2<7Z>+Z>2.

(4)整式除法：

單項式相除，把系數、同底數塞分別相除,作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指

數作為商的一個因式.多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加.

3.因式分解

(1)因式分解的概念：

把，一個多項式化成幾個整式的積的形式,叫做因式分解.因式分解與整式的乘法是互逆變形.

(2)因式分解的基本方法：

①提取公因式法：ma-\-mb-\-mc=m(g-\-b-\-c).

②公式法：運用平方差公式：a2—b2=+.

運用完全平方公式：a2+2ab+b2—(a±b)2.

(3)因式分解的一般步驟：

①如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式.

②如果各項沒有公因式，那么盡可能嘗試用公式法來分解；如果項數較多，要分組分解.

③分解因式必須分解到不能再分解為止，每個因式的內部不再有括號，且同類項合并完畢，若有相同因式

需寫成幕的形式.

④意題中因式分解要求的范圍，如在有理數范圍內分解因式，x4-9=(x2+3)(x2-3)；在實數范圍內分解因

式，X，-9=(/+3)(x+3)(x—3)，題目不作說明的，一般是指在有理數范圍內分解因式.

考點一卷W4共加滿運算

例1.(2022秋?金東區期中)先化簡，再求值.

(1)(3a2-7a)+2(a2-3a+2),其中。=1.

(2)3孫(3丹-2孫2)-4(xy2-x2y),其中x=-4,y=l.

【分析】(1)先去括號，再合并同類項，然后把a的值代入化簡后的式子進行計算即可解答；

(2)先去括號，再合并同類項，然后把x,y的值代入化簡后的式子進行計算即可解答.

【解答】解：(1)(3a2-7a)+2(a2-3a+2)

=3a2-7a+2q2-6a+4

=5a2-13a+4,

當a=l時，原式=5X12-13X1+4

=5-13+4

=-4；

(2)3xy2+C3x2y-2xy2)-4(xy2-x2y)

=3xy2+3x2y-Ixy2-

=-3盯2+71,

當x=-4,y=l時，原式=-3X(-4)X12+7X(-4)2X1

=12X1+7X16X1

=12+112

=124.

【變式訓練】

1.(2022秋?西湖區校級期中)下列說法正確的是()

A.q是代數式，1不是代數式

B.—生罌的系數—需，次數是4

C.孫的系數是0

D.。、6兩數差的平方與°、6兩數的積的4倍的和表示為(a-b)2+Aab

【分析】根據代數式、單項式、多項式的概念及單項式的次數、系數的定義解答.

【解答】解：/、。是代數式，1也是代數式，原說法錯誤，故此選項不符合題意；

B、單項式-出察的系數是-普，次數是3,原說法錯誤，故此選項不符合題意；

C、xy的系數是1,原說法錯誤，故此選項不符合題意；

D、a、b兩數差的平方與a、6兩數的積的4倍的和表示為(a-b)2+4ab,原說法正確，故此選項符合

題意.

故選：D.

2.(2022秋?拱墅區期中)代數式2(4b-1)去括號后得()

A.a-Sb-1B.a-8b+lC.a-Sb-2D.a-8/)+2

【分析】直接利用去括號法則化簡判斷得出答案.

［解答］解：a-2(4/j-1)=a-86+2,

故選：D.

3.(2022秋?金東區期中)已知-5%，3和9/y是同類項，則冽-〃的值是()

A.-1B.-5C.1D.5

【分析】根據同類項的定義，求出加、〃的值，再代入計算即可.

【解答】解：因為-57>3和9壯〃是同類項，

所以m=2,〃=3,

所以m-n=2-3=-1,

故選：A.

4.(2022秋?西湖區校級期中)化簡：

(1)3加2-2H2+2(/-〃2)

(2)xy+2y2+(x2-3xy-2y2)-2(x2-xy)

【分析】(1)先去括號，再合并同類項即可；

(2)先去括號，再合并同類項即可.

【解答】解：(1)3加2-2層+2(加2-加2)

=3冽2-2n2+2m2-2n2

=5冽2-4〃2；

(2)xy+2y2+(x2-3孫-2y2)-2(x2-盯)

=xy+2y2+x2-3xy-2j2-2x2+2xy

=-x2.

5.(2022秋?拱墅區期中)求值：

(1)當。=-2時，求4/-3a-(2a^+a_1)+2(2-Q2-4Q)的值；

1Q111

(2)當|x-1|+S+2)2=0時，求一分3?2_豺+分3y2+甘砂73y-5+X3J的值.

【分析】(1)首先利用去括號法則去括號，注意括號前面是負號時，去掉括號和負號后，括號里的每一

項都要改變符號，再合并同類項，最后把。的值代入計算即可.

(2)根據非負數的性質，可求出a、b的值，然后將代數式化簡再代值計算.

【解答】解：(1)442-3a~(1a~+a-1)+2(2-a2-4a)

=4a2-3。-2a2-a+1+4-2a2-8a

-12〃+5,

將。=-2代入得：

原式=-12X（-2）+5=29；

（2）V|x-1|+。+2）2=0,

.*.%-1=0,尹2=0,

??%=1,y~~2,

132913711Q3

-尹丁尹+尹丁+~4xy-x?-5+x?

1u

=-^xy-5,

當x=\,y=-2時，

原式=*X1X（-2）-5

=-1-5

=-6.

考點二、果的運算

例2.（2022秋?江北區校級期中）（1）若10A=3,10丫=2,求代數式用戶制的值.

（2）已知:3加+2〃-6=0,求8那的值.

【分析】（1）直接利用同底數幕的乘法運算法則將原式變形求出答案；

（2）直接利用同底數嘉的乘法運算法則將原式變形求出答案.

【解答】解：⑴V10^=3,10y=2,

二代數式l（）3x+4v=（10、）3X（10v）4

=33X24

=432；

(2)?；3加+2〃-6=0,

3加+2〃=6,

.?.8加?4〃=23m?*n=23W+2W=26=64.

【變式訓練】

1.（2022春?拱墅區期末）下列運算正確的是（）

A.a*a2=a2B.2a+3b=5ab

C.a6-a2=a4D.(-2a2)3=-8a6

【分析】利用合并同類項的法則，同底數幕的乘法的法則，積的乘方的法則對各項進行運算即可.

【解答】解：A.a-a2=a\故N不符合題意；

B、2a與"不屬于同類項，不能合并，故8不符合題意；

。、法與不屬于同類項，不能合并，故C不符合題意；

D、(-2a2)3=-8a6,故。符合題意；

故選：D.

2.(2022春?鹿城區校級期中)(—3)2。2小(—抒。22的值為()

1

A.1B.-1C.D.-3

【分析】利用積的乘方的法則進行求解即可.

【解答】解：(—3)2021X(-，。22

=(-3)2021X(-1)2021X(-1)

=[(-3)X(-1)]2021X(-1)

=仔021x(_1)

1

=1X(-R

1

=一子

故選：C.

3.(2022春?海曙區校級期中)已知1/=2,1(F=3,則lO2^》等于()

A.36B.72C.108D.24

【分析】利用同底數幕的乘法的法則及幕的乘方的法則對所求的式子進行整理，再代入相應的值運算即

可.

【解答】解：當ICnZ,10丫=3時，

JQ2X+3J>

=IO2XXIO3^

=(11)2X(1。)3

=22X33

=4X27

=108.

故選：C.

4.(2022?金華校級開學)已知/”=4,人4"=36,則°”?必"的值為土芋.

【分析】根據積的乘方運算以及幕的乘方運算即可求出答案.

【解答】解：當。2"=4,盧=36時,

(an)2=4,(b2n)2=36,

an=+2,b2n=±6

：.anb2n=(±2)X(±6)=±12,

故答案為:±12.

11

5.(2022春?竦州市期末)已知10。=20,1006=50,則［a+2+.的值是2.

【分析】利用幕的乘方的法則對已知條件進行整理，再代入所求的式子進行運算即可.

【解答】解：：10"=20,10()6=50,

A10a=20,102*=50,

/.10°X1026=20X50,

10?+2*=103,

??a+2b=3,

?,?原式=2(a+2b)2

_3,1

=2.

故答案為：2.

考點三、餐般的來除女也前忒值

例3.(2022春?江干區校級期中)(1)填空：

①/?丁+d*x—2。；

②(3x2y)24-(-9X4J)=-v.

(2)先化簡，再求值：(2x+l)(x-2)-(x+1)(x-1),其中x=2.

【分析】(1)①先算同底數的幕相乘，再分別同類項;

②先算積的乘方和幕的乘方，再算單項式的除法；

(2)先展開，再分別同類項，化簡后將x=2代入即可.

【解答】解：(1)①/?X3+X4?X=X5+X5=2X5；

22

②(3xy)4-(-9XR)=9%知2+(_先如)=-yf

故答案為：①2%5；(2)-y；

⑵原式=2/-4x+x-2-(x2-1)

=2/-4x+x-2-f+i

=x2-3x-1,

當x=2時,

原式=22-3X2-1

=4-6-1

=-3.

【變式訓練】

1.(2022秋?西湖區校級期中)下列計算正確的是()

A.3tz2-a2=3B.(-3a+b)(3a+b)=9a2-b1

C.(a+l)(a-2)—a2+a—2D.(-2a2)3--Sa6

【分析】根據合并同類項法則、平方差公式、多項式乘多項式法則及積的乘方與幕的乘方逐一計算即可.

【解答】解：A.3a2-a2=2a2,此選項計算錯誤；

B.(~3a+b)(3a+b)=b2-9a2,此選項計算錯誤；

C.(a+l)(a-2)=a2-(Z-2,此選項計算錯誤；

D.(-2?2)3=-8a6,此選項計算正確；

故選：D.

2.(2022春?杭州期中)已知。=(-2)°,6=(-2尸,則a與b的大小關系為()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a...b

【分析】直接利用零指數幕的性質、負整數指數幕的性質分別化簡，進而得出答案.

【解答】解：?5=(-2)°=1,/7=(-2)-'=-1,

a>b.

故選：A.

二.填空題（共2小題）

3.（2022春?竦州市期中）已知2"=3,8=6,22A3匕的值為1$.

【分析】根據同底數幕的除法和嘉的乘方公式進行轉化，再整體代入計算便可.

【解答】解：22a-3b=（2a）24-（23=32-86=9-6=1.5,

故答案為：1.5.

4.（2022?永康市模擬）現有/,B,C三種型號的紙片若干張，大小如圖所示.從中取出一些紙片進行無

空隙、無重疊拼接，拼成一個長寬分別為11和5的新矩形，在各種拼法中，3型紙片最多用了7張.

【分析】根據各種卡片的面積，張數與面積之間的關系列出方程，根據方程的正整數解得出答案.

【解答】解：設拼成一個長寬分別為11和5的新矩形，需要/,B,。三種型號的紙片。張、6張、c張,

由題意得，

4。+66+9。=11x5，

又，：a、b、。為正整數，若使b最大，則。、。最小,

.,.當。=1,。=1時，6最大，b=7,拼圖如圖所不：

故答案為：7.

ABBB

BCBBB

三.解答題（共2小題）

5.（2022?鹿城區校級三模）（1）計算：|-21-百+2022°-2?；

（2）化簡：（2。-1）2—4。（。一3）.

【分析】（1）利用絕對值的定義、零指數幕、算術平方根、乘方運算法則計算即可;

（2）利用完全平方公式，合并同類項，化簡整理多項式.

【解答】解：（1）原式=2-3+1-4

=-4；

(2)原式=4/-4。+1-4。2+12。

=8(2+1.

6.(2022?義烏市模擬)化簡并計算：(1-2x)2-(2x+1)(2尤-1)-(3+2x)(1-2尤)，其中x=g.

【分析】先去括號，再合并同類項，然后把x的值代入化簡后的式子進行計算即可解答.

【解答】解：(1-2尤了一(2x+1)(2尤一1)-(3+2x)(1-2x)

=1-4x+4x2-4x2+1-3+4x+4x2

=4X2-1,

當x=g時，原式=4x(g)2-i

=4x--l

4

=1-1

=0.

考點8、乘位公成用

例4.(2022春?蘭溪市期中)已知：x+y=6,xy=3.求下列各式的值：

(1)x2+4xy+y2

(2)x4+/

【分析】(1)利用完全平方公式變形可得答案；

(2)首先求出，+產=30,再根據完全平方公式變形可得答案.

【解答】解：(1)9：x+y=6,初=3,

.*.x2+4A7-b72

=x2+2xy+y2+2xy

=(x+y)2+2xy

=36+6

=42；

(2)?69xy~~3,

.\x2+y2=(x+y)2-2盯=36-6=30,

.*.x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2

900-2X9

=900-18

=882.

【變式訓練】

1.（2022?長興縣開學）已知：a+b=5,a-b=\,貝!J/-y=（）

A.5B.4C.3D.2

【分析】把所求式子變形為（a+b）（a-b）,再整體代入即可.

【解答】解：??Z+b=5,a-b=\,

?'.a2-b2=（a+b）Qa-b）=5X1=5,

故選：A.

2.（2022春?南沼區期末）若多項式9/+冽x+1是完全平方式，則符合條件的所有冽的值為（）

A.±6B.-6C.6D.±18

【分析】根據完全平方公式的結構特征進行計算即可.

【解答】解：原式=（3x）2+mx+l2=（3x±l）2,

所以冽=2X3X1=6或冽=2X3X（-1）=-6,

因此m=±6,

故選：A.

3.（2022春?紹興期末）如圖，有甲、乙、丙三種紙片各若干張，其中甲、乙分別站邊長為或b的正方形,

丙是長為從寬為〃的長方形.若同時用甲、乙、丙紙片分別為4張、9張、12張拼成正方形，則拼成

的正方形的邊長為（）

a

A.a+2bB.a+3bC.2a+3bD.3a+2b

【分析】先求出拼成后的正方形的面積，然后根據正方形的面積即可求出正方形的邊長.

【解答】解：由題意可知拼成的正方形面積為：4^+12仍+9后，

???正方形的邊長為：V4a2+12ab+9按=J（2a+3b）2=2a+3b,

故選：C.

4.（2022春?鹿城區校級期中）如果q-b=4,ab=\,貝I」（2o+2b+l）（2a+2b-l）=79

【分析】利用平方差公式計算（2。+26+1）（2。+26-1）=（2a+26）2-1=4（層+2仍+后）-1,由已知

得(a-6)2=16,再由ab=l得出"2+62=18,代入求值的代數式計算即可.

【解答】解：：a-b=4,

(a-b)2=16,

.".a2-2ab+b1=16,

"：ab=\,

a2+b2=16+2ab=18,

(2a+26+l)(2a+26-1)

=(2a+2Z))2-1

=4(。2+2仍+廬)-1

=4(18+2)-1

=79.

5.(2022?金華模擬)以下小明化簡代數式(a+b)2-2Ca+b)(a-6)+(a-b)2的過程：

2

解：原式二次+廬_2(a-扭)+°2-廬①

=a2+b2-2a2-2b2+a2-b2(2)

=-2b2③

(1)解答過程中哪幾步錯誤？原因是什么？

(2)寫出正確解答過程.

【分析】(1)觀察小明解答過程，找出出錯的步驟即可；

(2)寫出正確的解答過程即可.

【解答】解：(1)解答過程中第①步錯，完全平方公式運用出錯；第②步錯，去括號出錯；

(2)原式=。2+2。6+方2_2_抉)+。2_2ab+1)2

=a2+2ab+b2-2a2+2b2+a2-lab+b1

=4b2.

6.(2022春?上虞區期末)圖1是一個長為2b,寬為2a的長方形，沿虛線平均分成四塊，然后按圖2拼成

一個正方形.解答下列問題.

(1)圖2中陰影部分的面積可表示為(b-a)2；對于(b-a)2,(6+a)ab,這三者間的等量

關系為(b-a)2=(6+a)2-4ab.

(2)利用⑴中所得到的結論計算：若》+尸-3,9=-番則x-v=±4.

(3)觀察圖3,從圖中你能得到怎樣的一個代數恒等式？再根據你所得到的這個代數恒等式探究：若

771

冽2+4冽〃+3層=0(幾W0),試求一的值.

n

【分析】(1)根據拼圖以及各部分面積之間的關系可得答案；

(2)由(1)的關系式進行計算即可；

(3)由面積之間的關系可得(〃+3b)(a+b)=a1+^ab+3b1\由加2+4加撲+3/=。可得(加+幾)(加+3〃)=

0,即用+幾=0或加+3〃=0,進而求出答案.

【解答】解：(1)陰影部分是邊長為人-4的正方形，因此面積為(6-〃)2,

根據拼圖以及面積之間的關系可得，(6-a)2,(b+a)2,ab,這三者間的等量關系為(b-a)2="+〃)

2-4仍，

故答案為：Qb-a)2；(b-a)2=(b+a)2-4ab；

(2)由(1)可得，

(x-y)2=(x+y)2-4^7=9+7=16,

??x~y~~±4,

故答案為：±4；

(3)整個長方形是長為a+36,寬為a+b,因此面積為(a+36)(〃+b),整個長方形的面積也可看作8個

部分的面積和，即。2+4。6+3層，

因此有(a+3b)(a+b)=a2Uab+3b2；

m2+4mn+3n2=0(加WO),BPQm+n)(加+3〃)=0,

m+n=0或m+3?=0,

mm

：.-=-l或一=-3.

nn

例5.(2022春?新昌縣期末)將下列每個多項式與因式分解適用的方法連線:

多項式方法

J］甲：提取公因式用二)

(^>2+66+9^

~~2)0運用平方差公式］)

?4d_］2x+9二)___

堂用完

【分析】(1)原式提公因式可分解因式；

(2)原式利用完全平方公式分解即可；

(3)原式利用平方差公式分解即可；

(4)原式利用完全平方公式分解即可；

(5)原式提公因式可分解因式.

【解答】解：(l)2a2-2a=2a(a-1),提公因式法；

②廬+66+9=(6+3)2,運用完全平方公式；

③4-C2=(2+C)(2-C),運用平方差公式；

④4x2-⑵+9=(2x-3)2,運用完全平方公式；

⑤2(a-b~)2-a+b—(a-b){la-2b-1),提公因式法；

多項式方法

【變式訓練】

1.(2022春?杭州期中)因式分解：/-9=(“+3)(。-3):a2b-6ab+9b=fe(g-3)2

【分析】根據因式分解的方法依次進行因式分解即可.

【解答】解：“2-9=(Q+3)(a-3)；

c^b-6ab+9b=b(層-6a+9)=b(q-3)2,

故答案為：(a+3)(a-3),b(a-3)2.

2.(2022春?柯橋區期末)計算：20232-2022?=4045.

【分析】根據平方差公式進行因式分解便可簡便運算.

【解答】解：原式=(2023+2022)X(2023-2022)

=4045.

故答案為：4045.

3.(2022春?麗水期末)已知正數a,b,c,滿足q-b=b-c=Lab+ac+bc=4.

(1)a-c=2；

(2)如圖是三張疊放的正方形紙片，其邊長分別為c,c+1,c+2,若這三張正方形紙片的面積之和為S,

【分析】(1)由等式a-b=b-c=l,得出a比b大1,b比。大1,由此得出。比。大2.

(2)根據a-6=6-c=l,得出a=c+2,b=c+\,將其代入仍+ac+bc=4得出3c?+6c-2=0,通過計算

3張正方形紙片的面積和S,化簡后得出S=302+6C+5,用整體代入法把3—+6C=2代入得出S的值.

【解答】解：(1)a-b=b-c=\,

，b=c+l,

a-6=1,

?'?a~(c+1)=1

得出a-c=2.

故答案為：2.

(2)由(1)知，a=c+2,b=c+\,

把a=c+2,b=c+l代入ab+ac+bc=4得，

(c+2)(c+1)+(c+2)c+(c+1)。=4,

C2+2C+C+2+C2+2C+C2+C=4,

3C2+6C-2=0,

這三張正方形紙片的面積之和S=c2+(c+1)2+(c+2)2

=c2+(C2+2C+1)+(C2+4C+4)

=3C2+6C+5,

把3C2+6C—2代入，

S=2+5=7.

故答案為：7.

4.(2022?長興縣開學)分解因式：

(1)ab-26；

(2)(a-Z>)2-6(a-b)+9.

【分析】(1)運用提公因式法進行因式分解.

(2)逆用完全平方公式進行因式分解.

【解答】解：(1)ab-2b=b(a-2).

(2)(a-b)2-6(a-b)+9=(a-b-3)

5.(2022春?杭州期中)給出三個多項式：①次+3必-2廬，②廬-3",(3)ab+6b2.

(1)請任選擇兩個多項式進行加法運算，并把結果因式分解；

(2)當。=4,6=-7時，求第(1)問所得的代數式的值.

【分析】(1)選擇①③，相加得那+4仍+4必然后運用公式法因式分解即可；

(2)將a=4,6=-7代入(1)計算即可.

【解答】解：(1)選擇①③(答案不唯一)，

a2+3ab-2b2+ab+6b2.

=a2+4ab+4b2

—(a+2b)2；

(2)當a=4,b=-7,

原式=(4-14)2=100.

考點火、數生易畫形的受化規律

例6.(2022秋?上城區校級期中)完成下列填空:

⑴已知。尸石另+*等。2=萬另+?率03=荻餐+"=告……，依據上述規律，則。99

1199

=-----------+—=-----.

—99x100x10199——9800—

（2）有若干張邊長都是2的四邊形紙片和三角形紙片，從中取一些紙片按如圖所示的順序拼接起來（排

在第一位的是四邊形），可以組成一個大的平行四邊形或一個大的梯形.如果所取的四邊形與三角形紙片

數的和是5時，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長是3〃+1；如果所取的四邊形與三角形紙片數

的和是〃，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長是

（3）下面是按一定規律排列的一列數:

第1個數：<71=-（1+

第2個數：02=，—（1+卅）（1+￡孝）（1+1豈）；

第3個數：03=*—（1+卅）（1+±芋）（1+與支）（1+￡裂）（1+與龍）；……

則第n個數為：—二—X1+W）（1+0鳥工1+^4^）……（1+.

【分析】（1）通過觀察可得a”=二八+高=等彳，再運用此規律運算即可；

（2）通過觀察發現平行四邊形與三角形交替出現，則當〃是奇數時，組成圖形的周長為3”+5,當“是

偶數時，組成圖形的周長為3〃+4；

（3）通過觀察得到一般規律即可.

【解答】解：⑴???。尸石廈+巨宗。2=另五+卜御片荻%+*心……，

._______1______1_71

??斯—n（n+l）（n+2）十n+1—n2-l9

._11_99_99

,*"99=99x100x101+99=992—1=9800>

1199

故答案為：99x100x109+頡9800；

（2）當所取的四邊形與三角形紙片數的和是5時，拼成一個平行四邊形，

V四邊形與三角形的邊長都是2,

???平行四邊形的邊長分別為8和2,

，組成的大平行四邊形的周長是2X（8+2）=20,

當〃是奇數時，組成圖形的周長為3"+5,

當〃是偶數時，組成圖形的周長為3〃+4,

故答案為:20,3篦+5,3麓+4；

（3）:?第1個數：ai="I"—（1+-^）；

第2個數：。2=,—（1+-^）（1+（：））（1+（；））；

第3個數：°3=，-（1+3）（1+與上）（1+空）（1+空經）（1+”支）;

二第"個數：斯=急一（1+^）（1+^=1^）（1+^^）……（1+（-啜1）,

故答案為：二—（1+3）（1+/）（1+學）……

n+1/34zn

【變式訓練】

1.（2022秋?上城區校級期中）觀察下列等式：71=7,72=49,7』343,74=2401,75=16807,76=117649,

試利用上述規律判斷算式7+72+73+74+…+72°2。結果的末位數字是（）

A.0B.1C.3D.7

【分析】觀察所給等式發現規律末位數字為：7,9,3,1,7,9,3,每4個數一組循環，進而可得

算式7+72+73+74+-+72020結果的末位數字.

【解答】解：觀察下列等式：

71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…，

發現規律：

末位數字為：7,9,3,1,7,9,3,

每4個數一組循環，

所以2020+4=505,

而7+9+3+1=20,

20X505=10100,

所以算式7+72+73+74+…+72020結果的末位數字是