第3節空間中的平行關系

——、必備知識?回顧教材重“四基”/—

一、教材概念?結論?性質重現

1.直線與平面平行的判定與性質

判定

性質

定義定理

a--------b-------a--------

圖形

/7nz/寧

aua,房a,a//a.,au6,

條件a—a=0a"Q

a"bQCB=b

結論a//ab//aaDa=0allb

微提醒???同

⑴證明線面平行常用的方法是證明這條線與平面內的某條直線平行.但一定要

說明一條直線在平面外，一條直線在平面內.

(2)輔助線(面)是解(證)線面平行的關鍵.為了能利用線面平行的判定定理及性

質定理，往往需要作輔助線(面).

2.兩個平面平行的判定與性質

判定

性質

定義定理

昆__/率'、/

圖形

/a//a~7/o^a/h7

auB,6u￡,a〃兄

an￡=

條件aCb=P,aCly=a,a〃￡,au(3

0

alla,b"ctBPly=b

結論a〃￡口〃6a//ba//a

微提醒????

判定定理的推論：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線

分別對應平行，那么這兩個平面平行.

3.常用結論

(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.

(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.

(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.

(5)同一條直線與兩個平行平面所成角相等.

(6)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.

二、基本技能?思想?活動體驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“，錯的打“X”.

(1)若直線a與平面a內無數條直線平行，則a〃a.(X)

(2)如果一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平

行.(J)

(3)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平

面.(X)

(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.(V)

2.已知加，〃是兩條不同的直線，a,￡,y是三個不同的平面，下列命題中

正確的是()

A.若mHa,n//a,則m//n

B.若m//a,m//￡,則a///3

C.若a_Ly,6_Ly,貝a〃￡

D.若m.La,nl.a,則m//n

D解析：選項A中，兩直線可能平行，相交或異面，故選項A錯誤.選項B

中，兩平面可能平行或相交，故選項B錯誤.選項C中，兩平面可能平行或相交，

故選項C錯誤.選項D中，由線面垂直的性質定理可知命題正確.故選D.

3.平面a〃平面￡的一個充分條件是()

A.存在一條直線a,a//a,a//￡

B.存在一條直線a,auct,a///3

C.存在兩條平行直線a,b,aua,bu0,a///3,blla

D.存在兩條異面直線a,b,aua,buB,a〃￡,b//a

D解析：若an￡=/,a///,Ha,/￡,則a〃a,a〃￡,故排除A；

若aPl￡=/,aua,a//I,則a//￡,故排除B；若al~l￡=/,aua,a///,

buB,b//I,則a〃￡,b//a,故排除C.故選D.

4.在正方體力6/一48G〃中，E,F,G分別是48,CD,SG的中點，下列命

題正確的是()

DFC

o.

A<F.B,

A.然與CG是異面直線

B.四邊形廠是正方形

C./E〃平面BGF

D.以上都不對

C解析：由于￡G〃4G〃/C,故4E,G,C四點共面，故A項錯誤；在四邊

形/四片中，AE=EG=aF=AF,但/尸與不垂直,故B項錯誤；由于AE//aF,

由線面平行的判定定理，可得平面BGF.故選C.

5.如圖，在長方體切一48G〃中，F為〃〃的中點，則能與平面/&?的位

置關系為.

平行解析：連接做，設劭n/c=0,連接&7（圖略）.在△6〃〃中，0為BD的

中點，E為如的中點，所以&7為XBDD、的中位線，則BD、//E0,而8ZM平面ACE,

駐平面/綏，所以8〃〃平面/宏

-----'關鍵能力?研析考點強“四翼”/------

考點1直線、平面平行的基本問題——基礎性

多維訓練」

1.過三棱柱/6C—48G的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面/即4平行的

直線共有（）

A.4條B.6條

C.8條D.12條

B解析：作出如圖的圖形，E,F,G,//是相應棱的中點，故符合條件的直線

只能出現在平面日為//中.由此四點可以組成的直線有￡F,GH,FG,EH,GE,HF,

共有6條.

HC,

2.（多選題）如圖，在下列四個正方體中，A,6為正方體的兩個頂點，M,N,Q

為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線48與平面桃。平行的是

)

B

BCD解析：A項，作如圖①所示的輔助線，其中，為6c的中點，則①〃48

因為QDH平面MNO=O,所以初與平面MNQ相交,所以直線46與平面的V。相交.

B項，作如圖②所示的輔助線，貝3,CD//MQ,所以陽

又ABX平面MNQ,Mg平面MNQ,所以/8〃平面MNQ.

C項，作如圖③所示的輔助線，貝緲，CD//MQ,所以48〃他

又ABi平面MNQ,平面MNQ,所以46〃平面MNQ.

D項，作如圖④所示的輔助線，則/8〃勿，CD//NQ,所以48〃M2.

又力因平面MNQ,Mfc平面MNO,所以/6〃平面MNQ.故選BCD.

3.(多選題)在正方體力成/一48G〃中，＜N,。分別是棱〃G,6c的中

2

點，點夕在能上且加=可劭，則下列說法正確的是()

A.椒〃平面APC

B.G0〃平面仍？

C.A,P,附三點共線

D.平面的V。〃平面力外

BC解析：如圖，對于A,連接網AC,除MN"AC,連接/肌CN.

易得AM,a/交于點P,即MNu平面APC,所以A選項錯誤.

對于B,由A知肌/I/在平面/PC內，由題易知且4Vt平面初C,QG

。平面APC.所以B選項正確.

對于C,由A知，A,P,"三點共線，所以C選項正確.

對于D,由A知眼忙平面初C,又的Vt平面例/〃，所以D選項錯誤.

解題通法

直線、平面平行的判定方法

(1)關注是否符合判定定理與性質定理，并注意定理中易忽視的條件.

(2)結合題意構造圖形，結合圖形做出判斷.

(3)利用實物進行空間想象，比較判斷.

(4)熟記一些常見結論，如垂直于同一條直線的兩個平面平行等.

考點2直線、平面平行的判定與性質——綜合性

典例引領」

例如圖，在幾何體tABCD中，四邊形/成》是矩形，46,平面比C,BEX.

EC,AB=BE=EC=2,G,尸分別是線段AC的中點.

求證：GF〃平面ADE.

A,

D

證明：（方法一：線線平行，則線面平行）如圖，取的中點//,連接//￡HD.

因為G是房的中點,

1

所以GH//AB,且GH=^AB.

又尸是切的中點，

1

所以DF=/D.

由四邊形ABCD是矩形得

AB//CD,AB=CD,

所以GH//DF,且GH=DF,

從而四邊形Z/67刀是平行四邊形，

所以GF//DH.

又力七平面ADE,G甩平面ADE,

所以G尸〃平面ADE.

（方法二：面面平行，則線面平行）如圖，取43的中點肌連接斷?，MF.

因為G是8F的中點，所以GM//AE.

又AEc平面ADE,GMZ平面ADE,

所以G〃〃平面ADE.

在矩形ABCD中，

由〃,尸分別是AB,CD的中點得MF//AD.

又A上平面ADE,MFI平面ADE.

所以肺〃平面ADE.

又因為GMCMF=M,G弧平面GMF,MFu平面GMF,所以平面G腿〃平面ADE.

因為GRz平面GMF,

所以6尸〃平面ADE.

解題通法

解決線面平行問題的關鍵點

（1）利用判定定理判定直線與平面平行，關鍵是找出平面內與已知直線平行的直

線.可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮作三角形的

中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.

（2）線面平行的性質定理是空間圖形中產生線線平行的主要途徑，常用于作截

面.

多維訓練」

1.（多選題）（2020?濟寧期末）已知加，〃為兩條不重合的直線，a,￡為兩個

不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A.若m//a.,n//6且。〃￡,則m//n

B.若勿〃m-La,nl.（3,則a//（i

C.若勿〃"，〃uq,a〃￡,闌6,則勿〃6

D.若m//n,nl.a.,a_L。，則m///3

BC解析：若m//a,n//0且a〃￡,則可能m//n,m,"異面，或勿，〃相

交，A錯誤；

若m//n,ml-a,則nl.a,又nl.B,故。〃6,B正確；

若m//n,nua,則m//a或歸a,又口〃6,加（3,故m///3,C正確；

若m//n,nA-a.,則ml.a.,又aJ_￡,則m//B或ma0,D錯誤.故選BC.

2.一個長方體被一個平面所截得的幾何體如圖所示，四邊形為截面，則

四邊形EFGH的形狀為.

R

平行四邊形解析：因為平面ABFE〃平面CDHG,

又平面EFGHC平面ABFE=EF,

平面￡FG//n平面CDHG=HG,

所以EF//HG.同理EH//FG,

所以四邊形仔'67/是平行四邊形.

3.如圖，已知點戶是平行四邊形/成浦所在平面外的一點，E,尸分別是必，BD

上的點，且用：EA=BF\FD.求證：爐〃平面PBC.

證明：（方法一）連接AF,并延長交BC于點G,連接PG.

,FGFB

因為BC//AD,所以三=百

「，PEBFPEGF~

又因為官=而，所以豆=豆，所以EF//PG.

匚ArU匚Ar/i

又因為QGu平面PBC,ERI平面PBC,

所以仔?〃平面PBC.

（方法二）過點尸作FM//AD,交48于點M,連接EM.因為FM//AD,AD//BC,所以

FM//BC.又因為放平面PBC,B0平面PBC,所以/W平面PBC.由FM"AD得不『

BFiPEBF~PEBM

行又因為豆=兩所以豆=赤

p

憶

AMB

所以EM//PB.

因為PBu平面PBC,EMI平面PBC,所以日/〃平面PBC.

因為日/HFM=M,EM,F3平面EFM,

所以平面的/〃平面PBC,

因為仔t平面占W,所以EF〃平面PBC.

考點3面面平行的判定與性質及平行的綜合問題——應用性

典例引領」

考向1面面平行的判定與性質

例?，如圖，在三棱柱48G中，E,F,G,〃分別是AC,48,4G

的中點.

求證：(1)8,C,H,G四點共面；

(2)平面方4〃平面BCHG.

證明：⑴因為G,〃分別是48,4G的中點，

所以G//是△48G的中位線，

所以GH//ByOx.

又因為8G〃回，所以G//〃8G

所以8,0,H,G四點共面.

⑵因為￡尸分另U是AB,AC的中點，

所以EF//BC.

因為我平面BCHG,以七平面BCHG,

所以&〃平面BCHG.

又G,￡分別為48,46的中點，且48=48,

所以A、G〃BEnA、G=BE,

所以四邊形4砥G是平行四邊形，

所以AyE//GB.

又因為4國平面BCHG,GBu平面BCHG,

所以4萬〃平面BCHG.

又因為4三0戶=￡AyE,卮平面仔4,

所以平面日4〃平面BCHG.

同源異考/

1.在本例中，若將條件“￡F,G,〃分別是AC,48,4G的中點”變為

“〃，，分別為8G,6c的中點”，求證：平面4劭〃平面力GZZ

證明：如圖，連接4C,與/G交于點〃

因為四邊形447G是平行四邊形，所以"是4c的中點，連接

因為，為6c的中點，

所以A,B//DM.

因為ABu平面DMX平面ABB,

所以ZW〃平面A破.

由三棱柱的性質知，RG//BDSLaa=BD,

所以四邊形BDGD、為平行四邊形，

所以DGJ/Bd.

又DGQ平面A\BD\,BDu平面ABB,

所以4G〃平面AyBDx.

又。GHDM=D,Da,加仁平面AGD,

所以平面4初〃平面AGD.

2.在本例中，若將條件“￡F,G,〃分別是AC,48,4G的中點”變為

AD

“點。，〃分別是4C,4G上的點，且平面平面，試求方的值.

解：連接A8,交48于點0,連接。仄.

因為平面〃平面ABQ,

且平面48GD平面BCiD=BCi,平面48GC平面A&Di=D、O,

4DyAy0

所以則行7='=1.

5U]UD

同理

又AD//DxG,

所以四邊形47G4是平行四邊形，

所以47=〃G.

?4〃DC?DC°AD

又4上4凡所以而=而，所以而=1,即而=「

解題通法

判定面面平行的方法

(1)利用定義，即兩個平面沒有公共點(不常用).

⑵利用面面平行的判定定理(主要方法).

⑶利用垂直于同一條直線兩平面平行.

(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面

平行.

考向2平行關系的綜合問題

例?戶如圖，在正方體力反沙一48G"中，萬是棱，〃的中點.在棱G〃上是否存

在一點F,使8月〃平面ABE?證明你的結論.

解：在棱G〃上存在一點尸，使8尸〃平面4庇證明如下:

如圖所示，分別取G〃和⑺的中點尸，G,連接8月，EG,BG,CD、,FG.

因為44〃8G〃比，且4〃=8a

所以四邊形46州是平行四邊形，

所以D、CHAB

又EG分別為。。3的中點，

所以EG//DC從而EG//4B.

這說明4,B,G,萬四點共面.

所以BGc.平面AyBE.

因為四邊形GCDD、與88CG皆為正方形，F,G分別為G〃和勿的中點，

所以&?〃GC〃笈8,nFG=GC=RB,

所以四邊形88G尸是平行四邊形，

所以&F〃BG,

而R再平面AyBE,BGu平面A,BE,

故8尸〃平面AyBE.

解題通法

解決面面平行問題的關鍵點

(1)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，

再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的

方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”.

(2)解答探索性問題的基本策略是先假設，再嚴格證明，先猜想再證明是學習和

研究的重要思想方法.

多維訓練」

1.設a,￡,Y為三個不同的平面，m,"是兩條不同的直線，在命題“aA￡

=m,〃uy,且,則勿〃〃”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該

命題為真命題.

①a〃y,/7U￡；②加〃y,〃〃￡；③〃〃/7,me

可以填入的條件有()

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

C解析：由面面平行的性質定理可知，①正確；當〃〃￡,歸y時，〃和加

在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確.

2.在四面體①中，M,/1/分別是△力做切的重心，則四面體的四個面中

與的V平行的是.

平面4宓，平面480解析：如圖，連接47并延長交緲于點￡連接以/并延

EMEN

長交CD于點、F.由重心的性質可知，E,尸重合為一點且該點為切的中點E.由拓

MAfVD

1

=)將MN"AB,因此，MN"平出ABC,且椒〃平面45〃

3.如圖，在正方體力成沙一48GA中，S是8〃的中點，E,F,G分別是8aCD,

SC的中點.

求證：⑴直線EG〃平面劭〃8;

(2)平面EFG〃平面BDDR.

證明：⑴如圖，連接S8,因為E,G分別是8aSC的中點，所以&?〃SB

又因為S6u平面BDDB,

的平面BDDB,

所以直線EG〃平面BDDR.

⑵如圖，連接S。，因為尸，G分別是切，SC的中點，所以&?〃S〃

又因為Sk平面BDDB,FOt平面BDDB,

所以&?〃平面BDDyBy.

入EG〃平面BDDB,Ek平面EFG,F和平面EFG,EGCFG=G,

所以平面9W〃平面BDDB、.

、一題N解?深化綜合提“素養”/一

試題呈現」

如圖，四邊形/8（笫是邊長為3的正方形，DEL平面ABCD,/尸，平面力仇力，DE

=3/f=3.

證明：平面尸〃平面〃宏

［四字程序］

讀想算思

面面平行的證明平行的有關定理：

平面尸〃平面DCE,

方法；1.面面平行的判

巫，平面ABCD,構造平行關系證

線〃面=面〃面，定定理；

平面ABCD,明

線〃線=面〃面2.面面平行判定

DE=3AF=3

定理的推論

「一題多解」

解法IW

思路參考：應用面面平行的判定定理證明.

證明：因為DEA-平面ABCD,AFV平面ABCD,所以DE//AF.

因為/月平面DCE,DEu平面DCE,所以/尸〃平面DCE.

因為四邊形/反沙是正方形，所以/8〃微因為力由平面灰如，所以48〃平面

DCE.

因為AB^AF=A,ABu平面ABF,"t平面ABF,所以平面四廠〃平面DCE.

解法?1

思路參考：利用兩個平面內的兩條相交直線分別平行證明.

證明：因為DEV平面ABCD,AFX.平面ABCD,

所以DE//AF.

因為四邊形緲為正方形，際以AB"CD.

又47n45=4AF,/48u平面4町DECCD=D,DE,D紀斗曲DCE,

所以平面ABF”平&DCE.

解法gfl

思路參考：利用垂直于同一條直線的兩個平面平行證明.

證明：因為巫，平面ABCD,所以D