【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結(新高考通用)

素養拓展14平面向量中等和線的應用(精講+精練)

、知識點梳理

一、平面向量共線定理

已知而=49+〃51,若;I+〃=1,則A,B,C三點共線，反之亦然.

二、等和線

平面內一組基底無施及任一向量而，而=幾宓+〃5瓦若點P在直線AB上或者在平行

于A8的直線上，則幾+〃=左(定值)，反之也成立，我們把直線A8以及與直線平行的直線稱為等和

線.

(1)當等和線恰為直線A8時，k=l;、、由

(2)當等和線在。點和直線AB之間時，左e(0,l);

(3)當直線A8在點。與等和線之間時，ke(l,+oo)；

(4)當等和線過。點時，k=0；

(5)若兩等和線關于。點對稱，則定值A互為相反數.°、

三、證明步驟

如圖1,P為AAOB所在平面上一點，過O作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=%。4+yOB

圖1

下面根據點P的位置分幾種情況來考慮系數和x+y的值

①若Pe/時，則射線0P與/無交點，由///AB知，存在實數4,使得加=4而

而通=礪—0X,所以赤=4歷—2函，于是x+y=4U=0

②若時，

(i)如圖1,當P在/右側時，過P作CD//AB,交射線Q4,08于C,。兩點，則

AOCD-AOAB,不妨設AOC。與AQ43的相似比為人

由P,C,。三點共線可知：存在2eH使得：OP=AOC+(l-A)OD=kAOA+k(l-^OB

所以x+y=kZ+^(1-A)=k

(ii)當尸在/左側時，射線0P的反向延長線與A5有交點，如圖1作尸關于。的對稱點P',由6)的

分析知：存在存在/LGH使得：OP'=AOC+(l-^OD=kAOA+(l-^OB

所以聲=-左/l赤+-(1—2)OB于是x+y=-左2+-k(l-A)=-k

?

綜合上面的討論可知：圖1中而用雨,礪線性表示時，其系數和x+y只與兩三角形的相似比有關。

我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。因為

三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過。作A3邊的垂線設

點P在/'上的射影為P,直線/'交直線A3于點則次1=告胃(左的符號由點尸的位置確定)，因此

Iu勺I

只需求出QPI的范圍便知y的范圍

一般解題步驟：(1)確定單位線(當2+〃=1時的等和線)；(2)平移等和線，分析何處取得最值；

(3)從長度比計算最值.

二、題型精講精練

【典例1】設。,E是AABC邊上的點，=若詼〃而，則2+〃=()

【解析】因為崖=理一亞，所以正一罰=兄赤+〃近，因為ADngAB,所以

AE=AB+^iAC,由于此時等和線為BC,所以；1+萬+〃=1,即；1+〃=5

【典例2】如圖，四邊形Q43c是邊長為1的正方形，點。在。4的延長線上，且AZ)=2,點。是八68

(含邊界)的動點，設赤=4祝+〃礪，則2+〃的最大值為()

B

【解析】當點P位于點3時，過點5作GH//DC,交OC,OD的延長線于G,H，則OP=xOG+yOH,

且X+y=l,所以赤=礪=%而+、聞=—%雙+—丁麗=；1瓦+"赤，所以

333

A+ju=—x+—y=—.

222

3

故答案為：—,

2

【題型訓練-刷模擬】

一、單選題

1.已知。為AABC的外心，若A(0,0),3(2,0),AC=1,ABAC=120。，且Zd=2AB+//AC,則4+〃=

)

【解析】過點A作AGJ_BC于G,過點。作于H，

過點。作EFVABC交AC的延長線于E,交A3的延長線于廠，

因為A(0,0),5(2,0),AC=1,ABAC=120。,則AB=2,從而有CB=布,

叵

而三角形&4BC的外接圓的半徑為7>±=*,所以。”

sin120023~6~

_V21

]S76

且AG4C=ACAB-sinl20。，所以AG="，所以甘盤==有,

7AE尸721+72113

所以AC=9AE,AB=9AE,故而=包衣+也/，由于/+包=1,因此2+〃=上.

1313131313136

.1___.

2.在AABC中，M為邊2C上的任意一點，點N在線段AW上,且滿足4V=§MW,若麗=/通+〃AC（Z〃eR）,

則2+〃的值為（）

A.-B.-C.1D.4

43

【答案】A

【解析】設兩=應?（醺91）,AN=^NM,

^r]^AN=-AM=-（AB+BM）

44

=-AB+-tBC

44

=-AB+-t（AC-AB）

44

11—.1—.

=（------t）AB+-tAC,

444

又前二;I南+〃正，

-」1、11

4444

故選：A.

3.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若瓦=久成+〃礪，則

2+〃的最大值為（）

A.3B.2V2C.75D.2

【解析】：根據圖形可知，當點P在圓上運動到與A點距離最大時

A

AP

九+〃有最大值，此時X+〃=F，過A點作BD的垂線，如圖所示垂足分別為M、N,則

AQ

2AP=AM=3

AQAN

答案：A

4.在AABC中，點D是線段BC上任意一點,且滿足AD=3AP，若存在實數m和n,使得BP=mAB+〃AC，

貝！Jm+n=()

2121

A.-B.-C.--D.--

3333

【解析】BP=AP-AB=mAB+nAC?則AP=(〃z+l)A5+〃AC，

所以機+1+鞏="=工，貝!］機+"=工一1=一2

AD333

答案：C

5.已知拋物線x2=4y的焦點為F,點C(0,-2),過點F且斜率為1的直線交拋物線于AB兩點，點P為拋

物線上任意一點，若CP=nzCA+“CB，則m+n的最小值為()

1123

A.-B.-C.一D.-

3234

CPCP

【解析】因CP=MC4+"C3,則冽+〃=\—,當等和線相切于拋物線時機+〃二=一有最小值，過C作

CRCR

CPCS

兩等和線的垂線，垂足分別為T、S,則上一=舁

CRCT

由拋物線方程為必=4丁可得直線AB方程為x-y+l=。，y=|=l,故

13

切點為尸(2,1),此時切線方程為x—y—1=0,CS=忑,CT=&

則加+〃=金=5」

CRCT3

答案：A

6.在矩形ABCD中，AB==2,動點p在以點C為圓心且與相切的圓上，若衣=4通+〃而,

則4+〃的最大值為（）

A3B272C亞D2

【解析】：如圖所示:

過A作的垂線，垂足為H,則AH=CE=CF=r,

當E,C,P三點共線時，高線最長，即（2+〃）max=/=3

r

7.已知。是AABC內一點，且兩+詼+反=0，點〃在AOBC內（不含邊界），若旃=4而+〃薪，則

7+2〃的取值范圍是（）

A.B.（1,2）C,51]D.gJ

【答案】B

【解析】因為。是AABC內一點，且次+礪+配=。

所以O為AABC的重心

加在AOBC內（不含邊界），且當M與O重合時，2+2〃最小，此時

AM=2AB+//AC=|x1（AB+AC）]=|AB+|AC

所以2=；,〃=；,即彳+2〃=1

當M與C重合時，2+2〃最大，此時

AM=AC

所以2=0,〃=1,即彳+2〃=2

因為M在AOBC內且不含邊界

所以取開區間，即幾+2〃?1,2）

所以選B

8.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點，若Q=x福+y*,則2x+2y的最大

值為（）

84

A.-B.2C.-D.1

33

【答案】A

【解析】

作5c的平行線與圓相交于點P,與直線45相交于點E,與直線AC相交于點八

^AP=AAE+/JAF,貝!|力+〃=1,

AFAF4

VBC//EF,???設——=——=k貝！

ABAC93

AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+juAF=AkAB+jukAC

:.x=Ak,y=/jk

Q

：.2x+2y=2(%+〃)％=故選：A.

二、填空題

1.如圖，在同一個平面內，向量而，麗,反的模分別為1,b叵,而與56的夾角為&,且tana=7,

08與0c的夾角為45°，OC—mOA+nOB(m,n^R)>則m+n=.

【解析】連接AB,過C點作AB的平行線，則加+〃=—,

0D

在AOAB中，由題意可知OA=OB=1,tanZAOD=7,/BOD=45°,

74f765

所以sinNAOD=--r=,sinZAOB=—，根據三角形張角定理得飛=5叵”,所以。D=W，則

5y/25

OD-1丁3

OC

m+n=-----