人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1§1.1空間向量及其運算1．1.1空間向量及其線性運算第1課時空間向量及其線性運算學習目標1.經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程.3.掌握空間向量的線性運算．導語國慶期間，某游客從上海世博園(O)游覽結束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠(B)游玩，如圖1，游客的實際位移是什么？可以用什么數學概念來表示這個過程？如果游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，如圖2，那么他實際發生的位移是什么？又如何表示呢？一、空間向量的有關概念知識梳理1．在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模．空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模，a的起點是A，終點是B，則a也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.2．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規定長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量注意點：(1)平面向量是一種特殊的空間向量．(2)兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同．(3)向量不能比較大小．(4)共線向量不一定具備傳遞性，比如0．例1(1)下列關于空間向量的說法中正確的是()A．單位向量都相等B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同〖答案〗D〖解析〗A中，單位向量長度相等，方向不確定；B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；C中，向量不能比較大小．(2)(多選)下列命題為真命題的是()A．若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝bB．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))C．若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝pD．空間中，a∥b，b∥c，則a∥c〖答案〗BC〖解析〗A為假命題，根據向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；B為真命題，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命題，平行向量不一定具有傳遞性，當b＝0時，a與c不一定平行．反思感悟空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念．(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．解(1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3個．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(|AC|2＋|CC1|2)＝eq\r(|AB|2＋|BC|2＋|CC1|2)＝3.二、空間向量的加減運算問題空間中的任意兩個向量是否共面？為什么？〖提示〗共面，任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，因此空間中向量的加減運算與平面中一致．知識梳理加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述加法運算交換律a＋b＝b＋a結合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意點：(1)求向量和時，可以首尾相接，也可共起點；求向量差時，可以共起點．(2)三角形法則、平行四邊形法則在空間向量中也適用．例2(1)(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運算結果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))〖答案〗AB〖解析〗A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故選AB.(2)化簡(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________.〖答案〗0〖解析〗方法一(轉化為加法運算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0．方法二(轉化為減法運算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0．反思感悟空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．跟蹤訓練2如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標出化簡結果．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，如圖中向量eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，如圖中向量eq\o(AF,\s\up6(→)).三、空間向量的數乘運算知識梳理定義與平面向量一樣，實數λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λa的長度是a的長度的|λ|倍λ<0λa與向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb注意點：(1)當λ＝0或a＝0時，λa＝0．(2)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度．(3)向量λa與向量a一定是共線向量．例3如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋c.(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.延伸探究1.例3的條件不變，試用a，b，c表示向量eq\o(PN,\s\up6(→)).解因為P，N分別是D1C1，BC的中點，所以eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝－a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2．若把例3中“P是C1D1的中點”改為“P在線段C1D1上，且eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)”，其他條件不變，如何表示eq\o(AP,\s\up6(→))？解eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))1＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(2,3)b.反思感悟利用數乘運算進行向量表示的技巧(1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質．跟蹤訓練3已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).解(1)由圖可知，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.1．知識清單：(1)向量的相關概念．(2)向量的線性運算(加法、減法和數乘)．(3)向量的線性運算的運算律．2．方法歸納：類比、三角形法則、平行四邊形法則、數形結合思想．3．常見誤區：應抓住向量的“大小”和“方向”兩個要素，并注意它是一個“量”，而不是一個數．1．(多選)下列命題中，真命題是()A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等〖答案〗ABC〖解析〗容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量．2．化簡eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的結果是()A.eq\o(PM,\s\up6(→)) B.eq\o(NP,\s\up6(→))C．0 D.eq\o(MN,\s\up6(→))〖答案〗C〖解析〗eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0．3．設有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形〖答案〗A〖解析〗∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四邊形ABCD為平行四邊形．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各