人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1 第八章成對數據的統計分析〖數學文化〗——了解數學傳統文化的發展與應用統計學起源統計學是一門很古老的科學，它是通過搜集、整理、分析數據等手段，以達到推斷所測對象的本質，甚至預測對象未來的一門綜合性科學，其中用到了大量的數學及其它學科的專業知識，它的使用范圍幾乎覆蓋了社會科學和自然科學的各個領域．一般認為其學理研究始于古希臘的亞里斯多德時代，迄今已有兩千三百多年的歷史．它起源于研究社會經濟問題，在兩千多年的發展過程中，統計學至少經歷了“城邦政情”，“政治算數”和“統計分析科學”三個發展階段．所謂“數理統計”并非是獨立于統計學的新學科，確切地說，它是統計學在第三個發展階段所形成的所有收集和分析數據的新方法的一個綜合性名詞．概率論是數理統計方法的理論基礎，但是它不屬于統計學的范疇，而屬于數學的范疇．〖讀圖探新〗——發現現象背后的知識1．根據犯罪分子在作案過程中遺留的腳印，能夠對罪犯的性別、年齡、身高、走路姿勢等方面分析畫像，而且能起到揭露和證實犯罪的重要作用．2．水稻是喜光植物，經研究發現，水稻的產量與光照時間有著某種必然的聯系，最開始隨著光照時間的增長，產量增大，之后產量趨于平緩，隨著時間增長不再增加，時間繼續增加，產量會下降．3．一般來講，在良好環境下成長的兒童，其成年身高很大程度上取決于遺傳，其身高和父母平均身高之間的相關系數為0.75.孩子成年身高可以通過父母身高粗略的預測，父母的平均身高即是遺傳潛力所確定的兒童身高，也稱靶身高．問題：腳印的長短與身高之間是怎樣的一種關系？光照時間與水稻的產量之間是具體的函數關系嗎？孩子的身高與父母的身高一定是一種確切的關系嗎？鏈接：本章所學習的成對數據的統計相關性，一元線性回歸模型和2×2列聯表等，這些知識與方法在解決上述實際問題中非常有用．本章的重點是回歸分析與獨立性檢驗的基本思想與方法；難點是回歸分析與獨立性檢驗的初步應用．

8.1成對數據的統計相關性8．1.1變量的相關關系課標要求素養要求1.結合實例，體會兩個變量間的相關關系.2.掌握相關關系的判斷，能根據散點圖對線性相關關系進行判斷.通過對兩個變量相關關系的學習，提升直觀想象及數據分析素養.新知探究俗話說“莊稼一枝花，全靠肥當家”，這說明施肥的多少對糧食的產量影響很大，那么糧食的產量還受其他因素的影響嗎？施肥量和糧食的產量是確定的函數關系嗎？兩個變量間的關系除了可能是函數關系外，還可能是其他關系嗎？為了搞清這些問題，我們需要學習本節內容．問題上述情境中施肥量與糧食產量之間到底具有怎樣的關系？〖提示〗上述兩變量間確實存在關系，但又不具備確定性，即當自變量取值一定時，因變量取值帶有隨機性的兩個變量的關系，就稱為變量間的相關關系．1．相關關系兩個變量間的關系有函數關系，相關關系和不相關關系兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．2．正相關、負相關從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；如果一個變量值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這個兩個變量負相關．3．線性相關一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條線附近，我們就稱這兩個變量線性相關．一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．拓展深化〖微判斷〗1．統計活動中，分析數據時通常用統計圖表計算數據的數據特征．(√)2．在一定范圍內，農作物的產量與施肥量之間的關系是相關關系．(√)3．對于給定的兩個變量的統計數據，都可以作出散點圖．(√)〖微訓練〗1．(多選題)下列說法正確的是()A．任何兩個變量都具有相關關系B．圓的周長與該圓的半徑具有相關關系C．某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關系D．根據散點圖可判斷兩變量是否具有線性相關關系〖解析〗A顯然不對，B是函數關系，CD正確．〖答案〗CD2．對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖圖1；對變量u，v有觀測數據(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖圖2.由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關〖解析〗由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關．〖答案〗C〖微思考〗相關關系與函數關系的區別和聯系是什么？〖提示〗相同點：兩者均是指兩個變量的關系；不同點：(1)函數關系是一種確定的關系．如勻速直線運動中時間t與路程s的關系；相關關系是一種非確定的關系．如一塊農田的水稻產量與施肥量之間的關系．事實上，函數關系是兩個非隨機變量的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系．(2)函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．例如，有人發現，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強的相關關系，然而學會新詞并不能使腳變大，而是涉及第三個因素——年齡，當兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高，而且他們的腳也變大.題型一相關關系的理解〖例1〗判斷以下兩個變量之間是否具有相關關系？(1)正方形的面積與其周長之間的關系；(2)父母的身高與子女的身高之間的關系；(3)學生的學號與身高；(4)汽車勻速行駛時的路程與時間的關系．解(1)設正方形的面積為S，周長為C，則S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，即正方形的面積由其周長唯一確定，因此二者是函數關系，不是相關關系；(2)子女身高除了與父母的身高有一定關系外，還與其他因素有關，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一確定的，因此二者之間具有相關關系；(3)學生的學號與身高之間沒有任何關系，不具有相關關系；(4)若汽車勻速行駛時的速度為v，行駛的路程為s，時間為t，則有s＝vt，因此當速度一定時，路程由時間唯一確定，二者之間具有函數關系，而不是相關關系．規律方法函數關系是一種確定的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系．函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．〖訓練1〗(多選題)下列說法正確的是()A．闖紅燈與交通事故發生率的關系是相關關系B．同一物體的加速度與作用力是函數關系C．產品的成本與產量之間的關系是函數關系D．廣告費用與銷售量之間的關系是相關關系〖解析〗闖紅燈與發生交通事故之間不是因果關系，但具有相關性，是相關關系，所以A正確；物體的加速度與作用力的關系是函數關系，B正確；產品的成本與產量之間是相關關系，C錯誤；廣告費用與銷售量之間是相關關系，D正確．〖答案〗ABD題型二散點圖與相關性〖例2〗某種木材體積與樹木的樹齡之間有如下的對應關系：樹齡2345678體積30344060556270(1)請作出這些數據的散點圖；(2)你能由散點圖發現木材體積與樹木的樹齡近似成什么關系嗎？解(1)以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應的散點圖如圖所示：(2)由散點圖發現木材體積隨著樹齡的增加而呈增加的趨勢，且散點落在一條直線附近，所以木材的體積與樹齡成線性相關關系．〖遷移1〗(變條件，變問法)若近似成線性相關關系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關關系．解近似擬合直線如圖所示：〖遷移2〗(變條件，變問法)若該種木材每單位體積的價值是80元，作出木材的價值與樹齡之間關系的散點圖．解木材的價值與樹齡之間的關系如表所示：樹齡2345678體積30344060556270價值2400272032004800440049605600以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的價值，可得相應的散點圖如圖所示：規律方法判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關關系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果發現點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響．〖訓練2〗5名學生的數學和物理成績(單位：分)如下：學生成績ABCDE數學成績8075706560物理成績7066686462判斷它們是否具有線性相關關系．解以x軸表示數學成績，y軸表示物理成績，得相應的散點圖如圖所示．由散點圖可知，各點分布在一條直線附近，故兩者之間具有線性相關關系．題型三散點圖及其應用〖例3〗下面是水稻產量與施化肥量的一組觀測數據：施化肥量15202530354045水稻產量320330360410460470480(1)將上述數據制成散點圖；(2)你能從散點圖中發現施化肥量與水稻產量近似成什么關系嗎？水稻產量會一直隨施化肥量的增加而增加嗎？解(1)散點圖如下：(2)從圖中可以發現，當施化肥量由小到大變化時，水稻產量也由小變大，圖中的數據點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產量近似成線性相關關系，但水稻產量只是在一定范圍內隨著化肥施用量的增加而增加，不會一直隨施化肥量的增加而增加．規律方法1.畫散點圖時應注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標在坐標系中畫不準，使圖形失真，導致得出錯誤結論．2．在這里利用散點圖直觀感知事物的形態與變化，理解事物間的關聯及變化規律，是數學核心素養直觀想象的具體體現．〖訓練3〗(多選題)某中學的興趣小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數據繪制成散點圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．沸點與海拔高度呈正相關B．沸點與氣壓呈正相關C．沸點與海拔高度呈負相關D．沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強〖解析〗由左圖知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由右圖知沸點隨氣壓的升高而升高，所以沸點與氣壓呈正相關，沸點與海拔高度呈負相關；由于兩個散點圖中的點都成線性分布，所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強，故B，C，D正確，A錯誤．〖答案〗BCD一、素養落地1．通過本節課的學習，進一步提升直觀想象及數據分析素養．2．判斷變量之間有無相關關系，一種簡便可行的方法就是繪制散點圖．根據散點圖，可以很容易看出兩個變量是否具有相關關系，是不是線性相關．二、素養訓練1．下列每組的兩個變量之間具有相關關系的是()A．烏鴉叫，災難到B．圓心角的大小與半徑C．物體的質量一定，其密度與體積之間的關系D．兒童的年齡與身高〖解析〗A，B中的兩個變量之間沒有關系，C中的兩個變量之間是函數關系，D中的兩個變量之間是相關關系．〖答案〗D2．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關關系的是()A．瑞雪兆豐年 B．名師出高徒C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜〖解析〗瑞雪對農作物有好處，可能使得農作物豐收，所以瑞雪兆豐年具有相關關系，名師出高徒也具有相關關系，吸煙有害健康也具有相關關系，而喜鵲叫喜，沒有必然的關系，故選D.〖答案〗D3．觀察下列散點圖，具有相關關系的是()A．①② B．①③C．②④ D．②③〖解析〗①是函數關系，④不具有相關關系，②③具有相關關系．〖答案〗D4．(多選題)對于給定的兩個變量的統計數據，下列說法不正確的是()A．都可以分析出兩個變量之間的關系B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關系C．都可以作出散點圖D．都可以用確定的表達式表示兩者的關系〖解析〗給出一組樣本數據，不一定能分析出兩個變