試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年湖南省五市十校教研教改共同體高一下學期期末數學試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，B，再求兩集合的交集即可【詳解】解：，，.故選：C2．已知向量，，若，則實數的值是（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】，由數量積的坐標運算列出方程即可.【詳解】，，即，解得.故選：C.3．若，為兩條不同的直線，為平面，且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用充分條件和必要條件的定義求解即可【詳解】由，或，由，，“”是“”的必要不充分條件.故選：B4．某小區居民上網年齡分布圖如圖所示，現按照分層抽樣的方法從該小區抽取一個容量為的樣本.若樣本中90后比00后多52人，則（）A．400 B．450 C．500 D．550【答案】A【分析】由題意列方程求解即可【詳解】根據題意可知，解得.故選：A5．函數，的部分圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由解析式知是奇函數且上單調增，即可判斷函數圖象．【詳解】由于所以為奇函數，故排除B，D，而，，在上分別為減函數?增函數?增函數，且函數值均為正數，所以在上為增函數，故選：A6．已知函數在單調遞減，在單調遞增，則的最小正周期為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數的單調性可確定函數的對稱軸，進而可求得的值及函數的周期.【詳解】由題意結合余弦函數圖像可得，，最小正周期，故選：D.7．設，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷，而，，所以利用對數函數的性質比較大小即可【詳解】，，，，，，，，即，.故選：A8．已知，，分別為內角，，的對邊，，則的最大值為（）A．2 B． C．4 D．8【答案】B【分析】化簡用正弦定理得，再利用得：，進而得：，利用基本不等式可得：，再利用化簡即可.【詳解】由已知及正弦定理得，，兩邊除以得，當，都為銳角時，，，當且僅當時，等號成立，.若，其中一個為鈍角時，，的最大值為，故選：B.二、多選題9．已知復數，則下列命題正確的是（）A．的虛部為 B．C． D．在復平面內對應的點位于第三象限【答案】AC【分析】把化簡為即可判斷.【詳解】，，，，故選：AC.10．某城市在創建文明城市的活動中，為了解居民對“創建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分（分數為整數，滿分100分），從中隨機抽取一個容量為100的樣本，發現數據均在內.現將這些分數分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示.觀察圖形，則下列說法正確的是（）A．頻率分布直方圖中第三組的頻數為10人B．根據頻率分布直方圖估計樣本的眾數為75分C．根據頻率分布直方圖估計樣本的中位數為75分D．根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數為75分【答案】ABC【分析】對于A，先由頻率分布直方圖求出第3組的頻率，從而可求出其頻數；對于B，由眾數的定義判斷即可；對于C，由于前3組的頻率和小于，前4組的頻率和大于，所以可知中位在第4組，從而可求出中位數；對于D，利用平均數公式求解即可【詳解】分數在內的頻率為，所以第三組的頻數為（人），故A正確；因為眾數的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點，從圖中可看出眾數的估計值為75分，故B正確；因為，，所以中位數位于，設中位數為，則，解得，所以中位數的估計值為75，故C正確；樣本平均數的估計值為（分），故D錯誤.故選：ABC11．已知三棱錐的頂點均在表面積為的球的球面上，、、兩兩垂直，，，則下列結論中正確的是（）A．球的半徑為B．C．到平面的距離為D．到平面的距離為【答案】ABD【分析】先利用表面積求出外接球半徑，再構造為長方體，可求出，再利用等體積法可求出到平面的距離，在求出三角形的外接圓半徑，即可解決.【詳解】如圖，將三棱錐構造在長體中，由得，，，，，由等體積法可得，即，即到平面的距離，設與平面交于點，如圖，，，則，即，解得：，∴點到平面的距離，故選：ABD.12．已知的重心為，過點的直線與邊，的交點分別為，，若，且與的面積之比為，則的可能取值為（）A． B． C． D．3【答案】BD【分析】設，利用重心的性質，把用、表示，再由，，三點共線得關于，的方程，再由三角形面積比得關于，的另一方程，聯立即可求得實數的值．【詳解】解：如圖，，，即，設，則，三點共線，，，所以，與的面積之比為，，即，化簡得，解得或3.故選：BD三、填空題13．若向量，滿足，，，則與的夾角為_________.【答案】【分析】由向量夾角公式直接求解即可.【詳解】，夾角為，故答案為：.14．從長度（單位：）分別為2，3，4，5的4條線段中任取3條，能構成鈍角三角形的概率為____.【答案】【分析】由題意列出基本事件空間，再確定能構成鈍角三角形的情況，進而求得概率.【詳解】4條線段中任取3條的可能情況有234，235，245，345，共4種，其中能構成鈍角三角形的情況有234，245，共2種，概率為，故答案為：.15．已知，，分別為內角，，的對邊，，，，則_______.【答案】【分析】由二倍角公式及余弦定理求出，再由正弦定理求解.【詳解】，，，，，，，.故答案為：四、雙空題16．《九章算術》中，芻甍（chúméng）是一種五面體，其底面為矩形，頂部為一條平行于底面矩形的一邊且小于此邊的線段.在如圖所示的芻甍中，平面平面，，且四邊形為等腰梯形，，，，則芻甍的體積為________，二面角的余弦值為______.【答案】【分析】連接，則芻甍被分割為四棱錐和三棱錐，平面平面，則可得平面，過點作，則平面，從而可求出兩個棱錐的體積，進而可得芻甍的體積；過點作，連接，則，則為二面角的補角，然后在中求解即可【詳解】連接，則芻甍被分割為四棱錐和三棱錐，平面平面，∴平面，過點作，則平面，，，∴芻甍的體積為.過點作，連接，則，∴為二面角的補角，在中，由等面積法易得，，，∴二面角的余弦值為.故答案為：，五、解答題17．在中，，設（、為實數）.（1）求，的值；（2）若，，求.【答案】（1），；（2）6.【分析】（1）利用向量的減法法則可得，化簡即可求得結果；（2）由（1）求得，，利用數量積公式計算即可.【詳解】（1），∴,則，，.（2）由（1）得，，.18．函數的部分圖像如圖所示.（1）寫出圖中、的值；（2）將函數的圖像向右平移個單位，再將所得圖像上所有點的縱坐標縮短為原來的倍，橫坐標不變，得到函數的圖像，求方程在區間上的解.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據正弦型函數圖象性質直接可求、的值；（2）根據函數伸縮平移變換可得，進而可求方程的解.【詳解】（1）由正弦型函數的對稱軸性質可知：，，解得：，，故；，故；（2）由（1）及題意可得，由可得，或，，解得或，，，∴方程的解為.19．為了參加數學選拔賽，某高級中學對高二年級理科、文科兩個數學興趣小組的同學進行了賽前模擬測試，成績（單位：分）記錄如下：理科：79，80，81，79，94，92，85，90文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）計算理科、文科兩組同學成績的平均數和方差，并從統計學的角度分析，哪組同學在此次模擬測試中發揮更好；（2）若在成績不低于90分的同學中隨機抽出2人進行培訓，求抽出的2人中至少有1名理科組同學的概率.【答案】（1）85，33.5，84，41.75，理科組發揮更好；（2）.【分析】(1)分別計算兩組成績的平均數和方差，再比較對應量的差距即可作答；(2)從復合條件的6人中任取2人，利用列舉法求概率即可得解.【詳解】（1）理科組同學成績的平均數，方差，文科組同學成績的平均數，方差由于，，所以理科組同學在此次模擬測試中發揮更好；（2）設理科組同學中成績不低于90分的3人分別，，，文科組同學中成績不低于90分的3人分別為，，，從6人中隨機抽出2人的結果有：，，，，，，，，，，，，，，，共有15不同結果，它們等可能，其中全是文科組同學的情況有，，三種，記“抽出的2人中至少有一名理科組同學同學”為事件，則，，所以抽出的2人中至少有1名理科組同學的概率是.20．如圖，四棱錐中，為等邊三角形，平面，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）若，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）取中點，連接，，則由三角形中位線定理結合已知條件可證得四邊形為平行四邊形，從而有，然后由線面平行的判定定理可得結論；（2）由平面，可得，由為等邊三角形，可得，由線面垂直的判定定理可得平面，進而得平面，然后由面面垂直的判定定理可證得結論；（3）過點作，則平面，從而可得為直線與平面所成角，然后在中求解即可【詳解】（1）取中點，連接，，則∥，，因為，，所以,，所以四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面（2）平面，平面，∴∵是正三角形，為的中點，，平面，，平面，平面，∴平面平面.（3）過點作，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為直線與平面所成角，，.21．內角，，的對邊分別為，，，，.（1）證明：；（2）若，求的周長.【答案】（1）證明見解析；（2）18.【分析】（1）由三角函數的基本關系式，分別求得的值，結合正弦定理，即可求解；（2）由（1）求得，根據向量的運算法則得到，設設，，，求得的值，即可得到的周長.【詳解】（1）由，可得，所以，所以為銳角，，所以，由正弦定理可得.（2）由（1）知，所以，設，，，則，解得，所以的周長為.22．如圖，正方形與正方形所在平面互相垂直，、分別在，上，，.（1）證明：；（2）證明：平面；（3）求平面截三棱柱所成大小兩部分的體積比.【答案】（1）證明見解析