第十四講三角形（1）小歐拉智改羊圈第一部分：趣味數學小歐拉智改羊圈歐拉是數學史上著名的數學家，他在數論、幾何學、天文數學、微積分等好幾個數學的分支領域中都取得了出色的成就。不過，這個大數學家在孩提時代卻一點也不討老師的喜歡，他是一個被學校除了名的小學生。回家后無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個牧童。他一面放羊，一面讀書。他讀的書中，有不少數學書。爸爸的羊群漸漸增多了，達到了100只。原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米。正打算動工的時候，他發現他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長40米，寬15米的羊圈，其周長將是110米(15+15+40+40=110)。父親感到很為難，若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料;要是縮小面積，每頭羊的面積就會小于6平方米。小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔心每頭羊的領地會小于原來的計劃，他有辦法。父親不相信小歐拉會有辦法，聽了沒有理他。小歐拉急了，大聲說，只要稍稍移動一下羊圈的樁子就行了。父親聽了直搖頭，心想："世界上哪有這樣便宜的事情?"但是，小歐拉卻堅持說，他一定能兩全齊美。父親終于同意讓兒子試試看。小歐拉見父親同意了，站起身來，跑到準備動工的羊圈旁。他以一個木樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮短到25米。父親著急了，說："那怎么成呢?那怎么成呢?這個羊圈太小了，太小了。"小歐拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米。經這樣一改，原來計劃中的羊圈變成了一個邊長25米的正方形。然后，小歐拉很自信地對爸爸說："現在，籬笆也夠了，面積也夠了。"父親照著小歐拉設計的羊圈扎上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些。父親心里感到非常高興。孩子比自己聰明，真會動腦筋，將來一定大有出息。父親感到，讓這么聰明的孩子放羊實在是可惜了。后來，他想辦法讓小歐拉認識了一個大數學家伯努利。通過這位數學家的推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學的大學生。這一年，小歐拉13歲，是這所大學最年輕的大學生。第二部分：奧數小練【例題1】說出下列三角形ABC的底邊AB、BC、AC邊上的高分別是什么？AFEBDCAFEBDC【思路導航】三角形底與高是互相垂直的，以AB為底，它所對應的頂點是C點，從C點向對邊AB作垂線CF，所以三角形底邊AB上的高是CF；同樣道理，從圖中可以看出，三角形底邊BC上的高是AD；三角形底邊AC上的高是BE。AB上的高是CF；BC上的高是AD；AC上的高是BE。練習1：1.填空。（1）下圖中三角形ABC中，底邊BC上的高是（）。ABECDABECDADBCADBC如圖，在三角形ABC中：底邊AB上的高是（）；底邊BC上的高是（）；底邊AC上的高是（）。【例題2】有4根小棒，它們的長度分別是2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，選擇其中的三根，能圍成多少個不同的三角形？【思路導航】根據三角形任意兩邊的和大于第三邊這一性質，采用枚舉法可以找到答案。用2厘米、3厘米、4厘米三根小棒，可以圍出三角形，因為2+3＞4、2+4＞3、3+4＞2.用2厘米、3厘米、5厘米三根小棒，就不能圍成三角形，因為2+3=5.用3厘米、4厘米、5厘米三根小棒，也能圍成三角形，因為3+4＞5、3+5＞4、4+5＞3.用2厘米、4厘米、5厘米三根小棒，能圍成三角形，因為2+4＞5,2+5＞4,5+4＞2.所以有3種不同的圍法。有3種不同的圍法。練習2：1.從A地走到C地，有幾種走法？哪種走法最近？ADADBC2.用2根4厘米，1根7厘米的小棒能否圍成一個三角形，為什么？3.有4根小棒，它們的長度分別是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米，選擇其中的3根，能圍成多少個不同的三角形？【例題3】一個三角形三邊都是整數，其中兩邊是3cm和5cm，則第三邊最大可能是多少？【思路導航】根據三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行解答。5-3＜第三條邊＜3+5，2＜第三條邊＜8，故第三條邊最大可能是7厘米第三條邊最大可能是7厘米練習3：1.選擇：（1）下列（）組線段不可以圍成一個三角形。A.4厘米，5厘米和1厘米B.3厘米，8厘米和6厘米C.2厘米，3厘米和4厘米（2）一個三角形三邊都是整數，其中兩邊是4cm和8cm，則第三邊最小可能是（）。A．4cmB．5cmC.11cm（3）小兔要給一塊地圍上籬笆，（）的圍法更牢固些。A．B.C．（4）A、C兩地之間的距離可能是（）A．90千米B．26千米C．40千米2.把一根14厘米長的小棒截成三段整數厘米的小棒，圍成一個三角形，最長的一段小棒不能超過多少厘米？【例題4】下圖有A、B、C、D四個點，用它們共可以圍成多少個三角形？.CD..BA.【思路導航】三角形有三個頂點，現在有A、B、C、D四個點，從中選擇三個頂點就能形成一個三角形。從四個點中選擇三個點共有四種方法，分別是（A、B、C）、（A、B、D）、（A、C、D）、（B、C、D）。【答案】可以圍成4個三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。練習4：1.如下圖，有五個點，用它們共可以圍成多少個三角形？.A.B.C.D.E2.如下圖，直線m上有2個點，直線n上有3個點，用它們共可以圍成多少個三角形？..m...n3.如圖，有A、B、C、D、E五個點，其中B、C、D、E在同一條直線上，用它們共可以圍成多少個三角形？A.EQ\*jc2\*hps12\o\ad(\s\up11(?),B)EQ\*jc2\*hps12\o\ad(\s\up11(?),C)EQ\*jc2\*hps12\o\ad(\s\up11(?),D)EQ\*jc2\*hps12\o\ad(\s\up11(?),E)【例題5】用三根長度相等的小棒可以圍成一個等邊三角形，算一算，要圍成右圖的三角形，需要多少根這樣的小棒？【思路導航】一個三角形有三條邊，計算小棒的根數時，可以從三個不同的方向去計數（-、/、\），因為右圖是等邊三角形，每個方向上小棒的根數相同。從水平方向看，共有1+2+3+4=10（根），所以需要10×3=30（根）小棒。【答案】10×3=30（根）練習5：1.用3根等長的火柴可以擺成一個等邊三角形，如圖所示。要拼成一個更大的等邊三角形，如果這個等邊三角形的每邊由5根火柴組成，那么一共要用多少根火柴？2.圖中的三角形共有多少個？下圖中共有多少個三角形？第三部分：數學史話圖形的產生圖形的產生圖形是伴隨著人類產生而產生的，源于人類認識和改造世界的需要，由人類勞動生活的記事符號開始當人類祖先在他們居住的洞穴和巖壁上作畫時，圖形就成為了聯絡信息、溝通、表達情感和意識的媒介。這一點貫穿于圖形從產生到今天的每一個時期和階段。圖形的歷史進程大致分為三個階段。遠古時期人類的象形記事性原始圖畫為第一個階段。原始人的圖畫式符號是圖形的原始形式，也是文字的雛形。第二個階段為由一部分圖畫式符號演變而形成文字。圖畫式符號與記事性圖畫的區別在于其形象的抽象性更強，更為減化。當記事性圖畫在實用中不斷減化后就形成了圖畫文字。第三個階段為文字產生后帶來的圖形的發展。文字這一視覺傳達形式使人類的溝通和交往更加密切，而能綜合復雜信息內容且又極易被領會的圖形形式更為人類所重視和利用。參考答案：練習1：ADADBC1.（1）AE（2）AE2.BCABBD練習2：1.3種；AC最近。2.能。因為4+4＞7、4+7＞4.3.1個，2厘米、3厘米、4厘米可以圍成三角形。練習