重難點03指、對、塞數的大小比較問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用函數的性質比較大小】............................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................2

【題型3特殊值法比較大小】...................................................................3

【題型4作差法、作商法比較大小】............................................................3

【題型5構造函數法比較大小】.................................................................3

【題型6數形結合比較大小】...................................................................4

【題型7含變量問題比較大小】................................................................4

【題型8放縮法比較大小】.....................................................................5

?命題規律

1、指、對、基數的大小比較問題

指數與對數是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，從近幾年的高考情況來看，指、對、累數

的大小比較是高考重點考查的內容之一，是高考的熱點問題，主要考查指數、對數的互化、運算性質，以

及指數函數、對數函數和嘉函數的性質，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類問題的主要解法是利用函

數的性質與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數.

?方法技巧總結

【知識點1指、對、基數比較大小的一般方法】

1.單調性法：當兩個數都是指數塞或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或幕函數的函數值,

然后利用該函數的單調性比較，具體情況如下：

①底數相同，指數不同時，如〃和優2,利用指數函數夕=優的單調性；

②指數相同，底數不同時，如普和葉，利用哥函數y=單調性比較大小；

③底數相同，真數不同時，如log.西和log,均利用指數函數1。&無單調性比較大小.

2.中間值法：當底數、指數、真數都不同時，要比較多個數的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內再利用函數的性質比較大小，借助中間量進行大小關系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大小；

(2)作差或作商的難點在于后續變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區間；

(2)可以對區間使用二分法(或利用指對轉化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構造函數法：

構造函數，觀察總結“同構”規律，很多時候三個數比較大小，可能某一個數會被可以的隱藏了“同構”規

律，所以可能優先從結構最接近的的兩個數來尋找規律，靈活的構造函數來比較大小.

6、放縮法：

(1)對數，利用單調性，放縮底數，或者放縮真數；

(2)指數和幕函數結合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數的性質比較大小】

【例1】（2024?湖南衡陽?模擬預測）已知。=3。，3,6=0.33,c=log0.33,則a,b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【變式1-1]（2024?四川自貢?三模）已知a=log23,b=1.202,c=0.521,則a,b,c的大小關系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【變式1?2】（2024?貴州貴陽?三模）已知a=4°3力=（log4a）4,c=log4（log4Q），則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

a

【變式1-3]（2024?山東泰安?模擬預測）已知a=log0.20.3,b=Ina,c=2,則a,瓦c的大小關系為（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（23-24高三上?天津南開?階段練習）已知a=e°\b=l-21g2,c=2-log310,則a,6,c的大小

關系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

i

【變式2-1]（2024?陜西銅川?模擬預測）已知a=02/=]og65,c=log56,貝!]（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【變式2-2]（2024?山東濰坊?二模）已知a=eT,b=Iga,c=e°,貝I]（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【變式2-3]（2024?天津北辰?三模）已知a=0.53」，=iOg090.3,c=logi1,則a,b,c的大小關系為

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】（2024?陜西商洛?模擬預測）設a=logo.50.6,b=O.49-0-3,c=O.6-0-6,則a,b,c的大小關系是

（）

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

b

【變式3?1］（23-24高二下?云南玉溪?期中）已知實數滿足2。+。=2,2=V5,c=log163,則

（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

4

【變式3-2］（2024?寧夏銀川?二模）若a=log",b=（1）,c=log34,4=；則（）

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【變式3-3］（2024?天津和平一模）設0=2力=歿3-㈣9￡=6尸，則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【題型4作差法、作商法比較大小】

_i

【例4】（2023?四川成都?一模）若a=3Tb=（|）\c=logij,則a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

什ln2,ln3ln5

【變式4-1］（2023?貴州六盤水?模擬預測）右。=予n=—,C貝IJ（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式4-2］（2024?四川成都?二模）若a=ln26,6=41n2」n3,c=（l+ln3）2,貝|a,6,c的大小關系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【變式4-3]（2024?全國?模擬預測）若a=20,4,6=30,25,c=logo,70.5,貝心力,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【題型5構造函數法比較大小】

【例5】（2024?全國?模擬預測）已知。=嗎，b=ln7xln2,c=,，則（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

..1tr一

【變式5-1]（2024?全國?模擬預測）設a=5Kb=-,c=log45,則6,。的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【變式5-2]（2024?天津和平?一模）已知a=logo,20.3力=logo.30.2,c=log23,貝Ua,6,c的大小關系為（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【變式5-3]（2023?河南?校聯考模擬預測）已知實數a,b,c滿足a?+log2a=0,2023^=log2023b,c=log7V6,

貝U（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【題型6數形結合比較大小】

【例6】（2024?河南?模擬預測）已知a=ln7i力=log3%c=SFln2,貝！Ja,瓦c的大小關系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【變式6-1]（2023?江西贛州?二模）若log3%=log4y=log5Z<—l,則（）

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x

【變式6-2]（2024?全國?模擬預測）已知a==1嗝①臚=現產則實數a力,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

y

【變式6-3]（2024?廣東茂名?統考一模）已知x,y,z均為大于0的實數，且2工=3=log5z,貝！|x,y,z大小關系

正確的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【題型7含變量問題比較大小】

【例7】（23-24高三上?天津濱海新?階段練習）設abc都是正數，且4。=6b=*,則下列結論錯誤的是

（）

-171

，-=--一

A.c<b<aB.ab+be=acC.4’?96=4°?9D.cba

【變式7-1]（2024?江西?模擬預測）若碇。=加時（。〉0）,則（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.無法確定

【變式7?2】（2023?全國?模擬預測）已知a,仇c均為不等于1的正實數，且Inc=alnbjna=bine,貝!Ja,瓦c的

大小關系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【變式7-31（2024?全國?模擬預測）已知正實數a,b,c滿足e。+e-2a=e。+0一。,b=log23+log86,

c+log2c=2,貝!Ja,b,。的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2024?陜西西安?模擬預測）若。=。.311?5力=108312￡=10826/=）—|,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

1

4

【變式8-1］（2023?河南鄭州?模擬預測）已知Q=log35,b=2,1c=31og72+log87,則（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

____3o

【變式8-2］（2023上?安徽?高二校聯考階段練習）已知/=6—%c=log53—§og35,則（

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【變式8-3］（2024?全國?模擬預測）已知a=log8」4,b=log3,ie,c=ln2.1,,則（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

?過關測試

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）設a=log62,b=logi23,c=log405,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

2.（2024?安徽宿州?一模）已知3巾=4,a=2m-3,b=4m-5,則（

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

3.（2024?貴州畢節,一■模）已知a=31og83,b=-|logil6,c=log43,則Q,b,C的大小關系為（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

（?內蒙古赤峰?模擬預測）設（）（）（）貝（）

4.2023a=|,b=|,c=log3log34,U

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

i

5.（2024?云南昆明?模擬預測）已知a=&，6=ln2,c=log32,貝Ua,瓦c的大小關系為（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

6.（2024?陜西寶雞?一模）已知實數a,6,c滿足號=號=?=2,貝|（）

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

7.（2023?湖南永州?一模）已知。=1。8311/=嬴￡￡=^^,貝1］（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

8.（2023?陜西西安?一■模）已知函數/O）=-2居若2a=log2b=c,貝U（）

A.B.

C./（a）</（c）</（/>）D.

二、多選題

9.（2024?河南洛陽?模擬預測）下列正確的是（）

-001-0001

A.2->2-B.log2V3>log2Tt-1

-001

C.logi.gS<logli75D.log33.01>e

10.（2024?重慶?模擬預測）若6>c>l,0<a<l,則下列結論正確的是（）

aa

A.b<cB.log6a>logca

aa

C.cb<bcD.b\ogca>c\ogba

11.（2024?重慶?一模）己知3a=5。=15,則下列結論正確的是（）

A.lga>lgbB.a+b=ab

C.g）>（：）D.a+b>4

三、填空題

1

12.（2023?北京昌平?二模）3-2,2到og25三個數中最大的數是.

-1

13.（2024?北京通州?三模）已知a=2T，，b=logi-,c=log23,則三者大小關系為（按從小到大

順序）

_V3廣

14.（2023?吉林長春?模擬預測）已知a=log/,b=（￥）3,c=In則a,b,c的大小關系為.

四、解答題

15.（23-24高一?全國?隨堂練習）已知x=lmr,y=log52,z=e~.

（1）比較x,j的大小；

（2）比較y,z的大小.

16.（23-24高三?全國?對口高考）（1）比較aYb與臚心似＞0力＞0）的大小;

（2）已知a＞2,比較log（a_i）a與loga（a+1）大小

17.(23-24高一?湖南?課后作業)比較a,b,c的大小：

22

(1)已知1＜久＜2,a=(log2x),b-log2%,c=log2(log2x);

(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.

18.（23-24高一上?廣東江門?階段練習）已知正實數x,乃z滿足3'=4〃=62.

（1）求證：14=

（2）比較3x,4y,6z的大小.

2

19.（23-24高一上?廣東廣州?階段練習）已知函數/（乂）=3

⑴判斷并證明函數/(%)在區間(0,+8)上的單調性；

(2)已知Q=/(2。5)力=/(log25),C=/(0.25),試比較三個數Q,b,。的大小，并說明理由.

重難點03指、對、塞數的大小比較問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用函數的性質比較大小】............................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................3

【題型3特殊值法比較大小】...................................................................4

【題型4作差法、作商法比較大小】............................................................6

【題型5構造函數法比較大小】.................................................................7

【題型6數形結合比較大小】...................................................................9

【題型7含變量問題比較大小】................................................................12

【題型8放縮法比較大小】....................................................................14

?命題規律

1、指、對、基數的大小比較問題

指數與對數是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，從近幾年的高考情況來看，指、對、累數

的大小比較是高考重點考查的內容之一，是高考的熱點問題，主要考查指數、對數的互化、運算性質，以

及指數函數、對數函數和嘉函數的性質，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類問題的主要解法是利用函

數的性質與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數.

?方法技巧總結

【知識點1指、對、基數比較大小的一般方法】

1.單調性法：當兩個數都是指數塞或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或幕函數的函數值,

然后利用該函數的單調性比較，具體情況如下：

①底數相同，指數不同時，如〃和優2,利用指數函數夕=優的單調性；

②指數相同，底數不同時，如普和葉，利用哥函數y=單調性比較大小；

③底數相同，真數不同時，如log.西和log,均利用指數函數1。&無單調性比較大小.

2.中間值法：當底數、指數、真數都不同時，要比較多個數的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內再利用函數的性質比較大小，借助中間量進行大小關系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大小；

(2)作差或作商的難點在于后續變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區間；

（2）可以對區間使用二分法（或利用指對轉化）尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構造函數法：

構造函數，觀察總結“同構”規律，很多時候三個數比較大小，可能某一個數會被可以的隱藏了“同構”規

律，所以可能優先從結構最接近的的兩個數來尋找規律，靈活的構造函數來比較大小.

6、放縮法：

（1）對數，利用單調性，放縮底數，或者放縮真數；

（2）指數和幕函數結合來放縮；

（3）利用均值不等式的不等關系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數的性質比較大小】

【例1】（2024?湖南衡陽?模擬預測）已知。=3。，3,6=0.33,c=log0.33,則a,b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解題思路】利用指數函數、對數函數的單調性可得答案.

【解答過程】a=30-3>3°=1,0<b=0.33<1=0.3°,

c=log0,33<log0,3l=0,.-.a>b>c.

故選：A.

【變式1-1]（2024?四川自貢?三模）已知a=log?,,6=1.2°，2,c=0.521,則a,b,c的大小關系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【解題思路】根據對數函數和指數函數的單調性即可判斷.

【解答過程】因為y=Iog2x在xe（0,+8）上單調遞增，

所以a=log2|<log2l=0即a<0；

因為y=1.2支為增函數，故b=1,202>1.20=1即b>1；

因為y=0.5*為減函數，故0<0,52,<05°=1即0<c<1,

綜上a<c<b.

故選：A.

【變式1-2]（2024,貴州貴陽?三模）已知。=4。3力=（k）g4a）4,c=log4（log4a）,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用指數函數單調性得到a>1,利用指對運算和指數函數單調性得到0<b<1,利用對數函

數單調性得到c<0,則比較出大小.

【解答過程】因為a=40-3>4°=l,b=（log4a7=0.34<1,且0,34>0,則o<。<i,

c=log4（log4a）=log40.3<0,

所以a>b>c,

故選：A.

【變式1-3]（2024?山東泰安?模擬預測）已知a=log020.3,b=Ina,c=2。，貝!|a,b,c的大小關系為（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】利用對數函數的單調性求得a力的范圍，根據指數函數的單調性得c的范圍，即可比較大小.

【解答過程】因為y=logo,2X在（0,+8）上單調遞減，J3ffiy.logo,2l<logo,20.3<logo,20.2,即0<a<l,

因為y=Inx在（0,+8）上單調遞增，所以lna<lnl,即6<0,

因為丫=2方在R上單調遞增，所以2a>2。，即c>l,

綜上，c>a>b.

故選：D.

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（23-24高三上?天津南開?階段練習）已知a=e。'6=1-21g2,c=2-log310,則a,b,c的大小

關系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【解題思路】根據指、對數函數單調性，結合中間值0,1,分析判斷即可.

【解答過程】由題意可得：a=eO,>eO=l,

b=1—2館2=1—館4,HO=lgl<lg4<lglO=l,則0<b<l,

因為logs】。>logs9=2,貝!|c=2-log310<0,

故選：B.

_1

【變式2-1]（2024?陜西銅川?模擬預測）已知a=G）2力=log65,c=log56,貝（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】取兩個中間值1和*由。=五>|,b<log66=l,1=1唯5Vcv|即可比較三者大小.

2

【解答過程】a=0=Ve>J|=|,b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a.

故選：C.

【變式2-2]（2024?山東濰坊?二模）已知a=eT,b=Iga,c=e°，則（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】根據對數函數和指數函數單調性并結合中間量0和1即可比較大小.

【解答過程】a=e-1E(0,1),b=\ga=Ige-1=-Ige<0,c=e0=1,

所以b<a<c,

故選：A.

【變式2-3](2024?天津北辰?三模)已知。=0.53以，b=logo9()3c=logi1,則a,b,c的大小關系為

()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解題思路】根據指、對數函數單調性，結合中間值分析大小即可.

【解答過程】因為y=0.5，在R上單調遞減，則0.53]<0.51=今即a<(

又因為y=logo,9%在(0,+8)上單調遞減，則logo.90.3>logo.90.9=1,即b>l；

可得c=logQ=log32,且y=log3%在(0,+8)上單調遞增，

則t=log3V3<log32<log33=1,Bp|<c<lj

綜上所述：a<c<b.

故選：D.

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】(2024?陜西商洛?模擬預測)設a=logo,50.6,匕=0.49一0-3,c=O.6-0-6,則a,b,c的大小關系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用基函數、指數函數、對數函數的單調性，結合特殊值判定即可.

【解答過程】因為y=logo.5X在(0,+8)上單調遞減,y,log0,5l<logo.sO-6<log0.50.5,即0<a<l.

因為y=處6在(0,+8)上單調遞增，又0.49-S3=0.7-°-6=(y)06,G.6-Q(,=(|)06,

X|>y>l,所以(滬>0°.6>1。巴故c>6>L所以c>6>a.

故選：A.

b

【變式3-11(23-24高二下?云南玉溪?期中)已知實數滿足2。+。=2,2+h=V5,c=log163,則

()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】由對數函數單調性得構造函數f（x）=2x+x,xeR,由函數的單調性得!<a<b及，即

可得出判斷.

11

【解答過程】由對數函數單調性得，C=logi63<logi64=logi6162=

構造函數/(%)=2X+x,xeR,貝!J/(a)=2。+a=2,/(h)=2b+b=^5

因為y=2%和y=%單調遞增，所以"%)單調遞增，

因為2<后,即/(a)</(b),所以a<b,

又6)=2、；箋1<2,所以人砌>6)，即a*,

所以cVaVb,

故選：A.

【變式3-2](2024?寧夏銀川?二模)若a=logj,c=log3?,d=[則()

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【解題思路】根據指數函數和對數函數的單調性判斷即可.

【解答過程】因為a=lo/=log34>log33=l,(1)<=>1<b<1,

1

1

log34<logs=0=>c<0,

所以a>b>d>c.

故選：A.

【變式3-3］（2024?天津和平一模）設（90=2,6=1（^3—1（^9儲=（9',則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】根據指數函數與對數函數的性質，借助特殊值0,可得a最小，再利用板>03得出瓦C大小.

（解答過程［由信）=2可得a=Iogi2<logil=0,

33

_1

3

b-Iogi3-logi9=logij=log23>1,c=G）=2s=V2>0,

下面比較瓦c,

因為32>（21）2=8,所以3>2/

33

所以b=log23>log22?=

而c3=(V力3=2<(|)=曰，故c<|,所以c<b,

綜上，b>c>a.

故選：B.

【題型4作差法、作商法比較大小】

_1

【例4】(2023?四川成者B-模)若口=3總6=(|尸，c=logij,則a,6,c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解題思路】先根據指對函數的單調性可得0<a<l,0<b<l,O1,再作商比較a力的大小，從而可求

解.

【解答過程】因為0<。=3七<3。=1,0<b=(|)-5<(|)°=l,

-

a3^1,1111/1i\12/i\12/i\12o11

令廣昂=3-Ex2-，=3mx23而(3五x2f=(3可x(2刁=3X2-4=2<1,即3^x21

(5)

<1,所以a<b,

又因為c=log?|=log房>log娠>log^=1,所以c>b>a.

故選：D.

【變式4-1](2023?貴州六盤水?模擬預測)若口=等，b=等，c=*貝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用作差法，再結合對數函數y=In%的單調性分別判斷a,6和a,c的大小關系，即可判斷出a,b,c

的大小關系.

【解答過程】因為b-a=苧一號=若陋=喋”>0,所以b>a；

DZOt>

-r-7mMln5ln221n5-51n2ln25—ln32八1rLr、i

又因為c—a=《--=---=---<0,所以a>c；

綜上所述：c<a<b.

故選：C.

【變式4-2](2024?四川成都?二模)若Q=ln26,b=41n2」n3,c=(l+ln3)2,貝必，瓦c的大小關系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解題思路】作差法比較a,6的大小，利用對數的性質比較a,c的大小.

【解答過程】a=ln26=(ln2+ln3)2,c=(Ine+ln3)2

因為ln2+ln3<Ine+ln3,所以(ln2+ln3)2<(Ine+ln3)2,即a<c,

a=ln26=(ln2+ln3)2,b=41n2-ln3,

則a—b=(ln2+ln3)2—41n2-ln3=(ln2—ln3)2>0,即b<a,

所以b<a<c.

故選：D.

【變式4-3](2024?全國?模擬預測)若a=20-4,b=3S25,c=logo.70.5,則。力,c的大小關系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解題思路】利用指數函數的單調性以及對數函數單調性可判斷見c范圍，比較它們的大小；利用作商法比

較Q/的大小，即可得答案.

【解答過程】因為函數y=2、在R上單調遞增，所以。=2。4<2。,5=魚.

111

又狂瓢=(嘉皆MtT=(lir>l，所以

因為0.52=0.25<0.343,故0.5<V5J43=0.7前=log。/在(0,+8)上單調遞減，

3o_

所以logo,70,5>logo.7O.72=->V2,所以a<c,

所以實數a,6,c的大小關系為b<a<c,

故選：B.

【題型5構造函數法比較大小】

【例5】(2024?全國?模擬預測)已知a=ln|>b=ln7xln2,c=則()

ZInz

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】根據0<ln2<1得到c的值最大，然后構造函數/(%)=(l-ln2)lnx-ln2,根據/(%)的單調性和

f(8)<0得到a<b.

【解答過程】因為0<ln2vl,所以a=ln7—ln2<ln7,h<ln7,Oln7,故。的值最大.

下面比較a,b的大小.

構造函數/(%)=Inx—ln2—Inx-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

顯然/(、)在(0,+8)上單調遞增.

因為/(8)=In8-ln2-ln8-ln2=In2(2-ln8)=In2(lne2-ln8)<0,所以a-b=/(7)<f(8)<0,所以a<b,

所以a<b<c.

故選：C.

、.1c_

【變式5-1］（2024?全國,模擬預測）設。=5了，b=-,c=log45,則Q,b,。的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解題思路】利用常見函數的單調性比較大小即可.

【解答過程】先比較a和匕，構造函數y=/在上（o,+8）單調遞增，

???（5,4=5>§i=G）4,.,?>*即a>b；

又?.?4b=5,4c=41og45=log454,且4$=4x256>54=625,

45

.?.4c=log45<log44=5=4bf;.b>c,

：.a>b>c.

故選：A.

【變式5-2］（2024?天津和平?一模）已知a=logo.20.3力=logo.302c=log23,則a力,c的大小關系為（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】利用對數函數的單調性結合二次函數的性質即得.

【解答過程】?.，OVa=logo.20.3Vl,b=log0,30.2>1,c=log23>1,

又9=logo3o.2-log32=瞽I.臀=魯普，

/cbu.Dblg3—1lg3lg23—lg3

因為函數/■（%）=/-x=-；，在（0,3上單調遞減，且/'（0）=0,又因為!>Ig3>lg2>0,

所以f（lg3）</（lg2）<0,所以黯<1，即需瑞<1，所以g<L

b<c,即aVb<c.

故選：C.

-fi

【變式5-3］（2023?河南?校聯考模擬預測）已知實數a,b,c滿足a?+log2a=0,2023=log2023^c=log7V6,

貝U（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解題思路】利用構造函數法，結合函數的單調性確定正確答案.

【解答過程】設f。）=%2+log2X,/（%）在（0,+8）上單調遞增，

又/?=一9<。，/（1）=1>°，所以!<。<1；

設g（“）=島式

Tog2023%，9（%）在（0,+8）上單調遞減,

1（1、2023

又以1）=痂>°&（2023）=（募）-l<0,所以IVh<2023,

因為C=l0g7V^Vl0g7V7=：，所以

綜上可知，c<a<b.

故選：B.

【題型6數形結合比較大小】

【例6】（2024?河南?模擬預測）已知。=1口兀力=log3",c=VSn2,則a,hc的大小關系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】

利用對數函數和指數函數，基函數的性質求解.

【解答過程】?<,e<3<7T,a=loge7T>log37r=b>log33=1,即。>b>l,

va=InTT=ln（V7r）2ic=WFln2=ln2優

下面比較（航）2與2近的大小，構造函數y=%2與y=2X,

由指數函數y=2%與幕函數y=/的圖像與單調性可知，

當無€(0,2)時，x2<2X；當％W(2,4)時,x2>2X

由％=低€(0,2),故(份)2V2正，故lmr<ln2赤，即aVc,

所以b<a<c,

故選：A.

【變式6-1](2023?江西贛州?二模)若log3%=log4y=log5ZV-1,則()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3%

【解題思路】設log3%=log4y=log5Z=m<-1,得到X=3血/=4血/=56，畫出圖象,數形結合得到答

案.

mmm

【解答過程】令log3久=log4y=log5z=m<-1,則％=3,y=4,z=5,

3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1,其中m+1<0,

xx

在同一坐標系內畫出y=35y=4,y=5f

廣4%:^^：

y=5:

加+10x

故5z<4y<3%

故選：D.

【變式6-2］（2024?全國?模擬預測）已知a=（J,@y=logab,ac=log”，則實數a,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】由函數單調性，零點存在性定理及畫出函數圖象，得至Ija力,ce（o,l）,得到logab<l=logaa,

求出b>a,根據單調性得到c=G）“<（9"=a，從而得到答案.

【解答過程】令/0）=其在R上單調遞減，

X/（o）=1>o,y（i）=1-i=-1<o,

由零點存在性定理得ae（0,1）,

則丫=logaX在（0,+8）上單調遞減，

畫出yi=g）與y=logaX的函數圖象，

可以得到be（0,1）,

又丫2=a”在R上單調遞減，畫出=a*與丫3=logy的函數圖象,

可以看出ce（0,1）,

因為（3<（1）=1,故log7<1=logad故b>a,

因為a,c6（0,1）,故a，>a1=a,

由a，=log2c得，c=<（|）=a.

綜上，c<a<b.

故選：D.

【變式6