2023-2024學(xué)年河南省周口市鹿邑縣高一下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)24,13,14,18,12,14,20,16的75%分位數(shù)為（）

A.17B.18C.19D.20

已知P(4)=1,F(B)=10

2.設(shè)事件/,B,P(AUB)=-,則4,3之間的關(guān)系一定為（）

5010

A.兩個(gè)任意事件B.互斥事件c.非互斥事件D.對立事件

3.某圓臺上底面圓半徑為1,下底面圓半徑為2,母線長為，則該圓臺的體積為（）

77r57r-27r

ABD.37r

AT,"3"■"3"

7F

4.已知向量言,了滿足=2A/3,|b|=3,且正,了的夾角為g,則向量了在向量W方向上的投影

向量為（）

A空B⑦C.RD與

5.設(shè)為兩條不同的直線，a,是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若2〃a,〃/P，則a〃/3B.若.〃0,〃/a,貝！H〃/?

C.若〃/n,nUa,貝!]〃/aD.若/_La』_L0,則。〃0

6.樣本…,aio的平均數(shù)為工，樣本本電,3?）瓦o的平均數(shù)為兀那么樣本

%bi,?2）歷,?3）h■aio,bio的平均數(shù)為（）

A.（a+5）B.2（a+b）C.|（a+b）D,^（a+b）

7.銳角△48。中，角/、3、C所對的邊分別為°、6卬若。=7、b=8,夜=Q,cos4）,方=（$山4,―苧）,

且記則△ABC的面積為（）

A.y/3B.3\/3C.5遮D.10y3

8.如圖，在梯形/BCD中，且/B=2OC，點(diǎn)E為線段BC的靠近點(diǎn)C的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)尸為

線段/。的中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)O,且而=啰混+則/+4的值為（）

14D

17|

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.以下四種說法正確的是()

q2

A.i3——=i

B.若乞=(1+i)2,則復(fù)平面內(nèi)方對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.復(fù)數(shù)z=3—21的虛部為一2〃

D.復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)

10.某校為了落實(shí)“雙減”政策，決定調(diào)查學(xué)生作業(yè)量完成情況.現(xiàn)隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行完成率統(tǒng)計(jì)，

發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生作業(yè)完成比率均在50%至100%之間，進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤纸M后

([50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),畫出頻率分布直方圖(如圖)，下列說法正確的是()

A.直方圖中x的值為0.015

B.在被抽取的學(xué)生中，作業(yè)完成比率在區(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生有75人

C.估計(jì)全校學(xué)生作業(yè)完成比率的中位數(shù)約為86.67%

D.若各組數(shù)據(jù)用所在區(qū)間中點(diǎn)值代替，估計(jì)全校學(xué)生作業(yè)完成比率的平均值為84%

11.(多選題)從裝有大小和形狀完全相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么下列各對事件中,

互斥而不對立的是()

A.至少有1個(gè)紅球與都是紅球B.至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)白球

C.恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球D.至多有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量才=(皿1),T=(1,-2)，工=(2,3),若正—不與工共線，則實(shí)數(shù).

13.已知點(diǎn)PA,B,C在同一個(gè)球的球表面上，P4,平面/8C,ABLAC,PA=Vb>BC=瓜,則

該球的表面積為.

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14.某工廠的三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，三個(gè)車間的產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層隨機(jī)抽樣方法從三個(gè)車

間生產(chǎn)的該產(chǎn)品中，共抽取70件做使用壽命的測試，則C車間應(yīng)抽取的件數(shù)為；若/,B,C

三個(gè)車間產(chǎn)品的平均壽命分別為200,220,210小時(shí)，方差分別為30,20,40,則總樣本的方差為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△ABC中，而=2瓦，設(shè)顯=/加+或記(①、＞為實(shí)數(shù)).

(1)求x,y的值；

⑵若獲=(1,3)，五H=(4,3)，求血.百3

16.(本小題15分)

在正三棱柱ABC—43G中，已知它的底面邊長為2.

(1)若該正三棱柱的高為4,分別求其表面積與體積.

(2)若直線小。與平面ABC所成角的大小為45°，求三棱錐Ci-C43的體積.

17.(本小題15分)

在中，內(nèi)角4巴。的對邊分別是a,b,c,若通b=4c，B=2C.

(1)求0)5_8；

⑵若c=5,點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，且3。=6，求△4DC的面積.

18.(本小題17分)

質(zhì)量監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)叫y，z,用綜合指標(biāo)Q=2+4+Z核定該產(chǎn)品的等級.若Qw5,

則核定該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：

產(chǎn)品編號44444

質(zhì)量指標(biāo)(2,沙,2)(1,1,2)⑵1,2)(2,2,2)(1,3,1)(1,2,3)

產(chǎn)品編號4440

質(zhì)量指標(biāo)(z,g,z)(1,2,2)(2,3,1)(3,2,1)(1,1,1)(2JJ)

(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率;

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(2)在該樣品的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件3為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)均

滿足Q44"，求事件3的概率.

19.(本小題17分)

上饒某中學(xué)為了解該校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對一模考試數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，從中抽取了50名學(xué)生

的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(若該校全體學(xué)生的成績均在[60,140)分)，按照

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140)的分組作出頻率分布直方圖如

圖所示，若用分層抽樣從分?jǐn)?shù)在[70,90)內(nèi)抽取8人，則抽得分?jǐn)?shù)在[70,80)的人數(shù)為3人。

(1)求頻率分布直方圖中的x,y的值;并估計(jì)本次考試成績的平均數(shù)(以每一組的中間值為估算值)；

(2)該高三數(shù)學(xué)組準(zhǔn)備選取數(shù)學(xué)成績在前5%的學(xué)生進(jìn)行培優(yōu)指導(dǎo)，若小明此次數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)是132,請你估算

他能被選取嗎？

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查百分位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

由百分位數(shù)的定義即可得解.

【解答】

解:數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?2,13,14,14,16,18,20,24,

則8x75%=6,

所以75%分位數(shù)為竺［列=19.

故選：C.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了互斥事件的概率公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由題意先求尸(4)+P(B),然后檢驗(yàn)與P(AU8)是否相等，從而可判斷是否滿足互斥關(guān)系.

【解答】

解：因?yàn)镻(4)=:，P(B)=J,

0o

IIO

所以P(4)+PCB)=五+三=正，

OO10

又P(4UB)=g,

15

所以口＞^5)=。(4)+/月)，

所以/與3為互斥事件.

故選R

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查圓臺的側(cè)面積公式與體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

先求出圓臺的高，再由圓臺的體積公式求出即可.

【解答】

解：設(shè)圓臺的母線長為/,高為〃，

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因?yàn)閳A臺上底面圓的半徑為1,下底面圓半徑為2,/

所以圓臺的高為/1=/2一(H-*2=,2—(2—1)2=1，

-11*17

所以圓臺的體積為V=寸r(R2+Rr+r2)/i=-7T(4+2+1)x1=[.

ooo

故選：A.

4.【答案】D

【解析】【分析】利用投影向量的公式即可求解.

【詳解】向量方在向量才方向上的投影向量61cos‘看=?才，

故選：D.

5.【答案】D

【解析】【分析】對于/,。與0還可能相交；對于8,還有可能/U0；對于C,還有可能/Ua；對于以

用反證法可證命題正確.

【詳解】對于/，若/〃a〃/0,則a〃。或a與萬相交.故4不正確;

對于3,若a〃反〃/a,貝也〃0或/U0.故8不正確；

對于C,若”/n,nUa,貝!H〃a或/Ua.故C不正確；

對于。，若必必50,則。〃0,命題正確，證明如下：

如圖：

假設(shè)a與0不平行，則必相交，設(shè)aC0=wi,

設(shè)直線/與a和。分別交于點(diǎn)4_8,在"?上取一點(diǎn)連4W、BM,

因?yàn)?a,AMca,所以

因?yàn)長L。，BMC(3,所以LLBA/,

又直線/、直線/“、直線3在同一平面內(nèi)，所以4刊〃這與月刊03〃=〃相矛盾，故假設(shè)不成

立，所以a〃民故。正確.

故選：D

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6.【答案】C

【解析】【詳解】由題意可知旬+&2+???+電0=10&,61+歷+?一+與0=105,所以所求平均數(shù)為

QI+Q2H----FQio+瓦+b2H-----1-&ioQi+a2H-----F?io+瓦--+--b-2--H---------1--6i-o-=土1/_+,-6f

202020

考點(diǎn)：樣本平均數(shù)

7.【答案】D

7T

【解析】【分析】先由向量垂直得到4=可，利用余弦定理求出c=3或c=5,利用銳角三角形排除c=3,

O

從而c=5,利用面積公式求出答案.

【詳解】由題意得：isinA-cosA=0^故弋411?1=，9,

因?yàn)锳Gfo,—,

7T

所以▲=可,

O

64+c2-491

由余弦定理得：cosA=

2x8c1'

解得：。=3或。=5,

49+9-64

當(dāng)c=3時(shí),最大值為5,其中cosB=:十;:<0,故5為鈍角，不合題意，舍去;

2x7x3

49425—64

當(dāng)c=5時(shí),最大值為5,其中cosB=:十:〉0,故B為銳角，符合題意，

2x7x51

」x8x5x遺

止匕時(shí)S/\ABC=-besinA=10A/3.

222

故選：D

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查向量的線性運(yùn)算，向量的共線，考查運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

直接利用向量共線的應(yīng)用和向量的線性運(yùn)算建立方程組，進(jìn)一步求出x和y的值.

【解答】

解：根據(jù)向量的線性運(yùn)算,

A3=xA^+yB?=xAS—yA§+yA（i=（①一y）。1+y（AB+

=Q—++；割）=（2一y）A§+2yAP+

（一廟+2加

由于5、。、尸三點(diǎn)共線,

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所以/—之+2沙=1，整理得益+39—2=0；

又由初=房+而=瓦？+xA^+yB^

=B1-XB1+y-=（1—x）BA+yB^；

由于/、。、￡三點(diǎn)共線，

所以1—2+包=1,整理得3c—44=0；

3

8

26+34—2=0"=F

故，解得《

3①-4g=06，

所以立+沙=存

故選：C.

9.【答案】AD

【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)、虛部和實(shí)軸等知識確定正確答案.

?22-（-i）

【詳解】A選項(xiàng)，i—；=—i—：—z—i+2i=i,A選項(xiàng)正確.

22?（—2）

8選項(xiàng)，z=（1+獷=2。2=—2人對應(yīng)點(diǎn)（0,-2）,對應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，5選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，復(fù)數(shù)z=3—25的虛部為—2,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

。選項(xiàng)，復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)（a,0）,對應(yīng)的復(fù)數(shù)？=a是實(shí)數(shù)，。選項(xiàng)正確.

故選：AD

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)頻率分布直方圖逐一分析即可.

【解答】

解：由頻率分布直方圖可得（0.005+0.010+2+0.030+0.040）x10=1,解得/=0.015,故選項(xiàng)/正確;

作業(yè)完成比率在區(qū)間［90,100］的頻率為0.040x10=0.4,

所以作業(yè)完成比率在區(qū)間［90,100］的學(xué)生有200x0.4=80（人），故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

作業(yè)完成比率在區(qū)間［50,60）的頻率為0.005x10=0.05,作業(yè)完成比率在區(qū)間［60,70）的頻率為

0.010x10=0.1,

作業(yè)完成比率在區(qū)間［70,80）的頻率為0.015x10=0.15,作業(yè)完成比率在區(qū)間［80,90）的頻率為

第8頁，共13頁

0.030x10=0.3,

因?yàn)?.05+0.1+0.15=0.3<0.5,所以，全校學(xué)生作業(yè)完成比率的中位數(shù)在區(qū)間［80,90)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為

a%,則(a-80)x0.030+0.3=0.5解得a?86.67,

所以，估計(jì)全校學(xué)生作業(yè)完成比率的中位數(shù)約為86.67%，故選項(xiàng)C正確；

由頻率分布直方圖可得，

55x0.005x10+65x0.010x10+75x0.015x10+85x0.030x10+95x0.040x10=84,

所以，估計(jì)全校學(xué)生作業(yè)完成比率的平均值為84%，故選項(xiàng)。正確.

故選ACD.

11.【答案】CD

【解析】【分析】

根據(jù)互斥不對立事件的定義辨析即可.

【詳解】根據(jù)互斥事件與對立事件的定義判斷.

/中兩事件不是互斥事件，事件“3個(gè)球都是紅球”是兩事件的交事件；

2中兩事件能同時(shí)發(fā)生，如“恰有1個(gè)紅球和2個(gè)白球”，故不是互斥事件；

C中兩事件是互斥而不對立事件;至多有1個(gè)紅球，即有0個(gè)或1個(gè)紅球，與恰有2個(gè)紅球互斥，除此還有3

個(gè)都是紅球的情況，因此它們不對立，

D符合題意.

故選：CD

本題主要考查了互斥與對立事件的辨析，屬于基礎(chǔ)題型.

12.【答案】3

【解析】【分析】

本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和向量共線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

先求出正—了=(6―1,3)，再由W—7與工共線，列方程能求出實(shí)數(shù)m.

【解答】

解：?.?向量才=(m,1),了=(1,一2)，工=(2,3),

：,重=(m-1,3)>

?.?記—了與下共線，

第9頁，共13頁

=解得實(shí)數(shù)m=3.

/O

故答案為：3.

13.【答案】87r

【解析】【分析】通過補(bǔ)形的方法求得球的半徑，由此求得球的表面積.

【詳解】由于平面所以而4BLAC，

所以AP,AB,AC是長方體一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱，

設(shè)球的半徑為R,則(2R)2=ap2+402+402=5+3=8,所以7?=禽,

所以球的表面積為4開4=87r.

故答案為：87r

14.【答案】21；89

【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣按比例抽取即可得到C車間應(yīng)抽取的件數(shù)；由分層抽樣的方差公式：

￡=+@1-X)2]+?卜2?+@2-初2]+[fi32+@3-5)2]計(jì)算即可.

【詳解】解：由分層抽樣方法可得：抽取C車間應(yīng)抽取的件數(shù)為70x30%=21；

樣本的總體平均數(shù)為：亍=20%x200+50%x220+30%x210=213,

樣本的總體方差為：$2=得忸+(200—213)2]+[[20+(220-213)2]+^40+(210-213)2]=89,

故答案為：21；89.

15.【答案】解：(1”..初=2瓦，；.口=前+說=而+彳加=前+|(AS-A5)=+萍,

(2)由(1)得標(biāo)=(2,3)，睨=前一幅=(3,0)，

睨=6.

【解析】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用向量的線性運(yùn)算可得而吞+g前，從而可求得x,y的值；

(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

16.【答案】解：(1)正三棱柱的兩個(gè)底面積之和為2x遺x22=2逐，

正三棱柱的側(cè)面積為3x2x4=24,

故正三棱柱的表面積為2g+24；

第10頁，共13頁

正三棱柱的體積為通x4=4通;

⑵因?yàn)?4J平面N3C,所以/小。4即為直線4。與平面/2C所成角,

故/4。4=45°,

所以44=4。=2,故G0=2,

Vbi-CAiBi=Vc-CiAiBi=■|Sz\G4iBi,℃i=：x坐X22X2=

【解析】（1）求出三棱柱的側(cè)面積和底面積，求出表面積，利用體積公式求出體積；

（2）先根據(jù)線面角求出棱柱的高，進(jìn)而利用等體積法求出三棱錐的體積.

17.【答案】解：⑴3=2。，sinB=sin2。=2sinCcosC,

在△48。中，由正弦定理得，—

sinCc

又屬=4c，-cosC=^^-=-=^>.-.COSB=COS2C=2COS2C-1=I；

2sinC2c55

⑵,「c=5,%/^b=4c,6=4通,

3

由余弦定理得，昭=Q?+c?—2QCCOSB，則80=Q?+25—2?Q?5x

5

化簡得，Q?—6。—55=0，解得Q=11或。=—5（負(fù)值舍去），

BD=6，/.CD=5，,「cosCJ乘、CE（0,7r）,sinC=\/l-cos2C=—

55

△/℃的面積s=:CO-AC?sinC=1x5x4^5x—=10.

225

【解析】（1）根據(jù)二倍角以及正弦定理可得cosC=上，即可根據(jù)余弦的二倍角公式求解,

5

（2）根據(jù)余弦定理可得a=11,即可根據(jù)同角關(guān)系得sinC=四，由面積公式即可求解.

5

18.【答案】解：（1）計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)0,如下表：

第H頁，共13頁

產(chǎn)品編號4人244446444Ao

Q4565656634

其中Q<5的有4,A2,A4,4,A9,4O共6件，故該樣本的一等品率為^=0.6,

從而估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.

（2）在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為：

Mi,4}