圖形的相似(29題)

一、單i4M

題目刀(2023?重慶?統考中考真題)如圖，已知AABC?△EDO,AC：EC=2:3,若AB的長度為6,則DE的

長度為()

A.4B.9C.12D.13.5

【答案】B

【分析】根據相似三角形的性質即可求出.

【詳解】解：,:AABC?/XEDC,

：.AC：EC=AB-.DE,

AC.EC=2:3,AB=6,

/.2:3=6:DE,

：.DE=9,

故選：8.

【點睛】此題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的邊長比等于相似比是解決此題的關鍵.

題目句(2023?四川遂寧?統考中考真題)在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.在如圖所示

的平面直角坐標系中，格點△4BC、ADEF成位似關系，則位似中心的坐標為()

A.(-1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【分析】根據題意確定直線入。的解析式為：沙=必+1,由位似圖形的性質得出入。所在直線與BE所在直

線立軸的交點坐標即為位似中心，即可求解.

【詳解】解:由圖得：4(1,2),。(3,4),

設直線的解析式為：?/=fcr+b,將點代入得：

用以解得IO

直線AD的解析式為：g=%+1,

?1?

AD所在直線與BE所在直線2軸的交點坐標即為位似中心，

.?.當沙=0時，2=—1,

位似中心的坐標為(-1,0),

故選：4

【點睛】題目主要考查位似圖形的性質，求一次函數的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點是解題關

鍵.

題目區(2023?浙江嘉興?統考中考真題)如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A(l,2),B(2,l),

C(3,2),現以原點。為位似中心，在第一象限內作與4ABC的位似比為2的位似圖形△HBC',則頂點C

A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4)

【答案】。

【分析】直接根據位似圖形的性質即可得.

【詳解】解：???△ABC的位似比為2的位似圖形是44區。',且。(3,2),

.?.0(2X3,2X2),即。(6,4),

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質是解題關鍵.

題目目(2023.四川南充.統考中考真題)如圖，數學活動課上,為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放

置一平面鏡，然后向后退(保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上)，直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.

已知小菲的眼睛離地面高度為1.6館,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2館,鏡子與旗桿的水平距離為

10m,則旗桿高度為()

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【答案】B

【分析】根據鏡面反射性質，可求出NACB=/ECD,再利用垂直求△ABC?△EDC,最后根據三角形相

似的性質，即可求出答案.

【詳解】解:如圖所示，

?2?

由圖可知，CD_LOE,CF^BD

???/ABC=/CD石=90°.

??,根據鏡面的反射性質，

???ZACF=AECF,

??.90°-ZACF=90°一/ECF,

???4ACB=/ECD,

???4ABe?岫DC,

.AB=BC

，9^E~~CD'

???小菲的眼睛離地面高度為1.6館,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2皿鏡子與旗桿的水平距離為

10m,

AB—1.6m,BC—2m,CD—10m.

.1.6=2

**D^-10，

DE—8m.

故選:B

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質和相似三角形的性

質.

;題目回(2023.安徽.統考中考真題)如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，EFL4B于點F,連接

DE并延長，交邊BC于點“，交邊AB的延長線于點G.若AF=2,FB=1,則MG=()

A.2V3B.C.V5+1D.V10

【答案】B

【分析】根據平行線分線段成比例得出普=罟=2,根據4ADE?ACME，得出第=器=2,則

L/JVLrJDCMh/JVL

CM=^AD=1?，進而可得1■，根據BC//AD,得出4GMB?AGDA,根據相似三角形的性質得

出石G=3,進而在衣協反弘1中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：??,四邊形ABCD是正方形，4尸=2,=1,

???AD=6C=4B=4F+FG=2+1=3,AD//CB,AD±AB,CB±AB,

\-EF±AB.

：.AD//EF//BC

?3?

???=捻7=2,ZXAD石?△CME,

EMFB

,AD=DE=2

"~CM~~EM~9

則=

：.MB=3-CM=^-f

?：BC//AD,

???/\GMBjGDA,

.BG=MB=*=\

**AG-DA-yy

/.BG=AB=3,

在Rt/\BGM中，MG=V,MB2+BG2=J（-|-）2+32=呼^,

故選:B.

【點睛】本題考查了正方形的性質,平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握

以上知識是解題的關鍵.

顛百回（2023?湖北黃岡?統考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3,5C=4,以點B為圓心，適當長為半

徑畫弧，分別交BC,BD于點E,F,再分別以點為圓心，大于長為半徑畫弧交于點P,作射線

BP,過點。作BP的垂線分別交BDAD于點M,N,則CN的長為（）

A.V10B.V1TC.2V3D.4

【答案】A

【分析】由作圖可知BP平分ZCBD,設BP與CN交于點O,與CD交于點五，作RQ，BD于點Q,根據

角平分線的性質可知AQ=RC,進而證明RtABCR空,推出BC=BQ=4,設五Q=RC=/，

則DR=CE>—CR=3—工，解放△DQR求出QR=CR=曰.利用三角形面積法求出OC,再證△OCR

O

?△DCN,根據相似三角形對應邊成比例即可求出CN.

【詳解】解:如圖，設BP與CN交于點。，與CD交于點心作于點Q,

,/矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

-4■

.?.CD=AB=3,

BD=y/BC2+CD2=5.

由作圖過程可知,BP平分NCBD,

?.?四邊形4BCD是矩形，

:.CDLBC,

又；RQ±BD,

RQ=RC,

在Rt/XBCR和Rt/XBQR中，

(RQ=RC

[BR=BR'

：.Rt^BCR空RtABQR(HL),

:.BC=BQ=4,

：.QD=BD-BQ=5-^=1,

設RQ=RC=6，則DR=CD—CR—3—x,

在RtdDQR中，由勾股定理得OH2=OQ2+RQ2,

即(3—6)2=12W,

解得C=J

o

CR~~~.

o

BR=VBC2+CR2=4^10.

o

???SABCR=yCK-BC=^BR-OC,

?：ACOR=ACDN=90°,ZOCR=4DCN,

：.△OCR?ADCN,

.OC_CR即i_1

DCCN3CN

解得CN=，IU.

故選：A.

【點睛】本題考查角平分線的作圖方法，矩形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定

理,相似三角形的判定與性質等，涉及知識點較多，有一定難度，解題的關鍵是根據作圖過程判斷出BP平

分/CBD,通過勾股定理解直角三角形求出CR.

;題目⑦（2023?四川內江?統考中考真題）如圖，在△ABC中，點。、右為邊AB的三等分點，點F、G在邊BC

上，AC7/DG〃EF,點H為AF與。G的交點.若47=12,則的長為（）

ADEB

■5-

A.1B.yC.2D.3

【答案】。

【分析】由三等分點的定義與平行線的性質得出BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,DH是

△AEF的中位線，易證△BEF?△BAG,得黑=器，解得4,則DH=±EF=2.

ACAB2

【詳解】解：,/D、E為邊AB的三等分點，EF//DG//AC,

：.BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,

/.AB=3BE,DH是4AEF的中位線,

:.DHQEF,

?：EF//AC,

NBEF=NBAC,NBFE=ABCA,

.EFBE日“EFBE

..=,即=----,

ACAB123BE

解得：EF=4,

/.DH=^-EF制x4=2,

故選：C.

【點睛】本題考查了三等分點的定義、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理等知

識;熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

目?（2023?湖北鄂州?統考中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，O為原點,。人=05=3相,點C為

平面內一動點,BC=1■，連接AC,點河是線段4。上的一點,且滿足CM-.MA=1:2.當線段0M取最大

【分析】由題意可得點。在以點B為圓心，|■為半徑的上，在立軸的負半軸上取點。（—好，0）,連

接BD,分別過C、M作CF±OA,ME.LOA,垂足為F、E,先證AOAM-ADAC,得=翌=

CDAD

善,從而當CD取得最大值時，。河取得最大值,結合圖形可知當。,三點共線，且點B在線段。。上

O

時，CD取得最大值，然后分別證△BDO?△CDF,ZVLEN?A4尸C,利用相似三角形的性質即可求解.

,6,

【詳解】解：?.?點。為平面內一動點，及7=等,

.?.點。在以點8為圓心，告為半徑的OB上,

/.AD=OD+OA=—,

.OA_2

**AD-3-，

???CM:AM=1:2,

.OA=2=CM

??布―g―

???ZOAM=ADAC,

：./XOAM-^DAC,

.OM=OA=2

一CD一而一f

???當CD取得最大值時，。州取得最大值，結合圖形可知當O,B,。三點共線，且點石在線段。。上時,

CD取得最大值，

???04=06=3花OD=^~,

：,BD=VOB2+OB2=^(3V5)2+(^^)2=墨

:?CD=BC+BD=9,

,.OM_2

?~CD~~3f

：.OM=6f

???。軸_1力軸，CF.LOA,

：.4DOB=4DFC=90°,

???/BDO=/CDF,

：.ABW-ACDF,

L15

.QB_=BD_即3瓜=T

，9~CF~~CD~CF~~^~9

解得CF=^",

同理可得，/\AEM?/XAFC,

?7?

.ME_=■=2即ME=2

"~CF~AC18V5~-3

5

解得=絲⑤，

5

/.OE=JOM'Z—ME,z=,

：.當線段O河取最大值時,點M的坐標是（吟，卷⑤卜

故選：D

【點睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質、圓的一般概念以及坐標與圖形，熟練掌握相

似三角形的判定及性質是解題的關鍵.

;題目回（2023?山東東營?統考中考真題）如圖,正方形ABCD的邊長為4,點石，F分別在邊。上，且

BF=CE,AE平分ACAD,連接DF，分別交AE,AC于點G,M,P是線段AG上的一個動點，過點P

作PN±AC垂足為N,連接PM,有下列四個結論:①AE垂直平分DM^PM+PN的最小值為372；

③CF2=GE-AE；④S“m=6，.其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】。

【分析】根據正方形的性質和三角形全等即可證明/D4E=/FDC,通過等量轉化即可求證AG,ZW,

利用角平分線的性質和公共邊即可證明AADG篤△4WGG4S4）,從而推出①的結論;利用①中的部分結

果可證明AADE?4DGE推出DE?=GE-AE,通過等量代換可推出③的結論；利用①中的部分結果和

勾股定理推出⑷W?和CW長度，最后通過面積法即可求證④的結論不對；結合①中的結論和③的結論可

求出JW+PN的最小值，從而證明②不對.

【詳解】解：???4BCD為正方形，

/.BC=CD=AD,ZADE=ADCF=90°,

?；BF=CE,

:.DE=FC,

：.△ADE空/\DCF（SAS）.

：.NDAE=NFDC,

?//ADE=90°,

/ADG+/FDC=90°,

/./ADG+/nAE=90°,

/.ZAGZ?=ZAGM=90°.

?.?AE平分/CAD,

ADAG=AMAG.

?：AG^AG,

■8?

/\ADG空△WG(ASA).

/.DG=GM,

AAGD=AAGM=9Q°,

.?.AE垂直平分DAI,

故①正確.

由①可知，2ADE=NDGE=90°,/DAE=AGDE,

：.4ADE~/\DGE,

.DE_AE

"~GE~1)E，

:.DE?=GE?AE,

由①可知DE=CF,

：.CF2^GE-AE.

故③正確.

1.?ABCD為正方形,且邊長為4,

：.AB=BC=AD=4：,

：.在Rt^ABC中，力。=V2AB=4V2.

由①可知，ZXADG皂△4MG(AS4),

：.AM=AD=4：,

：.CM=AC-AA1=4V2-4.

由圖可知，ADMC和△ADM■等高，設高為/z,

??S/VLDAf=S^ADC-SaMC，

.4義,_4義4(4血一4)?八

"2一2'

h=2V2,

S4AoM=。,AM-/i=Jx4X2V2=4A/2.

故④不正確.

由①可知,△4DG空△AWG(ASTl),

：.DG=GM,

/.M關于線段AG的對稱點為。，過點。作ON」AC,交AC于N',交AE于尸,

PM+PN最小即為DN',如圖所示，

由④可知△AZW的高無=2四即為圖中的DN',

/.DN'=2V2.

故②不正確.

綜上所述，正確的是①③.

故選：D

【點睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角

形全等，三角形面積法,解題的關鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運

用相關知識點.

題目叵］（2023.內蒙古赤峰.統考中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點

。與延長線上的點Q重合.DE交BC于點F,交4B延長線于點E.DQ交BC于點P,DM_LAB

于點M,AM=4,則下列結論，①。Q=EQ,②BQ=3,③8尸=獸，④BD〃FQ.正確的是（）

O

?9?

C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折疊性質和平行線的性質可得NQDF=ACDF=/QEF,根據等角對等邊即可判斷①正確;根

據等腰三角形三線合一的性質求出MQ=4M=4,再求出BQ即可判斷②正確；由△CDP?ABQP得

需=罷=得，求出叱即可判斷③正確;根據等片需即可判斷④錯誤.

BPBQ3DEBE

【詳解】由折疊性質可知：4CDF=4QDFCD=DQ=5,

?：CD//AB,

??.ZCDF=ZQEF.

：./QDF=AQEF.

:.DQ=EQ=5.

故①正確；

???DQ=CD=AD=5,DM.LAB,

???MQ=4Vf=4.

???MB=AB-AM^5—4=1,

??.BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正確；

-CD//AB,

：.△GDP?ABQP.

.CP=CD=3

**BP-BQ-y*

?：CP+BP=BC=5,

：.BP=^BC=^~.

故③正確；

'：CDIIAB,

：./\CDF-/\BEF.

.DF_=CD=CD=5=立

一~EF~~BE~BQ+QE~3+5—甘

?EF8

,?市一=育

..QE=5

*BE8'

.EFQE

**DEBE,

???^EFQ與△EDB不相似.

???/EQFWAEBD.

???石。與FQ不平行.

故④錯誤；

故選：A.

?10?

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，菱形

的性質等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度,熟練掌握相關性質是解題的關鍵.

:題目叵(2023?黑龍江?統考中考真題)如圖，在正方形ABCD中，點分別是上的動點，且AF

，OE,垂足為G,將△ABF沿AF翻折，得到AAMF,AM交DE于點P,對角線BD交AF于點H,連接

HM,CM,DM,BM，下列結論正確的是:①AF=DE；②OE；③若CM_L,則四邊形BHMF是

菱形;④當點E運動到的中點，tan/BHF=22；⑤()

BFC

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【分析】利用正方形的性質和翻折的性質，逐一判斷，即可解答.

【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，

/.ADAE=NABF=90°,DA=AB,

?：AF.LDE,

：.^BAF+AAED=9Q°,

?：^BAF+AAFB=90°,

：.NAED=NBFA,

：.△ABFW^AED(AAS),

：.=故①正確，

將ZXABF沿AFM,得至！J/\AMF,

：.BM±AF,

?：AF±DE,

.?.B/W7/DE,故②正確，

當時，ZCMF=90°,

,/ZAW=ZABF=90°,

/.ZAMF+ZCMF=180°,即4河,。在同一直線上，

/.WCF=45°,

/.AMFC=90°-ZMCF=45°,

通過翻折的性質可得AHBF=NHMF=45°,BF=MF,

：.NHMF=4MFC,NHBC=AMFC,

：.BC//MH,HB//MF,

：.四邊形BHMF是平行四邊形，

BF=MF,

二平行四邊形BHMF是菱形，故③正確，

當點E運動到的中點，如圖，

設正方形ABCD的邊長為2a，則AE==a,

■11?

在RtLAED中，。石二^AD\AE2=V5a=AF,

?：AAHD=/FHB,/ADH=ZFBH=45°,

???AAHD?△FHB,

.FH=BF=a=\

???AH=^-AF=^-a,

oo

?/AAGE=AABF=9Q°,

:.LAGFsAABF,

.AS=EG_/G_a=娓

：.EG=^-BF=^-a,AG=^-AB=^-a,

5555

/.DG=ED-EG=^-a,GH=AH-AG=^-a,

515

???/BHF=/DHA,

在RtADGH中，tanZBBF=tanZDHA==3,故④錯誤，

GrH

???/\AHD?AFHB,

,BH_1

,?兩一5，

BH—~^~BD—；X2A/^Q=,DH--^-BD=x2A/5Q=—^—d,

oooooo

?.?AF±EP,

根據翻折的性質可得EP=2EG=亨a,

5

.n?_2V54V2_8V102

5315

2oA/iGc-BDHET:o2---a--—a=—8V—m—a2,

5315

/.EP,DH=2AG-BH=9五,故⑤正確；

15

綜上分析可知,正確的是①②③⑤.

故選；R

【點睛】本題考查了正方形的性質，翻折的性質，相似三角形的判定和性質，正切的概念，熟練按照要求做

出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關鍵.

二、填空題

:題目亙(2023.湖北鄂州.統考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△4BG位似，原點。是位

似中心，且要■=3.若4(9,3),則4點的坐標是.

?12?

【分析】直接利用位似圖形的性質得出相似比進而得出對應線段的長.

【詳解】解：設4(館,八)

???△ABC與△4BQ1位似，原點O是位似中心,且聾~=3.若4(9,3),

位似比為多

.9_33_3

，em1'n1

解得m=3,n=1,

???4(3,1)

故答案為：(3,1).

【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關鍵.

題目叵(2023?吉林長春?統考中考真題)如圖,ZVIB。和是以點O為位似中心的位似圖形,點A

在線段上.若04:44=1:2,則△ABC和△A8。'的周長之比為.

【答案】1:3

【分析】根據位似圖形的性質即可求出答案.

【詳解】解：???。4：44'=1:2,

OA：OA=1:3,

設△ABC周長為Zj,設△4m。'周長為12,

△ABC和△4EC是以點O為位似中心的位似圖形，

.Q。4=1

72—04—3.

/.Zi：Z2—1:3.

△ABC和△4BV的周長之比為1:3.

故答案為：1:3.

【點睛】本題考查了位似圖形的性質，解題的關鍵在于熟練掌握位似圖形性質.

題目叵(2023.四川樂山.統考中考真題)如圖,在平行四邊形ZBCD中，E是線段上一點，連結水7、

?13?

DE交于點、F.若髭=導,則季里=

MHJ

【分析】四邊形,您是平行四邊形,則=可證明△E4-DCF,得到器=器

=笫，由嗡/進一步即可得到答案—

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

??.AB=CD,AB//CD,

???/AEF=/CDF"AF=/DCF,

:?AEAF?ADCF,

.DF=CD=AB

''^F~~AE~~AE'

..AE=2

*EB3'

.AB_5

??商_］，

.SMDF=DF=AB=5

S^AEFEFAE2

故答案為:

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，證明△SAP?ADCF是解題的

關鍵.

題目叵（2023?江西?統考中考真題）《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈

直角的曲尺（即圖中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點4,8

。在同一水平線上，/ABC和24QP均為直角，4?與相交于點。.測得40cm,BD=20cm,

AQ=12m,則樹高PQ=m.

【分析】根據題意可得△人石。?A4QP,然后相似三角形的性質，即可求解.

【詳解】解：?.,乙4BC和24QP均為直角

：.BD//PQ,

??.△ABO?△AQP,

?14?

.BD=AB

??西一近

AB—40cm,BD=20cm,AQ—12m,

.AQxBD12X20

?,PQ=AB=^^=R6犯

故答案為：6.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

［題目回（2023.四川成都.統考中考真題）如圖，在/XABC中，。是邊上一點，按以下步驟作圖:①以點

A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AB,AC于點M,N；②以點。為圓心，以⑷W長為半徑作弧，交

DB于點河'；③以點為圓心，以MN長為半徑作弧,在ABAC內部交前面的弧于點N'：④過點N）作射

線DN'交BC于點、E.若岫DE與四邊形ACED的面積比為4:21,則黑的值為.

【答案】。

O

【分析】根據作圖可得/砒石二乙4,然后得出。石〃AC,可證明?4a進而根據相似三角形的

性質即可求解.

【詳解】解:根據作圖可得4BDE=乙4,

：.DE//AC,

:?岫DE?ABAC,

???"DE與四邊形ACED的面積比為4:21,

.SgDc_4_/BEy

,,S^BAC~~21+4

.BE_2

"BC

-BE=2

故答案為:系

o

【點睛】本題考查了作一個角等于已知角，相似三角形的性質與判定，熟練掌握基本作圖與相似三角形的

性質與判定是解題的關鍵.

;題目■（2023.內蒙古.統考中考真題）如圖，在中，AACB=90°,AC=3,BC=1,將A4BC繞點

人逆時針方向旋轉90°,得到△AB7。'.連接BB',交AC于點O,則若■的值為

.15.

【答案】5

【分析】過點。作OF，AB于點F,利用勾股定理求得AB=4"根據旋轉的性質可證△ABB、/XDFB

是等腰直角三角形，可得再由以的=?夙7*人。=異。八4&得40=，正加證明

△AFD?△ACB,可得償=,即AF=3DF,再由AF=，而一DF,求得。F=,從而求得AD

BCAC4

=-,CD=B，即可求解.

【詳解】解:過點。作。FLAB于點F,

?.?乙4cB=9O°,4C=3,BC=1,

.?.AB=V32+12=A/10,

?/將ZVIBC繞點A逆時針方向旋轉90°得到△AF。',

/.AB=AB=V10,/BAP=90°,

/./\ABB是等腰直角三角形,

ZABB,=45°,

又?.?DF_L4B,

/./FDB=45°,

△DFB是等腰直角三角形，

：.DF=BF,

"S&ADB=yXBCXAD=yXDFxAB,BPAD=VWDF,

?：乙C=NAFD=90°,2CAB=AFAD,

??.△AFD?△4CB,

??普=器即”=3OF,

又；AF=VW-DF,

4

.?.4D=mx必^=盤,CD=3---=^,

4222

_5_

.AD—A—A

??京一了

2

故答案為：5.

【點睛】本題考查旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形的面積，熟練

掌握相關知識是解題的關鍵.

題目回（2023?河南?統考中考真題）矩形ABCD中，河為對角線BD的中點，點N在邊AD上，且AN=

AB=1.當以點。，A/,N為頂點的三角形是直角三角形時，4。的長為.

【答案】2或0+1

■16?

［分析】分兩種情況:當4MND=90°時和當4NMD=90°時，分別進行討論求解即可.

【詳解】解：當4MND=90°時，

?.?四邊形ABCD矩形，

乙4=90°,則7W〃AB,

由平行線分線段成比例可得：第二舞,

又為對角線BD的中點，

/.BM=MD,

.AN_BM

"NDMD，

即：ND=4V=1,

AD=AN+ND=2,

當2WD=90°時，

Af為對角線的中點，ZNMD=90°

MN為BD的垂直平分線，

：.BN=ND,

■：四邊形ABCD矩形，AN=4B=1

ZA=90°，則BN=y/AB2+AN2=V2,

：.BN=ND=V2

AD=AN+ND=V2+1,

綜上，4D的長為2或2+1,

故答案為：2或V2+1.

【點睛】本題考查矩形的性質，平行線分線段成比例,垂直平分線的判定及性質等，畫出草圖進行分類討論

是解決問題的關鍵.

［題|叵）（2023?遼寧大連?統考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=3,延長BC至E,使CE=2,連

接AE,CF平分ADCE交AE于F,連接DF,則DF的長為.

?17?

AD

【答案】

【分析】如圖,過F作FM±BE于M,FN±CD于N,由CF平分/DCE,可知2FCM=匕FCN=45°,可

得四邊形CWN是正方形，FM7/AB,設J?■=C7W=N斤=CN=a,則_ME=2-a,證明△E?■?

△￡2B,則與磐=等，即v="及，解得a=；，DN=CD-CN=言,由勾股定理得DF=

ABBE33+244

Y5西而，計算求解即可.

【詳解】解:如圖，過F作FAf，BE于河，FN,CD于N,則四邊形GMFN是矩形，FM//AB,

???CF平分NDCE,

：.ZFCM=2FCN=45°,

：.CM=FM,

：.四邊形CMFN是正方形，

設FM=CM=NF=CN=a,則ME=2—a,

?：FM//AB,

：.^\EFM?/XEAB,

.FM_=ME__a若，解得

"AB—BE'p即n3■Ia=*,

:.DN=CD—CN=2,

4

由勾股定理得DF=VDN2+NF2=玉普,

故答案為：苦口.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，勾股定理,相似三角形的判定與性質.解題的關鍵在于對知識

的熟練掌握與靈活運用.

1目㈤（2023?廣東?統考中考真題）邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直

線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為.

?18?

10

【分析】根據正方形的性質及相似三角形的性質可進行求解.

【詳解】解:如圖，

由題意可知AD=DC=\U,CG=CE=GF=6,/CEF=/EFG=90°,GH=4,

：.CH=W=AD,

???AD=4DCH=90°,4AJD=AHJC,

???△ADJ^^HCJ(AAS),

:.CJ—DJ=5,

A￡7=1,

-GillCJ,

???AHG/~AFfC7,

.GI=GH=2

^~CJ~~CH~~59

.?.G/=2,

??.Ff=4,

???S梯形E〃F=}(EJ+FI)-EF=15；

故答案為：15.

【點睛】本題主要考查正方形的性質及相似三角形的性質與判定，熟練掌握正方形的性質及相似三角形的

性質與判定是解題的關鍵.

21J（2023?天津?統考中考真題）如圖，在邊長為3的正方形ABCD的外側,作等腰三角形ADE,EA=

⑴A4OE的面積為；

（2）若F為跳;的中點，連接AF并延長，與CD相交于點G,則AG的長為.

【答案】3；

【分析】（1）過點石作根據正方形和等腰三角形的性質，得到AH的長，再利用勾股定理，求出

EH的長，即可得到AADE的面積；

⑵延長EH交AG于點、K,利用正方形和平行線的性質,證明△ABFW/^KEF{ASA），得到EK的長，進

而得到的長,再證明4AHK?^ADG,得到縹=筆,進而求出G。的長，最后利用勾股定理,即

GDAD

?19?

可求出AG的長.

【詳解】解：⑴過點E作

?/正方形ABCD的邊長為3，

AD—3,

/\ADE是等腰三角形，E4=ED=&，9，人。，

13

??.AH=DH=^AD=y,

22

在Rt^AHE中，EH=VAE-AH=J居丫一倍丫=2,

?,?S皿=*4D?EH=]X3X2=3,

故答案為：3；

⑵延長EH交4G于點K,

???正方形ABCD的邊長為3,

??.ABAD=NAD。=90°,AB=3,

??.AB_LAD,CD_LAD,

?：EK.LAD,

???ABIIEKIICD,

：./ABF=/KEF,

???F為跳;的中點，

：.BF=EF,

(ZABF=ZKEF

在△_/1祥和△A”中，(BF=EF,

1/AFB=/KFE

：.AABF^AKEF(ASA),

??.EK=AB=3,

由⑴可知,AH=-1-AD,EH=2,

:?KH=3

?：KH//CD,

???4AHKADG,

.KH=AH

"~GD~~AD'

:,GD=2,

在Rt^ADG中，AG=VAZ)2+G￡>2=V32+22=V13,

故答案為：A/13.

【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性

質，勾股定理等知識，作輔助線構造全等三角形和相似三角形是解題關鍵.

目:藥（2023?四川瀘州?統考中考真題）如圖，是正方形ABCD的邊AB的三等分點，P是對角線

AC上的動點，當PE+PF取得最小值時，需的值是

-tO

?20?

【分析】作點F關于AC的對稱點F',連接EF'交AC于點P,此時PE+PF取得最小值,過點F'作AD的

垂線段，交4。于點K,根據題意可知點戶落在AO上，設正方形的邊長為a,求得AK的邊長，證明

△AEP?AKF'P，可得豈匕=2,即可解答.

AP'

【詳解】解:作點F關于的對稱點尸,連接EF'交AC于點尸，過點尸作4D的垂線段，交于點K,

由題意得:此時F'落在AD上,且根據對稱的性質，當P點與嚴重合時PE+PF取得最小值，

設正方形ABCD的邊長為a,則AF'^AF^^-a,

?.?四邊形ABCD是正方形，

AF'AK=45°,NPAE=45°,AC=V2a

F'K±AF',

：.NF'AK=AF'KA=45°,

：.AK=^a,

o

,:NF'PK=/EPA,

：.AE'KP?AEAP,

.F'K_KP

"AEAP'1'

/.24P=-^AK-,

oy

/.CP=AC-AP=^V2a,

.AP'2

"cF-7,

當PE+PF取得最小值時，鑒的值是為之，

故答案為:-y.

【點睛】本題考查了四邊形的最值問題,軸對稱的性質，相似三角形的證明與性質，正方形的性質，正確畫

出輔助線是解題的關鍵.

?21?

;題目至1（2023?山西?統考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，/BCD=90°,對角線AC,BD相交于點。

若4口=人。=5,6。=6,/4。6=2/6?0,則人。的長為

【分析】過點A作AH±BC于點H,延長AD,3。交于點E,根據等腰三角形性質得出BH=HC=^-BC

=3,根據勾股定理求出AH=^AC2-CH2=4,證明ACBD=/CEO,得出DB=OE,根據等腰三角形性

質得出CE=BC=6,證明。得出銬=第，求出=■，根據勾股定理求出DE=

AHnrj3

................-2質

^西市=J62+信）2=寫L,根據CD//AH,得出第=器,即擊W，求出結果即可?

【詳解】解：過點A作AH■，B。于點H,延長AD,BC交于點E,如圖所示：

則90°,

???AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC=^-BC=3,

??.AH=y/AC2-CH2=4,

???AADB=ACBD+ACED,AADB=2ACBD,

???NCBD=/CED,

：.DB=DE,

???/BCD=90°,

：.DC_LBE,

:,CE=BC=6,

：,EH=CE+CH=9,

???DC_LBE,AH_LBC,

：.CD//AH,

：.^ECD-/\EHA,

.CD=CE

??AH一屈’

nnCD-6

即丁F

解得:CD=得，

o

DE=VCE2+CD2=^62+(1-)2=

?：CD〃AH,

.DE=CE

??布—而‘

?22?

解得：AD=/.

o

故答案為：平.

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，平行線分線段成比例，

相似三角形的判定與性質,平行線的判定，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理

及相似三角形的判定與性質.

三、解答題

【題目①（2023?湖南?統考中考真題）在①A4BC中，/BAC=90°,人。是斜邊BC上的高.

（1）證明：4ABD?△CR4；

（2）若AB=6,BC=10,求的長.

【答案】（1）見解析

⑵80=單

5

【分析】（1）根據三角形高的定義得出/ADB=90°,根據等角的余角相等，得出結合公共角

即可得證；

（2）根據（1）的結論，利用相似三角形的性質即可求解.

【詳解】（1）證明：-/ABAC=90°,AD是斜邊8。上的高.

/.AADB=90°,ZB+ZC=90°

AB+ABAD^90°,

：.ABAD=AC

又：ZB=ZB

.?.△ABD?△CR4,

⑵?.?△ABD?△CR4

.AB_BD

"CB