28.1銳角三角函數第二十八章銳角三角函數逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2銳角三角函數銳角三角函數之間的關系(拓展)特殊角的三角函數值利用計算器求銳角三角函數值知識點銳角三角函數知1－講11.正弦、余弦、正切名稱定義符號語言圖示正弦知1－講續表名稱定義符號語言圖示余弦知1－講續表名稱定義符號語言圖示正切知1－講注意(1)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定義的，求值

時，要先找到角所在的直角三角形；(2)sinA，cosA，tanA反映了直角三角形的邊與角的關

系，是兩條邊的比值，沒有單位.知1－講2.銳角三角函數：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數.知1－講特別提醒sinA，cosA，tanA都是一個完整的符號，不能寫成sin·A，cos·A，tan·A.知1－講特別說明(1)定義理解：①由相似的知識可知，sinA，cosA，tanA的值與三角形的大小無關，只與∠A的大小有關；②因為當∠A確定時，sinA，cosA，tanA都只有唯一確定的值與其對應，所以sinA，cosA，tanA都是以∠A為自變量的函數，統稱為∠A的銳角三角函數.知1－講

知1－講(2)取值范圍：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0.特別解讀由于直角三角形的斜邊大于直角邊，且各邊的邊長均為正數，所以銳角三角函數值都是正實數，且正弦值和余弦值小于1.知1－講(3)寫法：①當銳角用一個大寫字母或一個小寫希臘字母表示時，習慣上省略角的符號“∠”，如：sinA，cosA，tanA，sinα

，cosα

，tanα

等；②當銳角用三個大寫字母或一個阿拉伯數字表示時，角的符號“∠”不能省略，如：sin∠ABC不能寫成sinABC，cos∠1不能寫成cos1等.知1－練例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.已知a＝6，b＝8，求出∠A的三角函

數值.解題秘方：緊扣“銳角三角函數的定義”求解.知1－練

知1－練方法點撥：已知直角三角形的任意兩邊長求某個銳角的三角函數值時，運用數形結合思想,首先畫出符合題意的直角三角形，然后根據勾股定理求出未知的邊長，最后結合銳角三角函數的定義求該銳角三角函數值.知1－練

C知1－練

例2解題秘方：引入參數，用這個參數表示出三角形的三邊長，再用定義求解.知1－練

答案：B知1－練技巧點撥：在直角三角形中，給出某一個銳角的三角函數值，求另一個銳角的三角函數值時，可以用設輔助元，即引入“參數”的方法來解決，注意在最后計算時要約去輔助元.知1－練

知1－練例3如圖28.1－3，在等腰三角形ABC

中，AB＝AC，如果2AB＝3BC，求∠B

的三個三角函數值.解題秘方：緊扣“銳角三角函數的定義的前提是在直角三角形中”這一特征，用“構造直角三角形法”求解.知1－練

知1－練3－1.如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14，

S△

ABC＝84，求：知1－練(1)tanC的值；知1－練(2)sinA的值．知1－練

例4知1－練思路引導：知1－練

答案：D知1－練特別提醒：正方形網格的兩個隱含條件(1)任何格點之間所連的線段都是某個正方形或長方形的邊或對角線，所以任何格點之間所連的線段長度都能求出；(2)利用正方形的性質，容易得到一些特殊的角，如45°角，90°角等.知1－練

B知1－練例5

知1－練解題秘方：緊扣“角相等則其三角函數值也相等”這一特征，用“等角轉換法”將所要求的角的三角函數值轉換為直角三角形中與該角相等的角的三角函數值．知1－練

知1－練

答案：D知1－練5－1.[期中·福州鼓樓區]如圖，在⊙O中，直徑AB＝6，AB與弦CD相交于點E，連接AC，BD，若AC＝2，則cosD的值為_______．知2－講

知識點銳角三角函數之間的關系(拓展)2知2－講

知2－講深度理解1.銳角三角函數之間的關系都可用定義推理得出.2.銳角三角函數定義速記口訣：正弦等于對比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對比鄰，函數特點要牢記.知2－講2.互余兩角的三角函數之間的關系(1)在△ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么sinA＝cosB，cosA＝sinB，即一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.sinA=cos(90°－∠A)，cosA=sin(90°－∠A).知2－講

知2－講

知2－練

例6解題秘方：緊扣“同一銳角的三角函數之間的關系”求解.知2－練

知2－練

知2－練下列各式中，不成立的是()A.cos60°＝2sin30° B.sin15°＝cos75°C.tan30°·tan60°＝1 D.sin230°＋cos230°＝1解題秘方：緊扣“sinα＝cos(90°－α)，tanα·tan(90°－α)＝1”進行判斷．例7知2－練答案：A解：A.cos60°＝sin30°，故該選項錯誤；B.sin15°＝cos75°，故該選項正確；C.tan30°·tan60°＝1，故該選項正確；D.sin230°＋cos230°＝1，故該選項正確.知2－練7－1.[期末·煙臺萊州市]若sin(α＋20°)＝cos50°，則α

的度數可能是()A.50° B.40°C.30° D.20°D知3－講知識點特殊角的三角函數值31.30°，45°，60°角的三角函數值：三角函數值銳角α三角函數30°45°60°sinαcosαtanα1知3－講特別提醒1.由左表可知特殊銳角的三角函數值，也可由特殊角的三角函數值求出相應的銳角.2.2sin60°表示sin60°的2倍，書寫時省略2與sin60°之間的乘號，且應將數字2放在前面，不要寫成sin60°·2，以免誤以為是sin120°.3.對于含有三角函數的計算題，應先把相應的三角函數值代入，將運算轉化為實數的混合運算，然后根據實數的運算法則計算.知3－講2.特殊三角函數值的記憶方法(1)三角板記憶法：如圖28.1－7所示，可以借助直角三角板記憶.知3－講

知3－講

知3－練

解題秘方：能化簡的先化簡，然后代入計算即可.例8知3－練

知3－練

知3－練

例9知3－練思路引導：知3－練

知3－練方法點撥：已知三角函數值求角度，關鍵要注意兩點：一要說明角是銳角；二要注意三角函數值與銳角之間是一一對應的關系.知3－練

C知3－練

60°知4－講1.利用計算器求銳角三角函數值的方法：(1)當銳角的大小以度為單位時，可先按sin(或cos、tan)鍵，然后輸入角度值(可以是整數，也可以是小數)，最后按＝鍵，就可以在顯示屏上顯示出結果；(2)當銳角的大小以度、分、秒為單位時,要借助°′″鍵計算，按鍵順序是：sin(或

cos、tan)、度數、°′″、分數、°′″、秒數、°′″、＝.知識點利用計算器求銳角三角函數值4知4－講2.已知銳角三角函數值求銳角的度數的方法：如果是特殊角的三角函數值，可直接寫出其相應的角的度數；如果不是特殊角的三角函數值，應利用計算器求角的度數.求角的度數要先按2ndF鍵，將sin鍵、cos鍵、tan鍵轉化成它們的第二功能鍵，當三角函數值為分數時，可先化成小數.知4－講特別提醒1.不同計算器的按鍵順序不同，大體分兩種情形：先按三角函數鍵，再按數字鍵；先輸入數字，再按三角函數鍵.2.用科學計算器進行計算時，輸入的數字符號的順序與書寫時的順序不一定相同，比如sin213°15′，輸入時應為(sin13°15′)2.知4－練用計算器求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″的值.例10解題秘方：按計算器的使用說明依次按鍵即可.知4－練解：如下表：按鍵順序顯示結果sin16°0.275637355cos42°0.743144825tan85°11.4300523sin72°38′25″0.954450312知4－練10－1.用計算器求下列各式的值(結果精確到0.0001)：(1)sin23°5′＋cos66°55′；(2)cos14°28′－tan42°57′；(3)sin27.8°－cos65°37′＋tan49°56′.解：原式＝sin23°5′＋sin23°5′＝2sin23°5′≈2×0.39207≈0.7841.原式≈0.96829－0.93088≈0.0374.原式≈0.01842－0.41284＋1.18894≈0.7945.知4－練已知下列銳角三角函數值，用計算器求其相應的銳角的度數.(1)sinA＝0.5168(結果精確到0.01°)；(2)cosA＝0.6753(結果精確到1″).解題秘方：按計算器的使用說明依次按鍵即可.例11知4－練解：依次按鍵：

，顯示的結果為31.11784556，即∠A≈31.12°.(2)依次按鍵：

，顯示的結果為47°31′21.18″，即∠A≈47°31′21″.知4－練解法提醒：計算器直接計算出的角度的單位是度，而不是度、分、秒，因此,若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助2ndF和

°′″

鍵.知4－練11－1.為了方便行人推車過天橋，市政府在10m高的天橋一側修建了一條40m長的斜道(如圖所示)，我們可以借助科學計算器求這條斜道傾斜角∠A的度數，具體按鍵順序是()A.B.C.D.A銳角三角函數銳角三角函數正弦余弦正切定義計算特殊角的三角函數值銳角的三角函數值銳角的度數題型銳角三角函數與四邊形綜合1[中考·連云港]如圖28.1－8，菱形ABCD的對角線

AC，BD相交于點O，E為AD的中點，AC＝4，

OE＝2．求OD的長及tan∠EDO的值．例12解題秘方：根據特殊四邊形的性質，結合勾股定理求出線段的長度，再利用銳角三角函數的定義求三角函數值.

菱形的對角線互相垂直且平分直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半方法點撥解決銳角三角函數與特殊四邊形的綜合應用題目時，要充分利用特殊四邊形的邊角關系，結合三角函數的定義直接求解.題型銳角三角函數與一元二次方程綜合2已知a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C的對

邊，關于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有兩個相等的實數根，且3c＝a＋3b.例13解題秘方:根據一元二次方程根的情況確定三角形邊的關系，進而判斷三角形的形狀，求出三角函數值.(1)判斷△

ABC的形狀；解：將一元二次方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)＝0.∵方程(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝(2b)2－4(c－a)(c＋a)＝0.整理得a2＋b2＝c2.∴△

ABC為直角三角形，且∠C＝90°.(2)求sinA＋sinB的值.

方法點撥解決本題的關鍵是由一元二次方程根的判別式得到關于a，b，c的等式，從而判斷三角形的形狀.求三角函數值時，只需分析直角三角形中三邊的比例關系即可.題型銳角三角函數與一次函數綜合3

例14解題秘方：利用兩條直線的函數解析式構造方程組，解方程組得點B的坐標；(1)求點B的坐標；

解題秘方：利用點A，B的坐標，根據銳角三角函數的定義求sin∠BAO的值.(2)求sin∠BAO的值.

題型銳角三角函數與圓綜合4

例15(1)求BC的長；思路引導：

(2)求⊙O的半徑．思路引導：

︵

技巧點撥在圓中利用銳角三角函數求線段長的方法：若已知的銳角和要求的線段在同一個直角三角形中，則直接運用三角函數求解；若不在同一個直角三角形中，則可利用圓中相等的角進行轉化.

易錯點誤認為三角函數值的大小與三角形的大小有關導致出錯1例16錯解：C正解：銳角A的正弦值是直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比值.當Rt△

ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍時，銳角A的對邊與斜邊的長度也都擴大為原來的3倍，故比值不變.答案：A診誤區：本題往往誤認為銳角三角函數值會隨邊長的增大而增大，實際上，根據銳角三角函數的定義，銳角三角函數值等于對應邊的比，其大小只與邊的比值或角的大小有關.

易錯點錯誤理解銳角度數與三角函數值的對應關系2例17

診誤區：在直角三角形中不能用角之間的倍、分關系作為對應的三角函數值之間的倍、分關系.如60°=2×30°，但是sin60°≠2sin30°.如圖28.1－11，在△ABC中，AC＝6，AB＝8，AD⊥

BC于點D，DC＝3，求tanB和tanC的值.易錯點忽略銳角三角函數是在直角三角形中定義的而出錯3例18

診誤區：正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定義的，因此在解答有關銳角三角函數的問題時，往往要轉化到直角三角形中解答，同時要明確哪個角是直角.若銳角所在的三角形不是直角三角形，應先構造直角三角形，再求銳角的三角函數值.

考法利用定義求銳角的三角函數值1例19試題評析：本題考查正切的定義，找準∠A的對邊與鄰邊是解題的關鍵.答案：C

考法利用特殊角的三角函數值進行計算2例20試題評析：本題考查了有關特殊角的三角函數值的計算，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．[中考·宿遷]如圖28.1－13，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點.點A，B，C三點都在格點上，則sin∠ABC＝______.考法網格中的銳角三角函數3例21

試題評析:本題考查網格中的銳角三角函數，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形．

[中考·雅安]如圖28.1－14，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB＝6，BC＝8，則cos∠ABF的值是_________．

考法折疊中的銳角三角函數4例22試題評析：本題綜合考查了矩形的性質、余弦的定義及折疊的性質，利用勾股定理構造方程是解題的關鍵.

考法圓中的銳角三角函數5例23試題評析：本題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，靈活運用這些知識是解題的關鍵．解：如圖28.1－15，連接OC，OD，CD，CD交PA于點E.∵

PC，PD與⊙

O相切，切點分別為C，D，∴

OC⊥

CP，PC＝PD，PO平分∠CPD.∴

OP⊥

CD，∴

CE＝DE.

答案：D

A

A

A4.如圖，一座廠房屋頂的人字架的跨度AC＝12m，上弦AB＝BC，∠BAC＝25°