第二章一元二次函數、方程和不等式全章綜合測試卷（提高篇）

【人教A版2019】

考試時間：120分鐘；滿分：150分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時120分鐘，本卷題型針對性

較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2023春?福建莆田?高二校考階段練習）對于任意實數a,6,c,d,以下四個命題中的真命題是（）

A.若a>b,cW0,則ac>beB.若a>b>0,c>d,則ac>bd

C.若Q>b,貝壯〈工D.若。。2>兒2,則a>b

ab

2.（5分）（2023?全國?高三專題練習）若實數x,y滿足，則"+y的取值范圍（）

A.[1,+oo）B.[3,+oo）C.[4,+oo）D.[9,+8）

3.（5分）（2023春?河北保定?高一校考期中）已知。=魚，b=V7-V3,c=V6-V2,則a,b,c的大

小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

4.（5分）（2023春?山西太原?高二校考階段練習）已知函數/（久）=/+。％+力5/GR）的值域為[0,+8）,

若關于％的不等式f（'）<c的解集為（孤血+6）,則實數c的值為（）

A.9B.8C.0D.6

5.（5分）（2023?全國?高三專題練習）已知關于%的不等式a/+ft%+c<0的解集為｛久<一1或%>4],

則下列說法正確的是（）

A.a>0B.不等式aM十次+b>0的解集為｛%|2-近<%V2+夕｝

C.a+b+c<0D.不等式a%+h>0的解集為｛汽|%>3｝

6.（5分）（2023?全國?高三專題練習）若久>0,、>0且％+37=2,則下列結論中正確的是（）

A./+、2的最小值是1B.孫的最大值是:

C.|+：的最小值是4魚D.?+后的最大值是2

7.（5分）（2023?全國?高三專題練習）若對任意實數第>0,y>0,不等式％+〈a（%+y）恒成立，則

實數a的最小值為（）

A.—B.V2-1C.V2+1D.四

22

8.（5分）（2023?全國?高三專題練習）已知對一切％6[2,3],yG[3,6],不等式一盯+丫2之0恒成立，

則實數m的取值范圍是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2023?全國?高三專題練習）[多選]下列說法正確的是（）

A.若出？>0,則a+b>2y[abB.若a>b>0,則M—fa3>a2b—0爐

C.若a>b>0,則a+6<J2（a2+胡）D.若ab<0,貝!|2+巴>2

vab

10.（5分）（2022秋?廣東.高一校聯考期中）下列說法正確的有（）

A.丫=①的最小值為2

X

B.已知久>1,則y=2%+'——1的最小值為4或+1

JX-1

C.已知正實數居y滿足％+2y=3%y,則2%+y的最大值為3

D.若關于％的不等式（a-2）%2+2（a-2）%-4<0對一切久ER恒成立，則實數a的范圍是一2<a工2

11.（5分）（2022秋?湖北十堰?高一校考階段練習）已知正實數%,y滿足3%+y+-13=0,且2/-t-4<

2y-孫恒成立，則t的取值可能是（）

A.--B.-1C.1D.-

22

12.（5分）（2023?全國?高三專題練習）已知二次函數y=aM+力％+c（a。0,a,仇c為常數）的對稱軸為

%=1,其圖像如圖所示，則下列選項正確的有（）

B.當時，函數的最大值為。一小

C.關于％的不等式a/+bx2＞a(x2—2)2+b(x2—2)的解為X＞迎或汽＜—V2

D.若關于％的函數￡=x2+bx+1與關于t的函數y=產+況+1有相同的最小值，則仍一1|2通

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023?全國?高三專題練習）若實數乃y滿足j,則3x+y的取值范圍為.

14.（5分）（2023?全國?高三專題練習）已知無€[4,+8）,ye（0,5],ze（0,1],則藝竺上+燈的最小

x+2zy

值為.

15.（5分）（2023秋?湖南長沙?高一校考期末）已知實數a,6滿足0<b<1+a,若關于x的不等式（a2-I）%2+

2bx-b2<。的解集中有且僅有3個整數，則實數a的取值范圍是.

16.（5分）（2023春?浙江?高一校聯考期中）已知對任意xeR,均有不等式a/+bx+c>。成立，其中。<0.

若存在teR使得（1—t）a+（1+2t）b+3c=0成立，貝股的最小值為.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2023?高一課時練習）一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地

板面積的比應不小于10%,而且這個比值越大，采光效果越好.設某所公寓的窗戶面積為am2,地板面積為

bm2,

（1）若這所公寓窗戶面積與地板面積的總和為330m2,則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米？

（2）若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，設增加的面積為tm2,則公寓的采光效果是變好了還是變壞了？

請說明理由.

18.（12分）（2023?高一課時練習）（1）比較/與/一%+1的大小;

（2）已知a>6>c,且a+6+c=0,

①求證:

—a-c>—b-c.

②求?的取值范圍.

19.(12分)(2023春?河北石家莊?高一校考階段練習)若正數”，b,c滿足a+b+c=l.

(1)求ab+be+ca的最大值；

(2)求證：念+士+￡對.

20.(12分)(2023春?江西景德鎮?高二校考期中)已知函數/(%)=(7H+1)%2一瓶%+租—1(租eR).

(I)當m>一2時，解關于x的不等式/(%)>m；

(II)若不等式/(%)之。的解集為D,且[一1,1]1。，求m的取值范圍.

21.(12分)(2022?高一課時練習)已知％>0,y>0.

(1)若久y=2,x>y,不等式％2+y2-47n%+4/nyz0恒成立，求實數機的取值范圍;

(2)若不等式工+工+'20恒成立，求實數m的最小值；

xyx+y

(3)若x+y=l.且工+229恒成立，求正實數a的最小值.

xy

22.(12分)(2022秋.廣東廣州?高一校考階段練習)已知函數了=￡1/一(2(1+3)%+69610.

(1)若y>。的解集是{xI%<2或x>3},求實數a的值；

(2)若y+2>0恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)當a=1.時，若一2W%<2時函數yW—(m+5)x+3+m有解，求根2+3的取值范圍.

第二章一元二次函數、方程和不等式全章綜合測試卷（提高篇）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2023春?福建莆田?高二校考階段練習）對于任意實數a,仇c,d,以下四個命題中的真命題是（）

A.若c#=0,貝！Jac〉beB.若a>b>0,c>d,則ac>bd

C.若a>b,貝壯〈工D.若。。2>比2,則a>b

ab

【解題思路】采用舉反例的方法，可判斷A,B,C,利用不等式性質可判斷D.

【解答過程】若a>b,當c<0,則ac<be,A錯誤；

若a>b>0,c>d,取a=2,b=l,c=—1,d=-2,滿足條件，但ac=bd,B錯誤;

若a>b,取Q=1,b=—1，則工>=，C錯誤；

若知2>兒2,則必有。,故02>0,則a>b,D正確，

故選：D.

2.（5分）（2023?全國?高三專題練習）若實數尤，y滿足晨;短、，則勿+y的取值范圍（）

A.[1,+oo）B.[3,+oo）C.[4,+oo）D.[9,+8）

【解題思路】設2%+y=+y）+九（5%+2y）,求出成九，再根據不等式的性質即可得出答案.

【解答過程】解：設2%+y=+y）+幾（5%+2y）,

解得m=n=I，

故2久4-y=1(x+y)+|(5%+2y),

%+y>1

又因

5%+2y>2

所以久久+y)>+2y)>

所以2x+y>1.

故選：A.

3.（5分）（2023春?河北保定?高一校考期中）已知a=V^,fa=V7-V3,c=V6-V2,則a,b,c的大

小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【解題思路】通過作差法，。-6=奩+遮-夕，確定符號，排除D選項;

通過作差法，a_c=2五一顯確定符號，排除C選項；

通過作差法，b-c=(V7+V2)-(V6+V3),確定符號，排除A選項；

【解答過程】由a-6=魚+8一夕，且(魚+b>=5+2遙>7,故a>b；

由a—c=2V2—V6_IL(2V2)2=8>6,故a>c；

-c=(V7+V2)-(V6+百)且(乃+V3)2=9+2V18>9+2V14=(V7+V2)2,故c>b.

所以a>c>b,

故選：B.

4.(5分)(2023春?山西太原?高二校考階段練習)己知函數/(*)=無2+a*+6(a,bGR)的值域為[0,+8),

若關于久的不等式/(K)<c的解集為(犯小+6),則實數c的值為()

A.9B.8C.0D.6

2

【解題思路】由題意可得％=n然后求出不等式/(無)<C的解，結合已知條件可得出關于C的方程，進而

4

可求得C的值.

【解答過程】由題意知/(%)=/+Q%+b=(%+§+匕-亍，

22

因為函數/(%)的值域為[0,+8),所以，b-亍=0,可得6=亍，

由/(%)Vc可知c>0,且有(％+])<c,解得一'一五V%+正，

所以，771=———VF,771+6=——+VF,

所以，6=(m+6)—m=2y[c,解得c=9.

故選：A.

5.(5分)(2023?全國?高三專題練習)已知關于%的不等式a/+/)%+c<0的解集為｛%|%<一1或久>4),

則下列說法正確的是()

A.a>0B.不等式a/+ex+b>0的解集為｛%|2—V7<x<2+V7｝

C.a+b+c<0D.不等式a%+b>0的解集為｛%|%>3)

【解題思路】根據解集形式確定選項A錯誤；化不等式為/-4%-3V0,即可判斷選項B正確；設f(%)=

ax2+fox+c,則判斷選項C錯誤；解不等式可判斷選項D錯誤.

【解答過程】解：因為關于％的不等式Q/+b%+cV0的解集為｛%[%<一1或%>4｝,所以QV0,所以選項

A錯誤；

a<0

-1+4=~~b=—3a,c=—4a,所以a/+c%+ft>0為％2—4%—3V0,.，.2—夕〈x<2+

-1x4=-

{a

夕.所以選項B正確；

設f（%）=a/+bx+c,貝！J/（l）=a+b+c>0,所以選項C錯誤；

不等式a%+Z?>0為ax—3a>0,.<-%<3,所以選項D錯誤.

故選：B.

6.（5分）（2023?全國?高三專題練習）若無>0,、>0且％+〉=2,則下列結論中正確的是（）

A./+y2的最小值是1B.的最大值是（

C.：+?的最小值是4魚D.?+后的最大值是2

）

【解題思路】根據％2+y2=（%+y2_2%y、-+i=if-+iV%+y）A（V%+4丫=%+V+2^/xy,利用

基本不等式依次求解最值即可.

【解答過程】對于A,%2+y2=（%+y）2—2xy=4-2xy>4—2x（苫^）=2（當且僅當％=y=1時

取等號），???（/+y2）mE=2,A錯誤;

對于B,,??Xy工（學）=1（當且僅當％=y=1時取等號），（%y）max=1，B錯誤；

對于C,V-+A=1（-+i）（%+y）=1（3+^+-）>-Xfs+2I型.4=巴叱（當且僅當2=工時取等號），

xy2\xyJ2\xy/2\-Jxy）2xy

對于D,（V%+Jy}2=x+y+2yfxy=2+2^/xy<2+x+y=4（當且僅當x=y=1時取等號），二

（G+J7）max=2,D正確.

故選：D.

7.（5分）（2023?全國?高三專題練習）若對任意實數x>0,y>0,不等式x+Wa（久+y）恒成立，則

實數。的最小值為（）

A.—B.V2-1C.V2+1D.—

22

【解題思路】分離變量將問題轉化為a>出亞對于任意實數久>0,y>。恒成立，進而求出出殛的最大值,

x+yx+y

設卡=t（t>0）及1+t=m（m>1）,然后通過基本不等式求得答案.

【解答過程】由題意可得，a>空運對于任意實數x>0,y>0恒成立，則只需求也空的最大值即可,生亙=

x+yx+yx+y

1+1+化1+X

設g=9>0)，則券，再設1+「=m（血>1）,則，=含mm1

22

l+(m-l)m-2m+2m+-m-2

心=等，當且僅當=V2-1時取得

X

所以a2等，即實數。的最小值為學.

故選：D.

8.（5分）（2023?全國?高三專題練習）已知對一切％E[2,3],y6[3,6],不等式—盯+y220恒成立,

則實數m的取值范圍是（）

A.m<6B.-6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【解題思路】令t=3分析可得原題意等價于對一切t6[1,3],m2t-t2恒成立，根據恒成立問題結合二

次函數的性質分析運算.

【解答過程】Vxe[2,3],ye[3,6],貝46扇芻，

??.汴[1，3]，

X'-,mx2—xy+y2>0,且％6[2,3],x2>0,

2

可得小22-0），

x\x/

令t則原題意等價于對一切tW[1,3],77121一產恒成立，

Ty=t—/的開口向下，對稱軸力=5

則當t=1時，y=1-/取到最大值'max=1-I2=0,

故實數血的取值范圍是m>0.

故選：C.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2023?全國?高三專題練習）[多選]下列說法正確的是（）

A.若ab>0,則a+B.若a>b>0,則/一/>a2人一

C.若a>b>0,則a+bV，2（屋+爐）D.若ab<0,貝壯+2>2

vab

【解題思路】取a,b為負數可判斷A；作差法可判斷B；對a+b<J2（4+爐）平方作差可判斷C;取a=4,

b=-1可判斷D.

【解答過程】對于A,若ab>0,則a,b可能均為負數，此時a+b<0,而>0,故A錯誤.

對于B,因為Q>b>0,所以a—b>0,

所以M—b3—a2b+ab2=a2(a—b)+h2(a—b)=(a—b)(a2+b2)>0,

即M—ft3>a2b—ab2,故B正確.

對于C,將不等式a+bVJ2g2+爐)兩邊同時平方,得(a+b)2<292+52),

整理得。2+62一2防>0,即(a—b)2>0,因為a>b,所以不等式成立，故C正確.

對于D,因為abv0,所以不妨取。=4,b=-1,貝膽+：=一工一4<0,故D錯誤.

故選：BC.

10.(5分)(2022秋?廣東?高一校聯考期中)下列說法正確的有()

A.y=也的最小值為2

JX

B.已知久>1,則y=2%+W—1的最小值為全匹+1

C.已知正實數須y滿足％+2y=3%y,則2%+y的最大值為3

D.若關于汽的不等式(a-2)%2+2(a-2)%-4<0對一切％ER恒成立，則實數a的范圍是一2<a<2

【解題思路】對于A選項，y=3=%+,利用基本不等式式可判斷，但要注意x范圍.

，XX

對于B選項，y=2x4—1=2(%—1)H---+1,后利用基本不等式解決問題.

/X-lX-1

對于C選項，由x+2y=3盯得翳=金+2=1,貝忸+y=(2x+y)圈+3,后利用基本不等式可解

決問題.

對于D選項，當a=2時，顯然成立.當a片2時，轉化為/(x)=(a-2)/+2(a-2)x-4圖像恒在x軸下方

即可.

【解答過程】對于A選項，y=9=易得

當久>0時，y=匚匚=%+->2lx--=2,當且僅當久=即久=1時取等號.

XXVXX

當％<0時，y==%+}=—(—%+$-2J(r)?=一2，

當且僅當一支=工，即％=-1時取等號.因條件中未告知x范圍，故A錯誤.

-X

對于B選項，“y=2%4-—V———11V—=12(x—1)+—+1,因久>1,

則2(%-l)+^-+l>2J2(x-1)~+1=4V2+1,

當且僅當2(%-1)=士，即％=/+1時取等號.故B正確.

X—1

對于C選項，由％+2y=3盯得匕空=—+—=1,

/173xy3y3x

則2x+y=(2x+y)島++|^+|>又/y為正實數.

則茲+江+三？2戶方+§=3.

3y3x373y3x3

取等號時有|^=小即x=y,代入x+2y=3xy,得x=y=1.

即當且僅當x=y=1時，上述不等式取等號.則2x+y的最小值為3.

又;+￡=1,當;無限接近1時，y無限接近"此時j無限接近于0,得x接近正無窮大，故2x+y無最大

3y3%3y,33%/

值.綜上，C選項錯誤.

對于D選項，當。=2時，原式化為一4V0,故。=2滿足條件.

當aW2時，不等式(a—2)%2+2(a—2)x—4<0對一切汽6R恒成立

等價于/(%)=(a-2)x2+2(a-2)x-4圖像恒在x軸下方.

有IA<0°,叫4(a一2尸+16(a-2)<0得-?<a<2.

綜上一2<aW2,故D正確.

故選：BD.

11.(5分)(2022秋?湖北十堰?高一校考階段練習)已知正實數尤,y滿足3x+y+xy-13=0,且2t2-t-4<

2y-%y恒成立，則/的取值可能是()

33

A.--B.-1C.1D.-

22

【解題思路】對式子變形，構造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解決恒成立問題.

【解答過程】由3x+y+xy-13=0,得(％+l)y=-3%+13,因為x>0,所以刀+140,所以y=考含=

-3+—,貝ik+y=x+2■—3=x+l+”一4》2V16-4=4,

x+1Jx+1X+1

當且僅當％=3時，等號成立，故2y-=3(%+y)-13》一1,

因為2t2—t—442y—%)/恒成立，所以2t2—t—340,解得—14t《*故A錯.

故選：BCD.

12.(5分)(2023?全國?高三專題練習)已知二次函數y=0%2+力%+0。。,見仇c為常數)的對稱軸為

%=1,其圖像如圖所示，則下列選項正確的有()

B.當。4支<1一。時，函數的最大值為c—M

C.關于式的不等式a—+bx2>a(x2—2)2+b{x2—2)的解為%>魚或％<—V2

D.若關于％的函數￡=%2+b%+1與關于t的函數y=12+從+1有相同的最小值，則仍一1|之而

【解題思路】A選項，由開口方向，與y軸交點，及對稱軸，求出見hc的正負，得到A正確；B選項，當

a<x<l-a0^,數形結合得到函數隨著%的增大而減小，從而求出最大值；C選項，結合力=-20，化簡

不等式，求出解集；D選項，配方得到兩函數的最小值，從而得到21-9，求出g-1|2遍.

【解答過程】A選項，二次函數圖象開口向上，故a>0,

對稱軸為x————故b=—2ci<0,

2a

圖象與y軸交點在y軸正半軸，故c>0,

所以abc<0,故|abc|+abc=—abc+abc=0,A正確；

B選項，因為b=-2a,故y=ax2-2ax+c,

因為a>0,所以

當。<%<1—a<1時，y=ax2—2ax+c隨著%的增大而減小，

所以％=a時，y取得最大值，最大值為y=。3一2小+仁B錯誤；

C選項，因為b=—2a,所以a/+_2ax2,

a(x2—2)2+b(x2-2)=ax4—4ax2+4a—2a(x2-2)=ax4-6ax2+8a,

故不等式a-+bx2>a(x2—2)2+b(%2—2)變形為4a廣—8a>0,

因為a>0,%2>2,解得：、>魚或％<一加,故C正確；

D選項，t=%2+6%+l=(x+1)2+l-^,當第=一g時，t取得最小值，最小值為1一日，

y=/+從+1=+1—空當方=—削寸，y取得最小值，最小值為1—彳，

所以一g21—彳，即爐―2b—420,所以(b—1)2>5,

即仍一1|>V5,故D正確.

故選：ACD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023?全國?高三專題練習）若實數x,y滿足則3x+y的取值范圍為

【解題思路】將3尤+y表示成關于（x+y）和（％-y）的表達式進行求解即可.

【解答過程】由不等式的性質求解即可.

解：3%+y=2(%+y)+(%-y),

因為實數*，y滿足

所以2<2(x+y)+(x—y)<5,

即3%+丫的取值范圍為(2,5).

故答案為：(2,5).

14.（5分）（2023?全國?高三專題練習）已知xe[4,+8）,ye（0,5],ze（0,1],則歿羅+等的最小

值為2+2魚

【解題思路】將四，竺+二上變形為高+學+；-+2,然后利用基本不等式求解得5空+9工+

x+2zyx+2z2y2yx+2z2y2y

22夜+19+2,再根據取等號的條件可得;=焉=備，判斷出（的范圍，進而判斷得當勺范圍，可得

1?連也可得所求最小值?

2x+y+4z,2x+z。,y(x+2z)+3xy.x+2z3X)

【解答過程】------------1-------=2-1----------F=-------1---------1---------FZ>Z|+|-|+2=V2+|^+

x+2zyx+2z2yx+2z2y2y

2,

當且僅當品=詈，即2y2=（%+2z￥時取“=”，

此時±==Vxe[4,+oo）,z6（0,1],

yxz+%

1

/.-e（o,1，.?-24=越，

x\4jy1+^32y

；?原式22+2近，此時x=4,y=3V2,z=1.

故答案為：2+2&.

15.（5分）（2023秋?湖南長沙?高一校考期末）已知實數a,6滿足0<6<1+a,若關于x的不等式（a2-I）%2+

2bx-b2<0的解集中有且僅有3個整數，則實數a的取值范圍是（L3）.

【解題思路】先對不等式左邊進行因式分解，再結合a>-1對a進行分類討論，分ae（-1,1）.a=1和a>1

三種情況，求出符合要求的實數〃的取值范圍.

【解答過程】(a2—l)x2+2bx—b2<0可變形為[(a+l)x—b]-[(a—l)x+fa]<0,

因為0<bV1+a,所以0<--<19

a+l

其中a>—1,

當時，y=(十一I)/+2bx-擾開口朝下，不合題意；

當a=l時，2版一。2<0,解得：所以不滿足整數解有且僅有3個，舍去；

當a>1時，y=(a2—l)x2+2bx—力2開口朝上，

因為匕<°，所以不等式解集為拉1匕<刀<^｝，

此時要想不等式解集中有且僅有3個整數，則這3個整數解為0,-1,-2,

則必有—3<<—2,所以2(a—1)<Z?<3(a—1),結合0<6<1+a,

所以2(a—1)<1+u,所以l<a<3,

綜上：aG(1,3)

故答案為:(1,3).

16.(5分)(2023春?浙江?高一校聯考期中)已知對任意xeR,均有不等式a/+bx+c>。成立，其中人<0.

若存在teR使得(1-t)a+(1+2t)b+3c=0成立，則t的最小值為(.

4

【解題思路】由一元二次不等式恒成立得c2&>0、a>0,將問題化為求t=列禁的最小值，令m=2<0

4aa-2ba

則t21+9當皿，應用基本不等式求最值，注意取值條件.

8——2m

【解答過程】由題設有爐W4ac,又b<0,貝肥2(>0,

(△=b/一4ac<04a

又(1—t)a+(1+2t)b+3c=a+b+3c+(2b—a)3貝！J2b—aV0,

a+b+3c

故存在tER使a+b+3c+(2b—a)t=0成立,則”

a—2匕

所以t=1+i+3令?i=2<o,故+

a—2b1——a8—m

”…3(--7n)2+5(m--)+-

所以t21+'~il+i-[(|-m)+^-5],且>小>0,

-2m

而卷,〔G_血)+“J、-5]>^?[2]G-叫.小9-5]=—：,僅當；—m=I，即m=-1等號成立,

oz4(--m)07z4(--m)4zz

所以t",僅當a=一且c=?=?時等號成立，故t的最小值為

故答案為：

4

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)(2023?高一課時練習)一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地

板面積的比應不小于10%,而且這個比值越大，采光效果越好.設某所公寓的窗戶面積為am2,地板面積為

bm2,

(1)若這所公寓窗戶面積與地板面積的總和為330m2,則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米？

(2)若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，設增加的面積為tm2,則公寓的采光效果是變好了還是變壞了？

請說明理由.

【解題思路】(1)根據題意列出關于a,b的等量關系和不等量關系，化簡求解即可

(2)分式的分子分母同時增加t,通過作差法比較新的分式與原來分式的大小，從而判斷采光效果變好了還

是變壞了

a+b=330?

【解答過程】(1)根據題意可得：｛a>ino/，貝帕=330-a,所以三一210%，解得：a230,所

'7bNlUvo330-a

以這所公寓的窗戶面積至少為30平方米

(2)同時增加窗戶面積和地板面積后，比值為二,則"-f=*3,因為b,t>O,b>a,

b+tb+tb%七匕(b+Rt)-atb(b+t)>O

r-ra+tat(匕一a)、M匚匚a

所以-b+-t----b=-7匕一(匕+~￡)>0,所以b一+t>b

所以同時增加相同的窗戶面積和地板面積后，公寓的采光效果變好了.

18.(12分)(2023?高一課時練習)(1)比較/與—+1的大小；

(2)已知a>b>c,且a+力+c=0,

①求證：—>

a-cb-c

②求￡的取值范圍.

a

【解題思路】(1)對兩式作差，然后因式分解并分X=l,%>1,X<1三種情況討論，即可求解；

(2)①由a>b>c且a+b+c=O,可得c<0,再結合不等式的基本性質，即可求解；

②由題意，有a>0,c<0,又2=—￡-1<1即可求解.

aa

【解答過程】解：(1)爐—(x2—X+1)=(%3—X2)+(%—1)=(%2+1)(%—1),

當％=1時，(/+1)(%—1)=0,故第3=X2—X+1,

當%>1時，(/+1)(%—1)>0,故％3>%2—%4-1,

當光<1時，(/+1)(%—1)<0,故/<%2—X+1；

(2)①證明：a>b>c且a+b+c=0,

???c<0,

???a>b>c,

a-c>h-c>0,兩邊取倒數得―-<―

a-cb-c

又CV0,

,從而得證.

(2)va>b>c且a+b+c=0,

a>0,c<0,

所以￡<o,-<i,

aa

因為a+b+c=0,所以1+2+工=0,即2=—￡一1,

CLCLCLCl

所以一￡一1<1,即￡〉—2,

aa

綜上，—2<-<0.

a

19.(12分)(2023春?河北石家莊?高一校考階段練習)若正數a,b,。滿足a+b+c=l.

(1)求ab+be+ca的最大值；

(2)求證：/+三+二n士

b+cc+aa+b2

【解題思路】(1)由(a+b+c)2=](2a2+2〃+2c?)+2(ab+be+ca),應用基本不等式求最大值，注

意取值條件；

(2)利用基本不等式求三+比2a、—+—>b,^-+—>c,即可證結論，注意等號成立條件.

b+c4c+a4a+b4

【解答過程】(1)由(a+b+c)2=標+力2++2(ab+be+ca)=1(2a2+2b2+2c2)+2(ah+be+ca),

所以(a+b+c)2>3(ah+be+ca),即ab+be+ca<|,僅當a=b=c=[時等號成立，

綜上，ab+be+ca的最大值為

(2)由它■+比22叵豆=a,僅當乙=比，即2a=b+c=三時等號成立，

b+c47b+c4b+c43

由￡+匯22隹二五=b,僅當乙+蟲，即2b=c+a=2時等號成立，

c+a47c+a4c+a43

由士+^>2I—■—=c,僅當士+—,即2c=a+b=々時等號成立，

a+b4、/a+b4a+b43

綜上，乙+—+=2a+b+c-（空+色+山）=山=工，僅當a=b=c=工時等號成立.

20.（12分）（2023春?江西景德鎮?高二校考期中）已知函數/（%）=（7H+1）%2—772%+租—1（772eR）.

（I）當相>一2時，解關于x的不等式/（久）>m；

（II）若不等式/（%）Z0的解集為D,且［一1,1］1。，求m的取值范圍.

【解題思路】（I）將不等式化為一般形式，然后根據血的取值情況分類討論求解即可.（II）將條件中的

集合間的包含關系轉化為不等式恒成立的問題解決，然后分離參數后再轉化為求函數的最值的問題，最后

根據基本不等式求解可得所求.

【解答過程】（I）由/（%）>m得，（m+l）x2-mx-1>0.

即［（TH+l）x+l］（x—1）>0.

①當zn+l=0,即zn=—1時，解得％N1；

②當TH+1>0即zn>一1時，解得％<——'或久>1；

771+1

③當zn+1<0,即一2VznV—1時，

m+2、?

由T于----1---?，

m+11=----m--+--1>0

故解得1W%工--m-+1

綜上可得：當>—1時，解集為｛式[%4—7nx或％-1｝；

當血=一1時，解集為｛%|第21｝；

當一2<m<一1時，解集為｛%|1<x<一品I

(II)不等式/(%)>0的解集為D,且[一1,1]UD,即任意的久6[—1,1]不等式(m+I)%2—mx4-m-1>0恒

成立.

即m(%2—%+1)>—x2+1對任意的%6[—1,1]恒成立,

由于久2—%+1>0,

Am>x二2-:x++：l=-1+x2-x+l對任意的久e恒成立.

令力=2—xE[1,3],則x=2—3

..2-xtt，

?---------=-------------------=----------=————1v,——1——=1y----2-V-3-,

一%+i(2—t)2—(2-t)+lt2—3t+3t+——32.y/3—33

當且僅當t=g,即％=2-遮時等號成立.

?—x2+l12—x2V3

??~；----——14—；----工,

x^-x+l*-％+13

實數小的取值范圍是[/,+8)

另解：

不等式/(%)>0的解集為。，且[一1,1]UD,即任意的％6不等式(6+I)%2-mx+m-1>0恒成

立.設g(%)=(m+l)x2—mx+m—1

⑴當巾+1<0時產二？，解得巾e0

(g(l)>0

(2)當m+1=0時,gQv)=x-2,當％6時恒小于0,不滿足，舍去

(3)當zn+1>0時，

(i)21=m2—4(m+l)(m—1)<0,即m<—手或m>?,得m>手

mm

(>1(《I

(ii)[2(m+l)或12(m+l)，解得7ne0

1^(1)>0l5(-i)>o

綜上可得實數m的取值范圍是[竽,+00).

21.(12分)(2022