直線平分圖形面積模型

模型示例：如圖，四邊形Q4BC是平行四邊形，。（0,0）,A（5,0）,C（l,4）,若直線y=區-4

平分四邊形Q4BC的面積，求女的值.

第①步求出平行四邊形的中心點G的坐標：如圖，連接AC和02,交于點G.

:四邊形0ABC是平行四邊形,

；.G為AC中點,

：A（5,0）,C（l,4）,

即G（3,2）.

第②步把點G的坐標代入函數解析式求解:

V丁=笈-4平分平行四邊形Q1BC的面積，

y=辰一4必過G點，

???2=3左—4,

解得：k=2.

適用范圍：一次函數平分圖形面積的相關題型.

ZZ/

先求圖形對稱中心的坐標，再代入解析式求解

/〃

如圖，在平面直角坐標系中，矩形A2CZ）的頂點8、。的坐標分別為（1,2）、（4,0）,直線

機:y=Ax+6交y軸于點E（0,-2）,當直線機平分矩形ABC。的面積時，上的值是一.

1.2

思路引導

連接80.由點B點和D點的坐標得出8。的中點坐標為(|,1),即為矩形中心的坐標，然

后由已知條件得出直線m經過點(|,1),最后用待定系數法即可求解.

u詳細解析

解：如圖，連接8D.

?.?點8,。的坐標分別為(L2)、(4,0)

8。的中點坐標為(|,1)

直線m平分矩形A2CD的面積

直線機經過點(|,1),

???直線機過點E(0,-2)

-k+b^\“,伏=1.2

[b=-26-2

”的值為1.2.

故答案為：1.2.

試卷第2頁，共6頁

日變式籟

1.如圖，在平面直角坐標系中，4(2,0),3(0,6),連接A3,直線CD分別交x軸、y軸

于點C、0(0,2),交線段A3于點E,連接AD,當直線CD將的面積分為相等的兩

部分時，ACD的周長為()

2.如圖，在平面直角坐標系中，門Q4BC的邊0c落在x軸的正半軸上，且3(6,2),,直線

y=2x+l以每秒1個單位的速度向下平移，經過/秒該直線可將平行四邊形。4BC分成面積

3.八個邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標系中，直線/：y=區將這八個正方形分

成面積相等的兩部分，則人的值為()

4.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形Q4BC是平行四邊形，且頂點A的坐標為(4,0),點

2的坐標為儀,2君），將平行四邊形Q4BC沿著直線0C翻折，得到四邊形OABC,若直線/

把六邊形OABCEA的面積分成相等的兩部分，則直線/的解析式為（）

B.y=2y/3x或y=------x+28

-3

D.y=耳乂或y=_上*+2后

5.已知VA5c的頂點坐標分別為4（—5,0）,3（3,0）,C（0,3）,當過點C的直線/將VABC分

成面積相等的兩部分時，直線/所表示的函數表達式為

6.如圖，四邊形Q4BC是平行四邊形，0（0,0）,4（5,0）,C（l,4）,若直線y=履-4平分四

邊形Q43c的面積，貝iU=.

7.如圖，在平面直角坐標系中，己知平行四邊形OABC,A（6,0）,C（l,3）,直線y=丘-1

馬BC,分別交于N,且將A3C0的面積分成相等的兩部分，則上的值是

試卷第4頁，共6頁

8.在平面直角坐標系中，若直線y=■龍+2分別交無軸，V軸于A,3兩點，。是

原點，則過VA03的頂點A或8,且把VAOB分成面積相等的兩部分的直線所對應的函數表

達式為—.

9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線4：y=f+3與過點的直線4交于y軸上的

點8,點A,。分別為直線4，4與X軸的交點.

（1）求點B的坐標及直線4的函數表達式；

⑵若過點B的直線4,把AABD的面積平分，自厚寫出直線k的表達式.

10.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，點A為x軸正半軸上一點，且。4=6,過點A的直線與直線

y=交于點3（5,-3）,動點尸，。都在線段。4上（尸，。不與。、A重合，尸與。不重

合），且。尸=4。，以PQ為邊在x軸下方作正方形尸QC。，設OP=〃z,正方形PQCO的周

長為L.

尸A>

(W1)求直線A5的函數解析式；

(2)當機=5時，正方形尸QCO的面積為；

(3)求L與俄之間的函數關系式；

(4)當直線02將正方形尸的分成面積相等的兩部分時，請直接寫出機的值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.B

【分析】本題考查了一次函數與坐標軸的交點問題，待定系數法求函數解析式，勾股定理.根

據題意點E為A8的中點，利用中點坐標求得點E的坐標，利用待定系數法求得直線的

解析式，再求得點C的坐標，據此求解即可.

【詳解】解：：直線將△河的面積分為相等的兩部分，

.,.點E為A8的中點，

...點磯1，3),

V0(0,2),

設直線CD的解析式為y=履+2,

將現1,3)代入得3=&+2,

解得k=\,

直線CD的解析式為>=尤+2,

令y=0,貝l]0=x+2,

解得x=-2,

.?.點C(-2,0),

OA=OD=OC=2,

AD=CD72，+2。=2應,

ACD的周長為2+2+20+2應=4也+4，

故選：B.

2.D

【分析】依題意，直線經過平行四邊形對角線的交點時，平分平行四邊形的面積，求出對角

線交點坐標，進而根據一次函數平移的性質即可求解.

【詳解】解：；平行四邊形是中心對稱圖形，

設r秒后直線可將平行四邊形Q4BC分成面積相等的兩部分，則直線經過平行四邊形的對角

線的交點

:點8(6,2),

..?平行四邊形對角線的交點坐標為(3,1)

答案第1頁，共11頁

當y=2x+6過（3,1）時，則1=2x3+%

解得：b=-5,

，y=2x+1向下平移6個單位得至ijy=2x—5,

6+1=6

,經過6秒該直線可將平行四邊形Q4BC分成面積相等的兩部分.

故選：D.

【點睛】本題考查了一次函數的平移，平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的中心對稱性質，

直線經過對角線的交點是解題的關鍵.

3.A

【分析】本題主要考查了三角形面積的計算，求一次函數解析，解題的關鍵是作出放心上,

設直線/和八個正方形最上面交點為A,過A作于點8,先根據圖形得出08=3,

根據三角形面積公式得出;0222=5,求出AB：］,得出《￡,3；把卜弋入

y=kx,求出上的值即可.

【詳解】解：設直線/和八個正方形最上面交點為A,過A作于點3,如圖所示:

,?正方形的邊長為1,

0B=3,

???經過原點的直線/將這八個正方形分成面積相等的兩部分,

???兩邊的面積都是4,

：.-OBAB=5,

2

答案第2頁，共11頁

9

解得：左=A，

故選：A.

4.A

【分析】根據翻折的對稱性，顯然直線0C是滿足條件的直線/.另外考慮到過平行四邊形

的中心任作一條直線都可以把這個四邊形分為面積相等的兩部分，故過兩個平行四邊形的中

心的直線也是滿足條件的直線I,仿照這兩條思路問題不難得解.

【詳解】分兩種情況討論：

①如下圖，

ABC=OA=4,因點8的橫坐標為6,

點的橫坐標為6—4=2.

即：C點的坐標為(2,2若).

設直線OC的解析式為：y=kx(k^G),

則：k=^=—=yfi.

x2

故OC的解析式為：y=島.

因OC是對稱軸，故直線OC把六邊形的面積分成相等的兩部分，OC即為滿足條

件的直線I.

②自點B作無軸的垂線，垂足為點E,取A3的中點/,連接E/,如下圖.

答案第3頁，共11頁

AE=OE—OA=6—4=2,BE=2A/3,

由勾股定理得：AB=^AE2+BE2=^22+（273）2=4.

因3C=Q4=4,

AB=BC.

平行四邊形。IBC是菱形.

因E7是直角斜邊A8上的中線，^IE=AI=-AB=-x4=2,

22

'/AE^2,

所以出=4=4￡\

則△珀￡是等邊三角形.

ZBAE=GO°.

：.NCBA=/AOC=60。，

四邊形OABC是含內角60。的菱形.

由翻折性知，四邊形OA'8'C也是菱形，且ZA'OC=60。.

平分ZA'OC,

則：ZB'OC=30°,

：.ZAOB'=ZB'OC+ZAOC=30°+60°=90°.

8'在y軸上.

連接AC,交y軸于點AT,則ACLOB',即AC垂直于y軸.

因BC也垂直于y軸，

所以，點3、C、M'、A位于同一條直線上，

答案第4頁，共11頁

/.點的坐標為（0,2后）.

設03與AC相交于點M,自M點作垂直于x軸，垂足為點D.

則DM為AOBE的中位線，

AMD=-BE=^3,OD=-OE=3,

22

，點〃的坐標為（3,6）.

因為點M、”的坐標是（0,2括）、（3,⑹，

設直線的解析式為：y=kx+b,

\2y/3=b

<

"石=3Z+b

b=2白

求得：6

[K-3

直線的解析式為：y=-旦x+2后.

3

因點/、是菱形Q4BE與菱形0ABe的中心，

故直線把六邊形。4BC8A的面積分成相等的兩部分，即就是滿足的條件的直線

I.

綜合①②兩種情況，直線/的解析式為：>=氐或>=一比尤+2囪，

3

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形、一次函數的解析式、直角三角形中線性質、三角形中位線

性質等知識點，解題的關鍵是根據對稱特性作出正確的輔助線.

5.y=3x+3

【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，中線均分三角形面積是解答本題的關

鍵.根據題意，先求出線段的中點坐標，再利用待定系數法求出直線/的解析式即可.

【詳解】解：線段A8的中點坐標為（TO）,

設直線/的解析式為丫=去+6,

J6=3

\-k+b=0,

答案第5頁，共11頁

b=3

解得

k=3'

.,?直線/的解析式為：y=3x+3.

故答案為：y=3x+3.

6.2

【分析】本題考查一次函數的性質，平行四邊形的性質.理解該直線必過點G是解題的關

鍵.

連接AC和02,交于點G.利用中點坐標公式求出G的坐標，根據平行四邊形的性質結合

題意得到，=依-4必過G點，代入G點坐標運算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接AC和02,交于點G.

:四邊形OABC是平行四邊形，

；.G為AC中點，

：A（5,0）,C（l,4）,

即G（3,2）.

?.,y=Ax-4平分平行四邊形Q4BC的面積，

y=卮-4必過G點，

???2=3左—4,

解得：k=2.

故答案為：2.

7.9

7

【分析】本題主要考查了求一次函數解析式、平行四邊形對稱中心的性質，熟知“過平行四

邊形對稱中心的直線平分平行四邊形的面積”是解題的關鍵.

根據將ABC0的面積分成相等的兩部分，知直線丫=履-1經過平行四邊形的對稱中心，根

據線段的中點坐標公式，得到平行四邊形對稱中心坐標為］然后把代入

>=日-1求解得出左的值即可.

答案第6頁，共11頁

【詳解】解：：四邊形。ABC為平行四邊形，直線>=區-1將ABCO的面積分成相等的兩

部分，

直線>=履-1經過平行四邊形的對稱中心，即AC的中點，

???4(6,0),C(l,3),

6+10+373

平行四邊形的對稱中心坐標為

2'22,2

；?把巳方代入y—得:1=^-1,

'^乙乙)乙乙

解得：k=：.

故答案為：—

8.>=一％+2或丁=——x+1

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數解析式等，由

y=-gx+2得點4(4,0),8(0,2),然后分①當直線經過點4(4,0)和08中點(0,1)時,

②當直線經過點3(0,2)和Q4中點(2,0)時，兩種情況討論即可，掌握待定系數法是解題的

關鍵.

【詳解】解：由〉=一;x+2得，

當尤=0時，y=2；當y=o時，x=4；

.?.點A(4,0),5(0,2),

...過VA08的頂點A或B,且把VA03分成面積相等，

①當直線經過點A(4,0)和OB中點(0,1)時，

設解析式為丁=履+匕，

，解析式為y=-二％+1；

4

②當直線經過點3(0,2)和Q4中點(2,0)時,

設解析式為，=尤了+仿，

答案第7頁，共11頁

2匕+4=0&=—1

解得:

4=2

二解析式為y=-x+2,

故答案為—+2或-*1.

9.(1)5(0,3),y=2x+3

(2)v=-4.r+3

【分析】本題主要考查了求一次函數解析式，一次函數與坐標軸的交點坐標,三角形的中線

性質.

(1)根據待定系數法求一次函數解析式即可；

(2)先求出點4、。的坐標，以及的中點坐標，然后利用待定系數法求解即可.

【詳解】(1)解：在直線4中，令尤=0,得y=3,即B(0,3),

設直線6為丁=履+6,根據題意得：

-k+b=l

[b=3'

[k=2

解得：,°,

[b=3

即直線6的解析式為＞=2工+3.

(2)解：在直線乙中，令y=0,解得x=3,即4(3,0),

在直線4中，令y=o,得即。[一50)，

AD中點的橫坐標為3+1一213,

-2-~4

AO的中點坐標為(jo],

由題意知直線4經過的中點和點B(0,3),

設直線4的表達式為'="a+3,

代入[I,。]得。小+3,

答案第8頁，共11頁

解得Ml=-4,

...直線4的表達式為y=Tx+3.

10.⑴y=3尤-18

(2)16

-8m+24(0<m<3)

(3)乙=

8m-24(3<m<6)

⑷，〃[或，哼?

【分析】本題考查一次函數的綜合及正方形的性質，熟練的求解函數解析式，利用正方形的

性質表示線段的長度是解決問題的關鍵.

(1)利用待定系數法求解即可；

(2)求得正方形尸QCD的邊長，即可求得正方形尸的面積；

(3)分當0(機<3和3<6時，兩種情況討論，用切分別表示出PQ的長，利用正方形的

周長公式即可求解；

54189

(4)當0<m<3時，用'"表示出S梯物郎°=《S正方形F2CD=(6-2加)~,根據題意列

出方程，即可求解；當3<6時，同理求解即可.

【詳解】(1)解：：Q4=6,.?.點4(6,0),

設直線AB的函數解析式為>=kx+b,

.[6k+b=Q

'\5k+b=-i/，

k=3

解得

b=-lS

???直線AB的函數解析式為尸3x-18；

答案第9頁，共11頁

：.OP=AQ=5f

：.AP=OQ=6-5=lf

：.FQ=6—2x1=4,

???正方形PQCD的面積為42=16,

故答案為：16；

(3)解：當0<加<3時，