《第二十四章圓》培優(yōu)檢測卷

班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)

考試范圍：第二十四章；考試時間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

1.（2021?浙江?杭州市建蘭中學(xué)九年級期中）己知。。的半徑為3cm,點A到圓心。的距離為2c〃z,那么點

A與。。的位置關(guān)系是（）

A.點A在O。內(nèi)B.點A在。。上C.點A在。。外D.不能確定

2.（2022?福建省福州延安中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列四個命題中，真命題是（）

A.如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等

B.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸

C.平分弦的直徑一定垂直于這條弦

D.等弧所對的圓周角相等

3.（2022?湖北孝感?九年級期末）點尸到。。的最近點的距離為2c〃z,最遠(yuǎn)點的距離為7cm,則。。的半徑

是（）

A.5c7九或9c機B.2.5cm

C.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

4.（2022?北京?人大附中九年級階段練習(xí)）如圖，A2為。。的直徑，點C,。在。。上，若/ADC=130。，

則/BAC的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

5.（2022?全國?九年級單元測試）在圓內(nèi)接正六邊形ABCZJEP中，正六邊形的邊長為2,則這個正六邊形的

中心角和邊心距分別是（）

A.30°,1B.45°,2C.60°,下1D.120°,4

6.（2022?全國?九年級單元測試）如圖，AB過半。。的圓心。，過點8作半。。的切線8C,切點為點C,

連接AC,若NA=25。，則的度數(shù)是（）

c

A.65°B.50°C.40°D.25°

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

7.（2022?北京市朝陽區(qū)人大附中朝陽分校九年級階段練習(xí)）如圖，點A、B、C在。。上，ZC=45°,半徑

08的長為3,則AB的長為.

8.（2022?湖南?長沙市中雅培粹學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，用直角曲尺檢查半圓形的工件，其中合格的是

圖____________（填“甲”、“乙”或“丙”）.

甲乙丙

9.（2021?云南?富源縣第七中學(xué)九年級期中）如圖，EB,EC是。。的兩條切線，B,C是切點，A,O是。。

上兩點，如果NE=50。，/DCF=35°,那么NA=.

10.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，點。為正六邊形A8COEF的中心，連接AC,若正六邊形的邊長

為2,則點。到AC的距離OG的長為_.

11.（2021?浙江?溫州市實驗中學(xué)九年級期中）如圖1,哥特式尖拱是由兩段不同圓心的圓弧組成的軸對稱圖

形，叫做兩心尖拱.如圖2,已知尸，。分別是AC和BC所在圓的圓心，且均在AB上，若PQ=2m,AB=

6m,則拱高CD的長為m.

12.（2022?江蘇?九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-2與無軸、V軸分別交于點8、C,

半徑為1的。P的圓心P從點A（4,〃z）（點A在直線y=x-2上）出發(fā)以每秒夜個單位長度的速度沿射線AC

運動，設(shè)點P運動的時間為/秒，則當(dāng)1=時，。尸與坐標(biāo)軸相切.

三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）

13.（2022?江蘇?沐陽縣潼陽中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,4）、B（4,4）、C

（6,2）.設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在的圓的圓心為點

（1）點M的坐標(biāo)為；

⑵點。（5,-2）在。M（填“內(nèi)”、“外”、"上”）.

14.（2022?河北邢臺?九年級期末）已知正六邊形ABCDEF的中心為。，半徑。4=6.

AB

(1)求正六邊形的邊長；

(2)以A為圓心，A尸為半徑畫弧8E求BF?

15.(2022?湖南邵陽?中考真題)如圖，已知0c是0。的直徑，點8為8延長線上一點，A3是。。的切線,

點A為切點，且AB=AC.

⑴求44cB的度數(shù)；

(2)若。。的半徑為3,求圓弧AC的長.

。。為正五邊形的外接圓，已知請用無刻度直

16.(2022?全國九年級課時練習(xí))如圖,ABCDECF=gsC,

尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡.

(1)在圖1中的邊DE上求作點G,使DG=CF；

(2)在圖2中的邊。E上求作點H,使EH=CF.

17.（2022?湖南.長沙麓山國際實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，AB是。。的弦，P是。。上一個動點（不

與A,8重合），過。作。CLA尸于點C,于點D

⑴試判斷CD與48的數(shù)量和位置關(guān)系？并說明理由;

⑵若4=45。，AP=4,則。。的半徑為.（直接寫出答案）

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.（2021.江蘇?阜寧縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，。。的弦A8、。。的延長線相交于點E.

（1）如圖1,若AZ）為120。，BC為50。，求NE的度數(shù);

(2)如圖2,若AE=DE,求證：AB=CD.

19.（2021?廣東惠州.九年級期末）如圖在R/AABC中，ZC=90°,以AC為直徑作。。，交A3于。，過。作

OE//AB,交8c于E.

B

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)如果。。的半徑為3,DE=4,求48的長;

(3)在(2)的條件下，求AA。。的面積.

20.(2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校九年級)如圖，在Z4BC中，^ABC=90°,。是A4上一點，以。為

圓心，為半徑的圓與交于點尸，與AC相切于點。，己知AB=8,。。的半徑為r.

⑵求BC=6,求。。的半徑r長；

(3)若AD的垂直平分線和。。有公共點，求半徑r的取值范圍.

五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.（2021?四川.廣漢市金輪第一中學(xué)九年級期末）己知拋物線＞=。。-3）2+?過點。（0,4）.頂點為與

x軸交于A、B兩點.如圖所示以A8為直徑作圓，記作。D.

（1）求拋物線解析式及D點坐標(biāo).

（2）猜測直線CM與。。的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

（3）拋物線對稱軸上是否存在點P,若將線段CP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90。，使C點的對應(yīng)點C’恰好落在拋物線

上？若能，求點P的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

22.（2022?河北?育華中學(xué)三模）如圖，在矩形ABC。中，AD=4,/8AC=30。，點。為對角線AC上的動

點（不與A、C重合），以點。為圓心在AC下方作半徑為2的半圓。，交AC于點E、F.

（1）直接寫出AC的長—；

（2）當(dāng)半圓。過點A時，求半圓被AB邊所截得的弓形的面積；

⑶若M為廝的中點，在半圓。移動的過程中，求而W的最小值;

（4）當(dāng)半圓O與矩形A8C。的邊相切時，直接寫出AE的長—.

六、（本大題共12分）

23.（2022?全國?九年級單元測試）【模型構(gòu)建】如圖1,在四邊形A8C。中，ZABC+ZADC=18O°,AB=AD,

48=45。,AC=3近.求四邊形ABC。的面積.琪琪同學(xué)的做法是：延長C。至￡點，使。E=2C,連

結(jié)AE.易證△ASCZAADE.進而把四邊形A3C。的面積轉(zhuǎn)化為AACE的面積，則四邊形A8C。的面積為

【應(yīng)用】如圖2,。。為AABC的外接圓，是直徑，AC=BC,點。是直徑AB左側(cè)的圓上一點，連接D4,

DB,DC.若CD=4,求四邊形AOBC的面積；

【靈話運用】如圖3,在四邊形AOBC中，連結(jié)48、CD,ZCAB=ZACB=ZBDC=60°,四邊形AOBC的

面積為4石，則線段C￡>=.

圖1圖2圖3

《第二十四章圓》培優(yōu)檢測卷

班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)

考試范圍：第二十四章；考試時間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

1.（2021?浙江?杭州市建蘭中學(xué)九年級期中）已知0。的半徑為3c7打點A到圓心O的距離

為2cm,那么點A與。。的位置關(guān)系是（）

A.點A在O。內(nèi)2.點A在。。上C.點A在。。外D.不能確定

【答案】A

【分析】根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系進行判斷即可.

【詳解】解：由題意得：d=2,r=3,故：d<r,

/.點A在。。內(nèi)，

故選A.

【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系：點到圓心的距離大于圓的半徑時，點在圓外，點到圓

心的距離等于圓的半徑時，點在圓上，點到圓心的距離小于圓的半徑時，點在圓內(nèi).

2.（2022?福建省福州延安中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列四個命題中，真命題是（）

A.如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等

B.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸

C.平分弦的直徑一定垂直于這條弦

D.等弧所對的圓周角相等

【答案】D

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對A進行判斷，根據(jù)對稱軸的定義對2進行判斷，根

據(jù)垂徑定理的推論對C進行判斷，根據(jù)圓周角定理的推論對D進行判斷.

【詳解】解：A、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，故此選

項錯誤，不符合題意；

8、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，故此選項錯誤，不符合

題意；

C、平分弦（非直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故此選項錯誤，不符合題意；

。、等弧所對的圓周角相等正確，故此選項正確，符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓的對

稱性，垂徑定理及圓周角定理的推論.

3.（2022?湖北孝感?九年級期末）點尸到。。的最近點的距離為2c〃z,最遠(yuǎn)點的距離為7cm,

則。。的半徑是（）

A.5cm9cmB.2.5cm

C.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點的位置不確定所以要分類討

論.

【詳解】解：①當(dāng)點在圓外時，

:圓外一點和圓周的最短距離為2cm,最長距離為1cm,

圓的直徑為7-2=5(cm),

該圓的半徑是2.5。相；

②當(dāng)點在圓內(nèi)時，

:點到圓周的最短距離為2c機,最長距離為7cm,

.?.圓的直徑=7+2=9(cm),

圓的半徑為4.5cm,

故選：D.

【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)

鍵.

4.(2022?北京?人大附中九年級階段練習(xí))如圖，A3為。。的直徑，點C,D在。。上，若

ZADC=130°,則/BAC的度數(shù)為()

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補求得—3,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得

/ACB=90?,根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解.

【詳解】解：:AB為。。的直徑，

-48=90?,

?..四邊形ABCQ是圓內(nèi)接四邊形，—4X?=130?,

4=50?,

.?.NR4c=90?-50?.

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形兩個銳

角互余，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?全國?九年級單元測試）在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，正六邊形的邊長為2,則

這個正六邊形的中心角和邊心距分別是（）

A.30°,1B.45°,2C.60°,百D.120°,4

【答案】C

【分析】根據(jù)中心角的定義可得這個正六邊形的中心角，如圖（見解析），過圓心。作

于點P,先根據(jù)等邊三角形的判定可得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)可得Q4=A8=2,AP=1,再利用勾股定理即可得.

【詳解】解：這個正六邊形的中心角為3哼60°-=60。，

6

如圖，過圓心。作OPJ_AB于點尸，

OA=OB,ZAOB=60°,

:.AAOB是等邊三角形，

：.OA=AB=2,AP=-AB=1,

2

:.OP=slOAr-AP2=6，

即這個正六邊形的邊心距為6,

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形的中心角和邊心距、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟

練掌握正多邊形的中心角和邊心距的概念是解題關(guān)鍵.

6.（2022?全國?九年級單元測試）如圖，A8過半。。的圓心O,過點8作半。。的切線8C,

切點為點C,連接AC,若/A=25。，則的度數(shù)是（）

A.65°B.50°C.40°D.25°

【答案】C

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)，得出NOCB=90。，再利用圓的半徑相等，結(jié)合等邊對

等角，得出NA=NOCA,然后再利用三角形的外角和定理，得出NBOC的度數(shù)，再利用直

角三角形兩銳角互余，即可得出的度數(shù).

【詳解】解：連接0C,

與半。。相切于點C,

：.ZOCB=90°,

,/乙4=25。，

ZA=ZOCA,

：./20C=2NA=50。，

AZB=90°-ZBOC=40°.

故選：C

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊對等角、三角形外角和定理、直角三角形兩銳角互余,

解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

7.（2022.北京市朝陽區(qū)人大附中朝陽分校九年級階段練習(xí)）如圖，點A、B、C在。。上,

NC=45。，半徑08的長為3,則AB的長為.

【答案】3收

【分析】首先根據(jù)圓周角定理求出NAO8的度數(shù)，然后解直角三角形求出AB的長.

【詳解】根據(jù)題意可知，

?.?ZACB=45°,

ZAOB=2ZACB^90°,

又知04=08=3,

AB=^O^+OB2=732+32=3A/2

故答案為：3亞.

【點睛】本題考查圓周角定理以及勾股定理，熟練掌握同弧所對圓周角是圓心角的一半是解

題的關(guān)鍵.

8.（2022?湖南?長沙市中雅培粹學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，用直角曲尺檢查半圓形的工件，

其中合格的是圖_____________（填“甲”、“乙”或“丙”）.

甲乙丙

【答案】乙

【分析】根據(jù)90。圓周角所對的弦是直徑即可判斷.

【詳解】解：「go。的圓周角所對的弦是直徑，

...乙合格.

故答案為乙.

【點睛】本題考查圓周角定理、解題的關(guān)鍵是靈活運用圓周角定理解決問題，屬于中考?？?/p>

題型.

9.（2021?云南?富源縣第七中學(xué)九年級期中）如圖，EB,EC是。。的兩條切線，B,C是切

點，A,。是。。上兩點，如果NE=50。，ZDCF=35°,那么/A=.

【答案】100。##100度

【分析】根據(jù)班、EC是。O的兩條切線，NE=50。計算出/2OC=130。，再根據(jù)

N3AC=；N3OC計算出N5AC,最終計算出NA.

【詳解】解：如圖，連接05,OC,AC,OD,BD,

?:EB、EC是。。的兩條切線，ZE=50°,Z￡>CF=35°,

ZOBE=ZOCE=90°,

ZDCF=35°,

：.ZOCD=90°-35°=55°,

OC=OD,

NOCD=NODC=550,

：./COD=74。,

/.ZCBD=-ZCOD=35°,

2

NCBD=NCAD,

：.ZC4D=35°,

在四邊形8ECO中，ZE+ZOBE+ZOCE+ZBOC=360°,

ZBOC=360°-90°-90°-50°=130°,

Z.ABAC=-ZBOC=65°,

2

，/BAZ)=35°+65°=100°,

故答案為100°.

【點睛】本題考查圓、切線和四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理和切線的性

質(zhì)定理.

10.(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖，點。為正六邊形45CDEF的中心，連接AC,若正

六邊形的邊長為2,則點0到AC的距離OG的長為

【答案】1

【分析】連接。4、OC、OD,證△OCD是等邊三角形，得OC=CD=2,ZOCD=60°,再

證NOCG=30。，然后由含30。角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：連接。4、OC、OD,如圖所示：

?.?點。為正六邊形ABC。所的中心，邊長為2,

360°

/.ZB=ZBCD=(6-2)x180o^6=120o,OC=OD,ZCOD=——=60°,AB=BC=CD

6

=2,

ZBCA=ZBAC=30°,△OCO是等邊三角形,

：.OC=CD=2,ZOCD=60°,

：.ZOCG=120°-30°-60°=30°,

OGLAC,

/.OG=-OC=\,

2

即點。到AC的距離0G的長為1,

故答案為：L

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30。角的直角三角形的

性質(zhì)等知識，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明△OCZ）為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

11.（2021?浙江?溫州市實驗中學(xué)九年級期中）如圖1,哥特式尖拱是由兩段不同圓心的圓弧

組成的軸對稱圖形，叫做兩心尖拱.如圖2,已知P,0分別是AC和所在圓的圓心，且

均在上，若PQ=2m,AB=6m,則拱高CO的長為m.

圖1

【答案】715

【分析】如圖，連接CQ,然后求出PD、PC的長，最后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，連接C。.

由題意CQ=CP,CD1,PQ,

：.DQ=DP=^PQ=1(m),

"：PA=QB,

：.AQ=PB=^(AB-PQ)=2Gn),

：.PC=PA=2+2=4(m),

CD=yjpc2-PD2="2-仔=岳(m),

故答案為：V15.

【點睛】本題主要考查了勾股定理、垂徑定理等知識點，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是

解答本題的關(guān)鍵.

12.(2022.江蘇?九年級課時練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-2與x軸、y軸

分別交于點8、C,半徑為1的。尸的圓心戶從點A(4,〃z)(點A在直線>=尤-2上)出發(fā)以

每秒V2個單位長度的速度沿射線AC運動,設(shè)點尸運動的時間為f秒，則當(dāng)t=時，QP

與坐標(biāo)軸相切.

【答案】1或3或5

【分析】設(shè)。P與坐標(biāo)軸的切點為。，根據(jù)已知條件得到44.2),8(2,0),C(0,-2),求得

AB=2。AC=2E，OB=OC=2,證明出AOBC是等腰直角三角形，ZOBC=45°,然

后分三種情況進行討論：①當(dāng)。尸與x軸相切時，②如圖，。尸與x軸和y軸都相切時，③

當(dāng)點尸只與y軸相切時.

【詳解】解：設(shè)。尸與坐標(biāo)軸的切點為。，

:直線y=x-2與x軸、y軸分別交于點8、C,點4(4,時，

;.x=0時，>=-2,

y=。時，x=2,

x=4時，y=2,

.?.4(4,2),2(2,0),C(0,-2),

根據(jù)勾股定理：AB=2?，AC=4五,OB=OC=2,

.?.AO8C是等腰直角三角形，NOBC=45。,

①當(dāng)。尸與無軸相切時，

,?,點。是切點，0尸的半徑是1,

軸，PD=1,

r.ABZ)「是等腰直角三角形，

,-.BD=PD=l,=

:.AP=AB-PB=y[2,

,??點P的速度為每秒V2個單位長度，

.,.t=1;

②如圖，0P與X軸和y軸都相切時，

???PB=42，

:.AP=AB+PB=?>^2,

???點P的速度為每秒A/2個單位長度，

二.力=3；

③當(dāng)點尸只與y軸相切時，

PC=?,

AP=AC+PC=5y/2,

,??點P的速度為每秒0個單位長度，

「1=5.

綜上所述，則當(dāng)「=1或3或5秒時，。2與坐標(biāo)軸相切，

故答案為：1或3或5.

【點睛】本題考查了切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是

掌握切線的判定及性質(zhì)，利用分類討論的思想求解.

三、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.(2022.江蘇?沐陽縣潼陽中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)、

B(4,4)、C(6,2).設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在的圓的圓心為點

(1)點M的坐標(biāo)為;

⑵點。(5,-2)在。M(填“內(nèi)”、“外”、"上”).

【答案】⑴(2,0)

⑵內(nèi)

【分析】（1）由網(wǎng)絡(luò)可得出線段AB和8C的垂直平分線的交點，這個交點即為圓心進

而可得點M的坐標(biāo)；

（2）利用勾股定理求出AM和的長，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可作出結(jié)論.

（1）

解:如圖，作線段和BC的垂直平分線，它們的交點為圓心M,則點M坐標(biāo)為（2,0）,

故答案為：（2,0）；

解：由圖知，圓的半徑AM=VU+*=2也，AfD=>/32+22=V13-

.?.點。在圓M內(nèi),

故答案為：內(nèi).

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、點與圓的位置關(guān)系以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解答的

關(guān)鍵是利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)得出圓心M的位置，并熟知點與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為r,點與圓

心的距離為d,當(dāng)時，點在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d>r時，點在圓外.

14.（2022?河北邢臺?九年級期末）已知正六邊形ABCDEE的中心為O,半徑OA=6.

（1）求正六邊形的邊長；

⑵以A為圓心，AF為半徑畫弧8月，求B尸.

【答案】⑴6

（2）4TT

【分析】（1）根據(jù)正六邊形的邊長與半徑相等即可解決問題；

（2）由正六邊形的性質(zhì)和弧長公式即可得出結(jié)果.

（1）解：：六邊形ABCQE尸是正六邊形，，正六邊形的邊長=半徑。4=6；

(2)?.?六邊形A8CDEF是正六邊形，.../8CF=120。，.?.弧BF的長為號著=4萬.

180

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、弧長公式；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.(2022?湖南邵陽?中考真題)如圖，已知。C是。。的直徑，點5為8延長線上一點，AB

是。O的切線，點A為切點，且AB=AC.

(1)求ZACB的度數(shù)；

(2)若。。的半徑為3,求圓弧AC的長.

【答案】(1)30°

(2)21

【分析】(1)證明AADO是等邊三角形，得到/AZ)O=60°,從而計算出ZACB的度數(shù);

(2)計算出圓弧AC的圓心角，根據(jù)圓弧弧長公式計算出最終的答案.

(1)

如下圖，連接AO

：A3是。。的切線

OA1AB

/.ZOAB=90°

,/ZDAC=90°

/DAC=/OAB

,：AB=AC

：.ZB=ZC

：.AABO^AACD

：.AD=AO=DO

???AAOO是等邊三角形

：.ZADO=6(f

?.?ADAC=9^

ZACB=30°

(2)

*.*ZAOD=60°

ZAOC=120°

圓弧AC的長為：120fx3=2萬

二圓弧AC的長為27r.

【點睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的相關(guān)知識.

16.(2022.全國?九年級課時練習(xí))如圖，。。為正五邊形ABCDE的外接圓，已知”'=[(?,

請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡.

⑴在圖1中的邊DE上求作點G,使DG=CF；

⑵在圖2中的邊DE上求作點"，使硝=CF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接A。并延長與C。相交，連接交4?延長線于連接與。E的

交點即為所求作；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，連接2。并延長與DE相交，連接AG交2。延長線于N,連接CN

并延長即可.

(1)

連接AO并延長與C。相交，連接E尸交A。延長線于連接交。E于點G,則點G

為所求作，如圖1所示；

理由：

:。。為正五邊形的外接圓，

/.直線A0是正五邊形ABCDE的一條對稱軸，點2與點石、點C與點￡）分別是一對對稱點.

\?點M在直線上，

...射線與射線E尸關(guān)于直線A0對稱，從而點歹與點G關(guān)于直線A。對稱，

CF與DG關(guān)于直線A0對稱.

：.DG=CF.

（2）

在（1）的基礎(chǔ)上，連接8。并延長與DE相交，連接AG交2。延長線于N,連接CN,如

圖2所示；

【點睛】本題考查了作圖：無刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對稱性質(zhì)，掌握正五邊形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.（2022?湖南?長沙麓山國際實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，A8是。。的弦，尸是0O

上一個動點（不與A,B重合），過。作。CLAP于點C,尸于點。.

（1）試判斷C。與43的數(shù)量和位置關(guān)系？并說明理由；

（2）若N3=45。，AP=4,則。。的半徑為.（直接寫出答案）

【答案】（1）CD〃AB,CD=^AB,理由見解析

⑵2立

【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理得到AC=PGBD=PD,然后根據(jù)三角形中位線定理判斷CO

與AB的關(guān)系；

（2）連接40,P。，根據(jù)圓周角定理可得NAO尸=90。，勾股定理即可求解.

（1）

解：CD//AB,CD=-AB.

2

理由：^.^OC，AP于點C,于點。，

AAC=PC,BD=PD,

，8為△ABP的中位線，

/.CD//AB,CD=-AB.

2

（2）

解：如圖，連接AO,P。，

4=45。，

ZAOP=90°,

在RtAAO尸中，AO=OP,AP=4,

2AO2=42,

解得AO=2&（負(fù)值舍去）.

二。。的半徑為2近.

【點睛】本題考查了垂徑定理，中位線的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，掌握以上知識是解

題的關(guān)鍵.

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.（2021.江蘇.阜寧縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，。。的弦42、DC的延長線相

交于點E.

A

圖1

(D如圖1,若AO為120。，BC為50。，求/E的度數(shù);

(2)如圖2,若AE=DE,求證：AB=CD.

【答案】(1)/E=35°

(2)見解析

【分析】(1)先求出NACZ),/A4C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出答案;

(2)先根據(jù)“ASA"證明"CE絲ADBE,得出BE=CE,再結(jié)合已知條件得出答案即可.

(1)

連接AC,

「AO為120。，8C為50。,

ZACD=-x120°=60°,ABAC=-x50°=25°,

22

Z￡=ZACD-ZBAC^60°-25°=35°；

(2)

證明：連接AC、BD,

圖2

?BC=BC，

：.NA=ND,

在AACE和△OBE中,

ZA=ZD

<AE=DE,

NE=NE

:.AACE出ADBE(ASA),

：.BE=CE,

'：AE=DE,

；.AE-BE=DE-CE,

即AB=CD.

【點睛】本題考查了圓的相關(guān)計算與證明，三角形全等的判定和性質(zhì)，正確理解圓心角、弧

與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

19.(2021?廣東惠州.九年級期末)如圖在及&4BC中，ZC=90°,以AC為直徑作。O,交

A8于。，過。作OE〃A8,交BC于E.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)如果。。的半徑為3,DE=4,求AB的長；

⑶在(2)的條件下，求AA。。的面積.

【答案】(1)證明見解析

⑵AB=1O

(3)5,。=4.32

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出N1=N2,/3=NA,再根據(jù)等邊對等角，得出Nl=ZA,

再根據(jù)等量代換，得出/3=/2,再利用&4S,得出△OCE四△ODE,進而得出

ZOCE=ZODE,進而得出即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1),得出AODE是直角三角形，根據(jù)勾股定理，得出OE=5,再根據(jù)三角形的

中位線定理，即可得出的長；

(3)連接CD,根據(jù)圓周角定理，得出NADC=90。，再根據(jù)等面積法，得出8的長，然

后根據(jù)勾股定理，得出AD的長，再根據(jù)三角形的面積公式，得出AAOC的面積，再根據(jù)三

角形中線平分三角形的面積，即可得出△ADO的面積.

(1)

證明：如圖，

?：OE//AB,

??.N1=N2,N3=ZA,

OA=OD,

：.Z1=ZA,

???Z3=Z2,

?；OC=OD,OE=OE,

???AOCE沿AODE^AS),

???ZOCE=ZODEf

???"=90。,

ZOCE=ZODE=90°,

即OD_LDE,

JOE是。。的切線.

解：由(1),可得：三角形ODE是直角三角形,

在RtAODE中,

,.?。。=3,DE=4,

：.OE=5,

又???0、E分別是AC、5c的中點，

：.AB=2OE=10；

(3)

解：如圖，連接CD,

A3是直徑，

???ZAT)C=90°,

在心△ABC中，

VAC=6,AB=10,BC=8,

：

.S^ADRCC=2-ACBC2=-ABCD,

—x6x8=—xlOxCD,

22

解得：CD=4.8,

?*-AD=ylAC2-CD2=762-4.82=3.6,

???5=g?皿C*x4.8X3.6=8.64，

TO是AC中點，即。。是△AT>C的中線,

S=—S協(xié)；=—x8.64=4.32.

△AUU2AAZ-/C2

B

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊對等角、全等三角形的性質(zhì)與判定、切線判定定理、

勾股定理、三角形的中位線定理、圓周角定理、三角形中線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌

握相關(guān)的性質(zhì)定理.

20.(2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校九年級)如圖，在44BC中，^ABC=9Q°,。是BA

上一點，以。為圓心，。8為半徑的圓與交于點P,與AC相切于點，已知AB=8,O

0的半徑為r.

⑵求BC=6,求。。的半徑r長；

(3)若的垂直平分線和。。有公共點，求半徑r的取值范圍.

Q

【答案M嗚

(2)3

(3)275-2<r<4

【分析】(1)連接0，由切線的性質(zhì)可得/4。。=90。，由AP=DP,得NPZM=NA,再由

等角的余角相等證明NPD0=NP0D則4P=0P=02=r,列方程可求出r的值；

(2)連接0C、OD,由勾股定理求出AC的長，再根據(jù)面積等式列方程即可求出廠的值；

(3)設(shè)A￡>的垂直平分線交A。于點憶與。。的一個交點為點E,當(dāng)EF與。O相切時r

的值最小，可求出廠的最小值；MiOB+OD<OB+OA,列不等式求得r<4,即可求出r的取

值范圍；

(1)

解：如圖1,連接。。，

圖1

???。。與AC相切于點。，

.??ACLOD,

：.ZADO=90°,^ZPDO+ZPDA=90°,ZPOD+ZA=90°,

9：AP=DP,

：.ZPDA=ZA,

：.NPD0=/P0D,

DP-OP-OB,

：.AP=OP=OB=r,

VAB=8,

/.3r=8,

.8

故答案為：g.

(2)

解：如圖2,連接。C、0D,

圖2

*.?ZABC=90°,AB=8,BC=6,

?*-AC=VAB2+BC2=A/82+62=10，

VOP1AC,AB±BC,

：.-ACOD+-BCOB=-ABBC,

222

:.ACOD+BCOB=ABBC,

10r+6r=8x6,

r=3.

（3）

解:設(shè)A。的垂直平分線交A。于點凡與。。的一個交點為點E,如圖3,當(dāng)EF與。。相

切時，r的值最小，

設(shè)切點為點E,連接。。、0E,則

圖3

ZEFD=ZODF=ZOEF=90°,

四邊形OOEE是矩形，

OD=OE,

.,?四邊形ODFE是正方形，

AF^DF=OD=r

OD2+AD2^OA2,

：.r2+（2r）2=（8-r）2,

解得q=26-2,弓=-2君-2（不符合題意，舍去）,

；?廠的最〃、值為2百一2；

如圖4,當(dāng)心>2店-2時，直線所與。。相交,

U：OD<OA,

：.OB+ODvOB+OA,

2r<8,

/.r<4,

二廠的取值范圍是2百-2Vr<4；

【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、用不等式求取值

范圍等知識與方法，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵，屬于考試壓軸題.

五、(本大題共2小題，每小題9分，共18分)

25

21.(2021?四川?廣漢市金輪第一中學(xué)九年級期末)已知拋物線y=a(尤-3>+一過點

C(0,4).頂點為與無軸交于A、B兩點.如圖所示以為直徑作圓，記作

(1)求拋物線解析式及。點坐標(biāo).

(2)猜測直線CM與。。的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

(3)拋物線對稱軸上是否存在點P,若將線段CP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90。，使C點的對應(yīng)點C

恰好落在拋物線上？若能，求點尸的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

125

【答案】(i)y=-W(x-3)9+—；(3,0)；

(2)相切；證明見解析；

(3)存在，P(0,l)或(0,3),理由見解析.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可確定拋物線解析式；然后確定交點的坐標(biāo)，再由題意即可

得出點￡)的坐標(biāo)；

(2)連接CM,CD,MD,利用勾股定理逆定理得出CM_LC￡>,由切線的判定定理即可證

明；

(3)假設(shè)存在點尸，設(shè)點尸(3,k),過點C作CGL對稱軸ATO,過點C作C'XL對稱軸

MD,則尸￡>=太根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得出C'(3+4-葭3+4)，

代入拋物線求解即可.

(1)

解：??,拋物線產(chǎn)。(％—3『+j過點C(0,4),

25

/.4=9(2+—,

4

解得：°=二,

4

1.75

???拋物線的解析式為y=-4x-3,

4、74

175

令y=0,貝！］一］(%-3)9+—=0,

解得：西=8,x2=-2,

???4-2,0),5(8,0),

AAB=10,

：.AD=5,OD=3,

???。(3,0)；

(2)

連接CM,CD,MD,如圖所示：

由拋物線的解析式得：M3,7,C(0,4),

V￡)(3,0),

?,?"=〔4一千：+(0一3)2章,

CZ)2=(4-0)2+(0-3)2=25,

DM2

哈4-。OB可嗤

CM2+CD1=DM2,

C.CMLCD,

'：CD=5,

直線CM與。。相切；

(3)

存在點尸，理由如下：

假設(shè)存在點尸，設(shè)點P(3,k),過點C作CGL對稱軸過點C'作C'H,對稱軸

則?。=晨

根據(jù)題意得NCPC'=/CGD=ZGDO=ZCOD=PHC=90°,

:.NCPH+/HPC=90。,ZGCP+ZGPC=90,四邊形CODG為矩形,

：.ZGCD=ZHPC,OC=GD=4,CG=OD=3,

\"CP=C'P

：.\CGP=APHC,

：.PG=CH=GD-DP=4-k,CG=PH=OD=3,

：.C'kCG+C'H,HP+PD)即(3+4-葭3+k)

:點C'在拋物線上，

解得：仁1或k=3,

.”(0,1)或(0,3).

【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用及直線與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì),

矩形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

22.(2022.河北?育華中學(xué)三模)如圖，在矩形A2CZ)中，A￡>=4,ZBAC=30°,點。為對

角線AC上的動點(不與A、C重合)，以點。為圓心在AC下方作半徑為2的半圓O,交

AC于點E、F.

備用圖

(1)直接寫出AC的長—；

(2)當(dāng)半圓。過點A時，求半圓被A8邊所截得的弓形的面積;

⑶若M為廝的中點，在半圓。移動的過程中，求的最小值;

(4)當(dāng)半圓。與矩形42CD的邊相切時，直接寫出AE的長—.

【答案】(1)8

⑵。-若

⑶2癢2

⑷2或6-拽

3

【分析】(1)根據(jù)含30度角的直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，得

AC=1BC,又因為矩形對邊相等，所以AC=2AD；

(2)設(shè)該半圓與AB的另一個交點為點G,連接OG,過點。作灰，48于點雙，由直角

三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求得AG=2A/3和ZAOG=120°,由扇形的面積公式和

三角形的面積公式計算求解即可；

(3)當(dāng)0、B、M三點共線時，的值最小，此時O3LAC,由直角三角形的性質(zhì)可求

出。3的長度，根據(jù)=03-00即可求出最小值；

(4)分類討論與A3邊和2C邊相切兩種情況，利用直角三角形的性質(zhì)求解即可.

⑴

解：在矩形中，ZB=90°,BC=AD=4

：.三角形3AC是直角三角形

；NBAC=30。，

：.AC=2BC,

：.AC=8.

故答案為：8.

(2)

解：如圖，當(dāng)半圓。過點A時，設(shè)該半圓與AB的另一個交點為點G,連接OG,過點。作

ONLAB于點N

：OA=OG=2,ZBAC=30°,

：.ZOGA=30°,

ON=l,

AG=2AN=2Ao.cosABAC=28,

ZAOG=120°.

2

120^x24萬SAAOG=^X1X2A/3=>/3.

形AOG—Q式八一公

,,S弓形4G=S扇形AOG-S&4OG

(3)

解：如圖，連接?！?，BM,

D

當(dāng)0、B、M三點共線時，的值最小，止匕時03,AC.

VAD=BC=4,ZBAC=30°,

.…BC

：.AB=---------=4V3r.

tan30°

/.OB=LAB=26.

2

BM=OB-OM=2s]3-2.

(4)

解：當(dāng)半圓0與矩形的邊相切時，分為與A2邊和BC邊相切兩種情況:

①如解圖，當(dāng)半圓。與4B邊相切于點G時，連接0G,則OGLAB.

VZBAC=30°,OG=2,

：.AO=4.

AE=AO-OE=4-2=2-,

②如解圖，當(dāng)半圓。與3C邊相切于點G時，連接0G,