2025廣東省深圳市高考數學模擬試卷

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.）

1.（5分）若，002。+=2,則有（）

2

A.Q=26B.6=2QC.Q=4Z>D.6=4。

2.（5分）已知命題p：VxGR,-x2<0,命題q：x>x2,則下列說法中正確的是（）

A.命題p,q都是真命題

B.命題,是真命題，夕是假命題

C.命題p是假命題，夕是真命題

D.命題p,q都是假命題

3.（5分）已知集合Z={x|（x+2）（x-3）<0},B={x\y=Vx^T},則4G（CRB）=（）

A.[-2,1）B.[1,3]C.（一8,-2）D.（-2,1）

4.（5分）若復數z滿足z+25=1+23則在復平面內z所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（5分）已知角a的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點（2,3）,則sin（3n+a）

=（）

出—邁2V13.亞

1313J1313

11_

6.（5分）若a=伉2，6=c滿足e則a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

7.（5分）在100,101,102,…，999這些數中,各位數字按嚴格遞增（如“1分”）或嚴格遞減（如“321”）

順序排列的數的個數是（）

A.120B.168C.204D.216

8.（5分）若函數/（x）是定義域為R的奇函數，且/（x+2）=-/（x）,/（I）=1,則下列說法不正確

的是（）

A.f（3）=-1

B./（x）的圖象關于點（2,0）中心對稱

C./（x）的圖象關于直線x=l對稱

D./（1）4/（2）+f（3）+-??+/-（2023）+f（2024）=1

第1頁（共15頁）

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.）

（多選）9.（6分）下列函數中最小值為2的是（）

1

A.y—x?+2x+3B.y=+⑸崗

C.y=2x+21xD.y=Inx+-；—

JJInx

（多選）10.（6分）已知函數〃＞）=2s譏（2X+Q則下列結論成立的是（）

A./（X）的最小正周期為TT

B.曲線y=/（x）關于直線x=5對稱

C.點（—今，0）是曲線y=/（x）的對稱中心

D./（X）在（0,TT）上單調遞增

（多選）11.（6分）關于函數/G）=/bix,下列說法正確的是（）

A.x=2是/（x）的極大值點

B.函數y=/（x）-x有且只有1個零點

C.存在正整數上使得/G）＞履恒成立

D.對任意兩個正實數XI，X2,且若/（XI）=/（X2），則%1+%2＞4

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

,TT7TT

12.（5分）已知向量a=（2,3）,b—[x,1）,a1（ct—b）,則x的值為.

｛2—Jlxlv一＜2，若方程/（x）=/恰有3個不同的實數根，則實數f的取值

范圍是?

14.（5分）祖唾原理也稱祖氏原理，是我國數學家祖昭提出的一個求體積的著名命題：“幕勢既同，則積

不容異”，“幕”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處截面積相等，則

體積相等.由曲線＞=士*x,y=±4圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為匕

貝Iy=.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.（13分）已知在等差數列｛即｝中，03=5,417=3.6.

（1）求數列｛即｝的通項公式;

第2頁（共15頁）

(2)設以=.Q扁),求數列｛加｝的前〃項和S“

16.(15分)已知三角形N3C中，三個內角/、B、C的對應邊分別為a,b,c,且a=5,b=1.

(1)若B=多求c；

(2)設點”是邊48的中點，若CM=3,求三角形ABC的面積.

17.(15分)已知函數/(x)—Inx-ax2+ax.

(1)當°=2時，求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)討論函數g(x)—f(X)+"2的單調性.

18.(17分)如圖，在平面四邊形4BCD中，AB//DC,△48。是邊長為2的正三角形，DC=3,。為4B

的中點，將△N。。沿OD折到△POD的位置，PC=V13.

(1)求證：POLBD-,

(2)若￡為尸C的中點，求直線BE與平面PDC所成角的正弦值.

19.(17分)新高考數學試卷出現多項選擇題，即每小題的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對

得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.若正確答案為兩項，每對一項得3分：若正確答案為三

項，每對一項得2分；

(1)學生甲在作答某題時，對四個選項作出正確判斷、判斷不了(不選)和錯誤判斷的概率如表：

選項作出正確判斷判斷不了(不選)作出錯誤判斷

A0.80.10.1

B0.70.10.2

C0.60.30.1

D0.50.30.2

若此題的正確選項為NC求學生甲答此題得6分的概率：

(2)某數學小組研究發現，多選題正確答案是兩個選項的概率為小正確答案是三個選項的概率為1

-P(0<^<1).現有一道多選題，學生乙完全不會，此時他有兩種答題方案：I.隨機選一個選項；

II.隨機選兩個選項.

①若p=W,且學生乙選擇方案I,分別求學生乙本題得0分、得2分的概率.

第3頁(共15頁)

②以本題得分的數學期望為決策依據，P的取值在什么范圍內唯獨選擇方案I最好?

第4頁（共15頁）

2025廣東省深圳市高考數學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.）

1.（5分）若+，。9速=2,則有（）

2

A.a=2bB.b=2aC.a=4bD.b=4a

【解答]解：]0。2蟲+=2,

2

得，0。2（稱）=2,即a=4b.

故選：C.

2.（5分）已知命題p：VxGR,-x2<0,命題/3xER,x>x2,則下列說法中正確的是（）

A.命題p,q都是真命題

B.命題〃是真命題，夕是假命題

C.命題p是假命題，q是真命題

D.命題p,q都是假命題

【解答】解：因為x=0時，-f=o,'是假命題；

因為％=0.1時，x=0.1,x2=0.01,x>x2,夕是真命題.

故選：C.

3.（5分）已知集合4={x|（x+2）（x-3）<0},B={x\y=Vx77T},貝（CR5）=（）

A.[-2,1）B.[1,3]C.（…，-2）D.（-2,1）

【解答】解：???/={R-2VXV3},B={X\X^\},

ACR5={X|X<1},4G（CRB）=（-2,1）.

故選：D.

4.（5分）若復數z滿足z+25=1+23則在復平面內z所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：設2=。+4（。，Z?GR）,則，=。一/?3

所以z+22=a+bi+2（a—bl）=3a—bi,

又z+25=l+2i,

所以氏二;，解得{;=稱，

第5頁（共15頁）

1

所以z=w—23

所以復數Z在復平面內所對應的點為弓，-2）,位于第四象限.

故選：D.

5.（5分）已知角a的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點(2,3),貝！］sin(3ir+a)

()

3V13口3月2V13

A.-------B-C.-------D.一嗜

13-—"1313

【解答】解:根據正弦函數的定義可知,終邊經過點（2,3）,

33713

所以sina=

J22+32~13~

(3n+a)=-sina=-￥p.

由誘導公式可得：sin

故選：B.

1

6.(5分)右a=In2^be2,c滿足ec—lnc,則a,b,c的大小關系為（

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b'>a>c

11

【解答】解：由e°=歷。>0,知。>1,a=In2<ln\=Q,0<b=e~2<e°=l,貝ljOVbVl,

則c>b>a.

故選：C.

7.（5分）在100,101,102,…，999這些數中，各位數字按嚴格遞增（如“145”）或嚴格遞減（如“321”）

順序排列的數的個數是（）

A.120B.168C.204D.216

【解答】解：由題意知本題是一個計數原理的應用，首先對數字分類，

當數字不含0時，從9個數字中選三個，則這三個數字遞增或遞減的順序確定是兩個三位數，共有

2篇=168,

當三個數字中含有0時，從9個數字中選2個數，它們只有遞減一種結果，共有以=36個，

根據分類計數原理知共有168+36=204

故選：C.

8.（5分）若函數/（x）是定義域為R的奇函數，且/（x+2）=-/（x）,/（I）=1,則下列說法不正確

的是（）

A./(3)=-1

第6頁（共15頁）

B./(x)的圖象關于點(2,0)中心對稱

C.f(x)的圖象關于直線x=l對稱

D./(1)+f(2)+f(3)+???+/,(2023)+f(2024)=1

【解答】解：根據題意，依次分析選項：

對于4f(x+2)=-f(x),令x=l可得：f(3)=-/(1)=-I,A正確；

對于8,因為函數/(x)是定義域為R的奇函數，則/(-x)=-/(x),/(0)=0,

因為/(x+2)=-f(x),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),即函數的周期T=4,

變形可得f(4-x)=f(-x)=-f(x),即/(4-x)+f(x)=0,

所以/(x)的圖象關于(2,0)對稱，2正確；

對于C,由于/(2+x)=-f(x),則/(2-x)=-/(-x)=f(x),

所以函數圖象關于x=l對稱，C正確；

對于。，因為/(I)=1,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-/(I)=-I,/(4)=f(0)=0,

所以/(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+0-1+0=0,

/(1)+f(2)+f(3)+f(4)+-+f(2024)=506|/(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0,D錯誤.

故選：D.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.)

(多選)9.(6分)下列函數中最小值為2的是()

1

A.y—x?+2x+3B.v=Isinxl+1—.——

，，??|smxr|

C.y=2x+21%D.y=Inx+-；—

JJInx

【解答】解：對于產/+2x+3=(x+1)2+2三2,所以〉的最小值為2,故4正確，

11

對于y=\sinx\+...>2,當且僅當厚必=?"即sinx=±l時，等號成立，所以y的最小值

為2,故8正確，

對于C,產2*+2「后2,2久?21T=2企,當且僅當2工=21',即x=4時，等號成立，所以y的最小值

為2位，故C錯誤，

對于。，當0<x<l時，lnx<0,則y=/〃x+高<0,所以y的最小值不是2,故。錯誤.

故選：AB.

第7頁(共15頁)

（多選）10.（6分）已知函數/（%）=2s譏（2]+看），則下列結論成立的是（)

A.f（x）的最小正周期為n

B.曲線>=/（%）關于直線％=掾對稱

C.點（一強，0）是曲線>=/（%）的對稱中心

D./（%）在（0,it）上單調遞增

【解答】解：設f（%）=2s譏（2]+3）的最小正周期為T,T=等=7,故/正確；

因為f（*）=2s譏普=一1W±2,所以8錯誤；

因為f（—碧）=2s譏=0,所以點（—召，0）是曲線>=/（%）的對稱中心，C正確;

-L乙UU-L乙

由（春，得2x+看e（￡,^-）,f（%）在（看，苧）上單調遞減，所以￡）錯誤.

故選：AC.

（多選）11.（6分）關于函數/G）="lnx,下列說法正確的是（）

A.x=2是/（x）的極大值點

B.函數y=/（x）-x有且只有1個零點

C.存在正整數左，使得/G）>履恒成立

D.對任意兩個正實數XI,XI,且X1#X2,若/'（XI）=/（X2）,則Xl+X2>4

【解答】解：由于函數/（X）='+歷X,

所以/'3=妥，

對于/：當0V%V2時，f（x）<0,

當x>2時，，（x）>0,所以x=2為函數的極小值點，故4錯誤；

對于B：函數（x）-x=|；+/〃x-x,y/=/（%）=%5%2VO,

所以函數在（0,+8）上單調遞減，且％-*0時，yf+8,

函數丁=/（x）-x有且只有1個零點，故5正確；

對于C：f（x）>kx,

貝1Hv1+竽，

令g（尤）=爰+竽，

第8頁（共15頁）

—4+x—xZnx

則g。）

令h(x)=-4+x-xlnx,則h'(x)=-Inx,

所以xe（0,1）上函數單調遞增，在xe（1,+8）上函數單調遞減,

所以h(x)Wh(1)<0,

所以g'(x)<0,

則g⑴=爰+竽在（0,+oo）上單調遞減，函數無最小值，故C錯誤;

對于。：對于任意的兩個正實數XI和X2,且X2>X1，

在（0,2）上函數單調遞減，在（2,+8）上單調遞增,

若/（XI）—f（X2）,則Xl+X2>4,故。正確.

故選：BD.

三、填空題（本題共3小題,每小題5分,共15分.）

—>TTT

12.（5分）已知向量a=（2.3),b=(x1),al(a-b),則x的值為5

【解答】解：因為戒=（2,3),b=(x1)，

TT

所以a—b=(2,3)—(X/1)=(2-x.2)，

TTT

又a1(a—/?),

TTT

所以(a—/>)=2(2-x)+3x2=0,解得x=5.

故答案為：5.

7—|r|Y<7

J2一，若方程/（x）=/恰有3個不同的實數根，則實數f的取值

{（%2）,x2

范圍是（0,2）.

【解答】解：已知函數的圖象如圖：方程/（X）=/恰有3個不同的實數根,

則圓錐函數圖象與y=:有三個交點，由圖象可知，當正（0,2）滿足題意;

故答案為：（0,2）

第9頁（共15頁）

14.(5分)祖眶原理也稱祖氏原理，是我國數學家祖眶提出的一個求體積的著名命題：“幕勢既同，則積

不容異”，“幕”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處截面積相等，則

體積相等.由曲線彳-9=1,y=±拳，y=±4圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為匕

則V=32TT.

【解答】解：作出曲線在第一象限的圖象，如圖所示：

當高度為〃時，雙曲線9=1與漸近線了=拳，繞y軸旋轉一周所形成的圖形是圓環，

設小圓的半徑為廠，則(r,h)在直線y=彖上，

所以仁亭r,解得r=盲z；

設大圓的半徑為丑,貝!J(R,h)在雙曲線二―丁=1上，

43

R2k2,2

所以丁—二=1,解得尺2=4(1+勺)，

43J

所以圓環的面積為S=TTR2-巾2=471(1+,)-^TT/72=4TT,

即圓環的截面積為定值；

根據祖晅原理知，旋轉體的體積是憶=4TTX8=32TT.

故答案為：32n.

第10頁(共15頁)

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.（13分）已知在等差數列｛斯｝中,。3=5,417=306.

（1）求數列｛即｝的通項公式；

（2）設.=.（；+3）'求數列｛辦｝的前〃項和$公

【解答】解：（1）設等差數列｛所｝的公差為力

己知：。3=5,。17=3。6，

所以，,解得，了:，

Si+16d=3（%+5d）Id=2

=

故an2n-1；

9911

（2）由（1）得：b=-7--j-yr=..1-rjr,

nnn（%i+3）2n（n+l）、=-n--n+1

小、Ic41.11..1141n

所以Sn九=1-亍2+727-3o'4"■■■H--n---n-+~71~T=1--n~+T1T=一n1+l丁,

16.（15分）已知三角形A8C中，三個內角/、B、。的對應邊分別為a,b,c,且a=5,b=7.

（1）若B—梟求c；

（2）設點M是邊45的中點，若CM=3,求三角形Z5C的面積.

【解答】解：（1）ZX/BC中，Q=5,b=7,B=J,

由余弦定理得，b1—a2+c2-2accosB,

7T

即49=25+c2-2X5XcXcos-,

整理得c1-5c-24=0,

解得c=8或c=-3（不合題意，舍去），

所以c=8；

（2）如圖所示，

點M是邊48的中點，CM=3,

第11頁（共15頁）

T[T—>

CM=*(CA+CB),

所以=42+2CA'CB+CB2),

CM24CCA

1

即9=：x(49+2X7X5XcosZACB+25),

1Q

解得cosNXC3=—

所以sinZACB=Jl-(=用普，

AABC的面積S^ABC=%4?CB?sin/4cB=1x7X5x=6^6.

故答案為：6V6.

17.(15分)已知函數/(x)=lnx-ax^+ax.

(1)當a=2時，求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)討論函數g(x)=/(x)+辦2的單調性.

【解答】解：(1)當。=2時，/(x)=lnx-2X2+2X,f/(x)=^-4x+2,所以，(1)=1-4+2=-1,

則/(I)=ln\-2+2=0,k=f(1)=-1,

所以曲線y=7G)在點(1,0)處的切線方程為y=-x+1；

(2)g(x)=f(x)+ax=lnx+ax,xE(0,+°°)?

則9(x)=]+a=^^，

當a20時，g(久)=1+a>0,則g(x)在(0,+°°)上單調遞增.

當a<0時，9<久)=上等>0得出0<xV—《，則g(x)在(0,-當上單調遞增；

人LvLv

9(乂)=已產V0得出久>—之所以gG)在(―2，+8)上單調遞減；

綜上所述：若。三0時，g(x)在(0,+°°)上單調遞增，

若.<0時，g(x)在(0,-：)上單調遞增，在(―J，+8)上單調遞減.

18.(17分)如圖，在平面四邊形N3CD中，AB//DC,△48。是邊長為2的正三角形，DC=3,O為AB

的中點，將沿OD折到△尸。。的位置，PC=V13.

第12頁(共15頁)

(1)求證：PO±BD；

(2)若￡為PC的中點，求直線BE與平面尸DC所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：因為△48。是邊長為2的正三角形，。為的中點，所以

所以00_LP。，ODLBO,PD=2,CD=3,PC=V13,

則「￡>2+82=尸。2,所以P￡)_LCO,XAB//DC,BPOB//DC,所以03_LPD,

又ODCPD=D,OD,P￡>u平面P。。，所以O3_L平面尸OD,

因為OPu平面POD,所以OBLOP,

又OBCOD=O,OB,ODu平面BODC,所以。P_L平面BODC,

又8￡>u平面3O￡)C,所以P0_L8￡)；

(2)如圖建立空間直角坐標系，

則8(1,0,0),P(0,0,1),￡)(0,V3,0),C(3,0),E(|,*,|),

—>-1l~Q[TT

所以BE=(/,號，DC=(3,0,0),DP=(0,—遮，1),

設平面尸DC的法向量為蔡=(x,y,z),貝曠？?呼=3%=°，解得x=0,取y=l,得￡=(0,1,

n-DP=-V3y+z=0

V3),

設直線BE與平面尸。。所成角為e,則s譏e==￡=塔,

\BE\-\n\2x芋,

所以直線BE與平面PDC所成角的正弦值為等.

19.(17分)新高考數學試卷出現多項選擇題，即每小題的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對

得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.若正確答案為兩項，每對一項得3分：若正確答案為三

項，每對一項得2分；

(1)學生甲在作答某題時，對四個選項作出正確判斷、判斷不了(不選)和錯誤判斷的概率如表：

第13頁(共15頁)

選項