第2課時函數性質的綜合應用

核心考點提升“四能”

考點一單調性與奇偶性結合

【例1】(1)若定義在R上的奇函數/⑴在(一8,0)上單調遞減，且"2)=0,則滿足獷(x—

1)\0的x的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-1,0]U[l,+°o)D.[-1,0]U[l,3]

D解析：由題意知/(x)在(一8,0),(0,+8)上單調遞減，且/(-2)=-/(2)=0,/(0)

=0.當x>0時，令/(無一1)。0,得OWx—1W2,所以1WXW3;當尤<0時，令/(無一1)WO,

得—2Wx—1W0,所以一iWxWl,又無<0,所以一lWx<0;當x=0時，顯然符合題意.綜

上，滿足4(尤—1)20的龍的取值范圍是[—1，O]U[1,3].故選D.

(2)已知函數/(x)的定義域為R,且/(2x+l)既是奇函數又是增函數，/(3)=2,則

-2的解集為()

A.{x|x<—2}B.[x\x<—3]

C.{x|x<—1}D.[x\x<0]

D解析：因為/(2x+l)是奇函數，所以/(—2x+l)=—/(2x+l).令尤=1,則/(—1)=—/(3).

又/(3)=2,所以/(—1)=—2.由/(2x—1)<—2,可得/(2x—1)勺'(—1).令f=2x+l,則函

數,=2x+l是R上的增函數，所以由復合函數的單調性，可知函數/⑺是R上的增函數，

即函數/(無)是R上的增函數，所以2x—1<—1,解得尤<0,所以/(2x—1)<—2的解集為

{A|X<0}.故選D.

[變式]若本例⑴條件中“奇函數”變為“偶函數”，則不等式對?(龍一1)20的解集為

[-1,0]U[3,+°°)解析：由題意知了(—2)=/(2)=0.當尤>0時，由好■(龍一1)\0,得f(x

—1)可(2).又偶函數/'(x)在(0,+8)上單調遞增，所以|x—1|22,解得x》3或xW—1,所

以x23.當x<0時，由好'(x—1)20,得/(x—l)W/(—2),所以尤一12一2,解得無N—1,所

以一lWx<0.當x=0時顯然成立.綜上，滿足對'(x—1)20的x的取值范圍是[―1,0]U[3,

+8).

A反思感悟

1.比較大小問題

一般解法是利用函數的奇偶性，把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化為

在同一單調區間上的有關自變量的函數值，然后利用函數的單調性比較大小.

2.解抽象不等式

(1)將所給的不等式轉化為兩個函數值的大小關系；

⑵利用函數的單調性脫去符號“/"，轉化為解不等式(組)的問題.

多維訓練_

1.(2024.濰坊模擬)已知函數/a)=(9'—33則/(勸()

A.是奇函數，且在R上是增函數

B.是偶函數，且在R上是增函數

C.是奇函數，且在R上是減函數

D.是偶函數，且在R上是減函數

C解析：因為函數/(x)的定義域為R,/(—x)=3*—Q)=~f(x),所以函數/(x)為奇函數.因

為函數y=(J,y=-3*在R上都是減函數，所以函數/(x)=(；)—3"在R上是減函數.故

選C.

2.已知定義在R上的偶函數/(尤)在［0,+8)上單調遞增.若/(Inx)勺'(2),則x的取值范圍

是()

A.(0,e2)B.(e?,+°o)

C.(e2,+8)D.(eVe2)

D解析：根據題意知，/(x)為偶函數且在［0,+8)上單調遞增，由/'(Inx)勺1(2),得|lnx|<2,

即一2<lnx<2,解得占2<%<?2,即尤的取值范圍是(e7,e2).

考點二奇偶性與周期性結合

【例2】(2024?荷澤模擬)已知函數〃尤)是R上的偶函數，且“X)的圖象關于點(1,0)對稱，

當尤可0,1］時，/(x)=2—2工，則/(0)+/(1)+/⑵+…+/(2024)的值為()

A.12B.—1

C.0D.1

D解析：因為函數/(元)是R上的偶函數，所以/(—無)=/(尤).因為/(x)的圖象關于點(1,0)

對稱，所以/(一尤)+/(2+x)=0,即/(x)+/(2+x)=0,所以/(2+x)=—/(尤)，所以/(4+x)

=-/(2+x)=/(x),所以函數/(x)的周期為4.當xG［0,1］時，/(無)=2—2工，所以/(0)=1,7

(1)=0.又/(2)=-/(0)=-1,/(3)=一7(1)=0,所以/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,所以/(0)

+/(1)+/(2)+-4-/(2024)=/(2024)=/(0)=1.故選D.

A反思感悟

已知函數的周期性、奇偶性求函數值，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所有函數值的自

變量轉化到已知解析式的區間內，把未知區間上的函數性質轉化為已知區間上的函數性質求

解.

多維訓練

????

1.設/(x)是定義在R上的周期為2的偶函數，己知當xG［2,3］時，/(x)=尤，則當xG［—2,

0]時，/(無)=()

A.x+4B.2—x

C.3-|x+l|D.2一|X+1|

C解析：因為/(x)是定義在R上的周期為2的偶函數，當xG[2,3]時,/(為)=無，所以當xG[—

2,—1]時，2+xd[0,1],4+xG[2,3],此時/(x)=/(4+x)=4+x;當xd[—1,0]時，一

%e[0,1],2—xd[2,3],此時/(x)=/(—x)=/(2—x)=2—x.綜上可得，當無e[—2,0]時，

/(x)=3一|尤+1|.

2.設函數/(尤)的定義域為R,且/(尤+2)是奇函數，/(2x+l)是偶函數，則一定有()

A./(4)=0B./(-1)=0

C./(3)=0D./(5)=0

A解析：因為函數/(2尤+1)為偶函數，所以/(1-2尤)=/(l+2x).令f=2尤，則/(1一。=/(1

+力，即/(I—x)=/(l+x),則/(x)=/(2—尤).因為函數f(x+2)為奇函數，所以/(2—x)=一

/(x+2),所以函數/(尤)的圖象關于直線x=l對稱，也關于點(2,0)對稱，則"2)=—/(2),

可得/(2)=0,所以/(x)=—/(x+2)=/(x+4),故函數/(x)為周期函數，且周期為4.對于A

選項，/(4)=/(0)=〃2)=0,A正確；對于B,C,D選項，/(—1)=/(3)=-/(1),/(5)=/(1),

但/(I)的值無法確定.故選A.

考點三奇偶性、周期性與對稱性的結合

【例3】已知定義在R上的奇函數/(x)滿足/(無一4)=—/(尤)，且在區間[0,2]上單調遞增，

則()

A./(-15)</(21)</(90)B./(90)</(21)<f(-15)

C./(-15)<f(90)<f(21)D./(21)</-(-15)</(90)

D解析：因為/(x-4)=-/1(尤)=/(x+4—4)=一/(了+4)可(乃=一丁(尤+4)=/(尤+4)=—/。:

+8),所以/(x)=/(x+8),因此函數/(x)的周期是8,/(-15)=/(-15+16)=/(1),/(21)

=/(24-3)=/(-3)=-/(I),/(90)=/(88+2)=/'(2).因為函數/(尤)是定義在R上的奇函數，

所以y(o)=o.又因為了(尤)在區間[0,2]上單調遞增，所以y(2)y(i)牙'(0)=0,所以y(2i)=一

/(1)<0,所以7(21)勺■(—15)勺'(90).故選D.

??反思感悟

對于函數性質結合的題目，函數的周期性有時需要通過函數的奇偶性得到，函數的奇偶性體

現的是一種對稱關系，而函數的單調性體現的是函數值隨自變量變化而變化的規律.因此在

解題時，往往需要借助某個區間上函數的奇偶性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實

現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題.

多維訓練.

1.(多選題X2024?廣東一模)已知偶函數/(尤)的定義域為R,/Qx+1)為奇函數，且丁。)在[0,

1]上單調遞增，則下列結論正確的是(BD)

A./(—9<。B./g)>0

C./(3)<0D.f(空)>0

2.定義在R上的奇函數/⑴滿足/(x+2)=/(—x),且當xG[0,1]時，/(x)=2"—cosx,則

下列結論正確的是()

A.f(空討(等)寸(2022)B./(2022)式(亨)寸(等)

C./(2022)寸管)勺(掌)D.f(等)4管)<f(2022)

A解析：因為/(%)是奇函數，所以/a+2)=/(—%)=—/(x),所以/a+4)=—/a+2)=/(x),

所以/(X)的周期為4,所以/(2022)=/(2+4X505)=/(2)=/(0),

/(等)="Y+4X253)可(-；)=，(；)=/(等)

=f(4xl68+2+g)=/(2+；)=—/Q.

因為當xe[0,1]時，/。)=2」cosx單調遞增，所以/(0)</0),

所以/@<—f?V~/(0)=/(0)，所以/(一)(等)</(2022).故選A.

課時質量評價(八)

。考點鞏固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0

1.(2024?廣東模擬)已知函數/(x+1)的圖象關于點(1,1)對稱，則下列函數是奇函數的是()

A.y=/(x)+lB.y=f(x+2)+\

C.J=/(x)-lD.y=/(x+2)-l

D解析：由題意知，將函數/(x+1)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位

長度，所得函數關于點(0,0)對稱，則所得函數為奇函數，所以y=/(x+2)—1為奇函數.故

選D.

2.已知偶函數/(x)的定義域為R,當xd[0,+8)時,/(x)=*,則/(x—1)〈的解集為(C)

A.(。，2)B.aJ

C.(—8,0)U(2,+8)D.(-00,1)u,+8)

3.(2024?南通模擬)雙曲函數起初用來描述一些物理運動過程，后來又大量應用于計算機科

學、經濟和金融領域.若雙曲正切函數為tanl^=±J,則tan〃M)

e'+ex

A.是偶函數，且在R上單調遞減

B.是偶函數，且在R上單調遞增

C.是奇函數，且在R上單調遞減

D.是奇函數，且在R上單調遞增

D解析：令/(無)=七二，定義域為R,因為/(—x)==^=—/(x),所以/(x)為奇函數.又

e^+e*e*+e*

簡+e-x)—|—evI

因為了'(%)=-----——TV——~=7―所以/(X)在R上單調遞增.故選D.

(er+e-(g+e-*)

4.若/(x)=er—訛，為奇函數，則—e的解集為()

A.(一8,2]B.(一8,1]

C.[2,+8)D.[1,+°0)

D解析：由/(x)=er—ae，為奇函數，得了(一X)+/(%)=(3+^^一.(/*+3)=0,解得a

=1,所以/(x)=er—e*,易知函數/(x)是R上的減函數.不等式e等價于/(x)W/

(1),因此x'l,所以不等式/(x)W：—e的解集為[1,+8).故選D.

5.(2024?濰坊模擬)已知函數/(x)的定義域為R"(x+1)為偶函數,7(x+4)=/(—x),則()

A.函數/(x)為偶函數

B."3)=0

D./(2023)=0

A解析：因為/a+i)為偶函數，所以/a+i)=/(—x+i),所以/(%)的圖象關于直線％=

1對稱，所以/(x+2)=f(—%),又因為/。+4)=/(—1),所以/(%)的圖象關于x=2對稱，

所以由'(”+4)—?，得/(%+4)=/。+2),即，a+2)=/a),所以/&)是周期為2的函

/(x+2)=/(-%),

數.由^f(-x)=f(x),所以/⑴為偶函數，故選A.

6.(多選題)已知函數/。)=2而。下列結論正確的有()

A.”元)是周期函數

B.7(x)的圖象關于原點對稱

C./⑴的值域為[一三

D.7④在區間卜(月上單調遞增

AD解析：對于A,因為1x+2E)=2sina+2硝=2sim=y(x)(kez),所以/(X)是周期函數，所以

A正確；

對于B,因為人一苫)=2.(-幻=2-血=/W-/(x),所以八無)不是奇函數，所以/(X)的圖象不關

于原點對稱，所以B錯誤；

對于C,因為一IWsinxWl,所以2-W2siy2i,即;W?x)W2,所以函數小)的值域為[；,2]，

所以C錯誤;

對于D,令r=sinx,則y=21因為r=sinx在［一］，目上單調遞增，＞=2,在R上單調遞增，

所以y(x)在區間［―，上單調遞增，所以D正確.

7.(多選題)已知函數/(尤)為R上的奇函數，/(1+尤)為偶函數，貝！1()

A./(-2-.r)+/(x)=0

B./(l-x)=/(l+x)

C./(x+2)=/(x-2)

D./(2023)=0

BC解析：因為/(無)為R上的奇函數，所以〃—x)=一/(x).因為/(1+x)為偶函數，所以

/(-x+i)=/(x+i),故B正確.由丁(一犬+1)=/1(無+1),可得/(一勸=/1(尤+2),所以y(x+

2)=—/(無).因為/(—2—x)+/(x)=/(x)—/(x+2),其結果不一定為零，故A不正確.由/(X

+2)=-/(%),得/任)=一/。-2),所以/。+2)=/(尤一2),故C正確.由/(x+2)=-f(x),

得了(x+4)=/(x),所以/⑴的周期為4,所以/(2023)=/(3)=/(—1)=一/(1),因為/(I)從

題意無法得出，故。不正確.故選BC.

8.偶函數/(x)的圖象關于直線x=3對稱，若/(4)=2,則/(—2)=.

2解析：(方法一)由函數/(x)為偶函數，得了(—2)=/(2).由函數/(x)的圖象關于直線x=3

對稱,得f⑵=f(4)=2,所以/(—2)=2.

(方法二)由函數/(x)為偶函數及函數/(x)的圖象關于直線x=3對稱，得/(x)的周期T=2X|3

-0|=6,則由周期性，得了(-2)=/(4)=2.

9.若了⑴是R上的偶函數，且在(0,上單調遞減，則函數/(x)的解析式可以為/(x)=

.(寫出符合條件的一個即可)

一/(答案不唯一)解析：若/(%)=一/，則/(-%)=-(-X)2=-X2=/(%),故/(X)為偶函數，

且易知/(無)在(0,+8)上單調遞減，故/(無)在(0,上單調遞減，符合條件.

10.周期為4的函數/(尤)滿足/(尤)=/(4一x),且當尤6［0,2］時/(x)=/—1,則不等式/(x)W0

在［-2,2］上的解集為.

1-1,1J解析：因為/(x)的周期是4,則/(x)=/(4—尤)=/(一尤)，所以/(尤)是偶函數.當xd［0,

2］時J(x)=x3—1是增函數，且7(1)=0,所以不等式/(無)W0可化為/(⑼可⑴，所以|x|Wl,

即一IWxWL

。高考培優

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

11.定義在R上的偶函數“X)在(一8,0］上單調遞增，且/(logz^nO,則滿足對?(%—4)20

的工的取值范圍是()

A.(—8,0)U［2,6］

B.(—8,0］U［2,6］

C.(—8,0)U[4,6]

D.(—8,0]U[4,6]

B解析：定義在R上的偶函數/(x)在(一8,0]上單調遞增，可得/(x)在[0,+8)上單調遞

減，又(1理2{)=/(_2)=/(2)=0,

則當一2W%W2時，/(x)20;當xW—2或x22時，/(x)W0.

、…人、*(xWO,

又對?(%—4)20等價為,、或，、

(/(x-4)20(/(x-4)W0,

即產。，或卜wo，

l-2Wx-4W21x-4W—2或x-422,

解得2WxW6或尤W0.故選B.

12.(多選題)函數/(x)的定義域為R,且/(尤一1)與/(尤+1)都為奇函數，則下列說法正確的

是()

A./(x)是周期為2的周期函數

B.7(x)是周期為4的周期函數

C./(尤+2)為奇函數

D./(x+3)為奇函數

BD解析：因為函數/(x)的定義域為R,且/(x—1)與/(x+1)都為奇函數，所以/(一無一1)

=-/U-1),/(-x+l)=-/(x+l),所以y(x)=—/(一尤一2),/(尤)=—/(一尤+2),所以/(一

x—2)=/(一尤+2),即/(x+4)=/a),故B正確，A錯誤；因為/(x+3)=/'(x+3-4)=/a

-1),且/(x—1)為奇函數，所以/(尤+3)為奇函數，故D正確；因為/(x+1)為奇