人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.1成對數據的統計相關性學習目標1.結合實例，了解樣本相關系數的統計含義.2.了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.3.結合實例，會通過樣本相關系數比較多組成對樣本數據的相關性．知識點一相關關系1．相關關系的定義：兩個變量有關系，但沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．思考相關關系是函數關系嗎？〖答案〗不是．函數關系是唯一確定的關系．2．相關關系的分類(1)按變量間的增減性分為正相關和負相關．①正相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢；②負相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢．(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關和非線性相關(曲線相關)．①線性相關：如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們稱這兩個變量線性相關；②非線性相關或曲線相關：如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，我們稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．知識點二相關關系的刻畫1．散點圖：為了直觀描述成對樣本數據的變化特征，把每對成對樣本數據都用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統計圖，叫做散點圖．2．樣本相關系數(1)我們常用樣本相關系數r來確切地反映成對樣本數據(xi，yi)的相關程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).(2)樣本相關系數r的取值范圍為〖－1,1〗．①若r>0時，成對樣本數據正相關；②若r<0時，成對樣本數據負相關；③當|r|越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；④當|r|越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．1．函數關系是一種確定關系，而相關關系是一種不確定關系．(√)2．樣本相關系數r越大，兩變量的相關性越強．(×)3．散點圖可以直觀地分析出兩個變量是否具有相關性．(√)4．若變量x，y滿足函數關系，則這兩個變量線性相關．(×)一、變量間相關關系的判斷例1(1)(多選)下列關系中，屬于相關關系的是()A．正方形的邊長與面積之間的關系B．農作物的產量與施肥量之間的關系C．出租車費與行駛的里程D．降雪量與交通事故的發生率之間的關系〖答案〗BD〖解析〗A中，正方形的邊長與面積之間的關系是函數關系；B中，農作物的產量與施肥量之間不具有嚴格的函數關系，但具有相關關系；C為確定的函數關系；D中，降雪量與交通事故的發生率之間具有相關關系．(2)某種產品的廣告支出費x與銷售額y之間有如下對應數據(單位：百萬元)：x24568y3040605070①畫出散點圖；②從散點圖中判斷銷售金額與廣告支出費成什么樣的關系？解①以x對應的數據為橫坐標，y對應的數據為縱坐標，所作的散點圖如圖所示．②從圖中可以發現廣告支出費與銷售金額之間具有相關關系，并且當廣告支出費由小變大時，銷售金額也大多由小變大，圖中的數據大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關關系．反思感悟兩個變量是否相關的兩種判斷方法(1)根據實際經驗：借助積累的經驗進行分析判斷．(2)利用散點圖：通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定的規律，直觀地進行判斷．如果發現點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響．跟蹤訓練1(多選)在下列所示的四個圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是()〖答案〗BC〖解析〗圖A的兩個變量具有函數關系；圖BC的兩個變量具有相關關系；圖D的兩個變量之間既不是函數關系，也不是相關關系．二、樣本相關系數的性質例2(1)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得樣本相關系數r如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則哪位同學的試驗結果體現A，B兩變量有更強的線性相關性()A．甲B．乙C．丙D．丁〖答案〗D〖解析〗|r|越接近1，相關性越強，故選D.(2)在一組成對樣本數據為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若這組成對樣本數據的樣本相關系數為－1，則所有的樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)滿足的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2〖答案〗A〖解析〗∵這組成對樣本數據的樣本相關系數為－1，∴這一組成對樣本數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)線性相關，且是負相關．∴可排除B，C，D，故選A.反思感悟樣本相關系數的性質(1)r的絕對值越接近0，相關性越弱．(2)r的絕對值越接近1，相關性越強．跟蹤訓練2(1)對變量x，y有成對樣本數據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖圖1；對變量u，v有成對樣本數據(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖圖2.由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關〖答案〗C〖解析〗由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關．(2)(多選)對兩個變量的樣本相關系數r，下列說法正確的是()A．|r|越大，相關程度越大B．|r|越小，相關程度越大C．|r|趨近于0時，沒有線性相關關系D．|r|越接近1時，線性相關程度越強〖答案〗AD〖解析〗對于A，|r|越大，相關程度越大，A正確；對于B，|r|越小，相關程度越小，B錯誤；對于C，|r|趨近于0時，線性相關關系越弱，C錯誤；對于D，|r|越接近1時，線性相關程度越強，D正確．綜上，正確的是AD.三、樣本相關系數的計算及應用例3某廠的生產原料耗費x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對應關系：x2468y30405070(1)畫出(x，y)的散點圖；(2)計算x與y之間的樣本相關系數，并刻畫它們的相關程度．解(1)畫出(x，y)的散點圖如圖所示．(2)eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝47.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝120，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝9900，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1080，故樣本相關系數r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2))＝eq\f(1080－4×5×47.5,\r(120－4×529900－4×47.52))≈0.9827.由樣本相關系數r≈0.9827，可以推斷生產原料耗費與銷售額這兩個變量正線性相關，且相關程度很高．反思感悟線性相關強弱的判斷方法(1)散點圖：散點圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關性越強．(2)樣本相關系數：樣本相關系數能夠較準確的判斷相關的程度，其絕對值越大，相關性越強．跟蹤訓練3假設關于某種設備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費用y(單位：萬元)有如下統計資料：x23456y2.23.85.56.57.0計算y與x之間的樣本相關系數(精確到0.001，已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)≈140.8，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，eq\r(79)≈8.9，eq\r(2)≈1.4)．解∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(x)2＝90－5×42＝10，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(y)2＝140.8－125＝15.8，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq\f(12.3,\r(10×15.8))＝eq\f(12.3,\r(158))＝eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq\f(12.3,1.4×8.9)≈0.987.1．(多選)下列命題正確的是()A．任意兩個變量都具有相關關系B．圓的周長與該圓的直徑具有相關關系C．某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關系D．當兩個變量相關且樣本相關系數r>0時，表明兩個變量正相關〖答案〗CD〖解析〗A顯然不對，B是函數關系，CD正確．2．若變量y與x之間的樣本相關系數r＝－0.9832，則變量y與x之間()A．不具有線性相關關系B．具有線性相關關系C．它們的線性相關關系還需要進一步確定D．不確定〖答案〗B〖解析〗變量y與x之間的樣本相關系數r＝－0.9832，|r|＝0.9832接近1，樣本相關系數的絕對值越大，相關性越強，∴變量y與x之間有較強的線性相關關系，故選B.3．兩個變量x，y的樣本相關系數r1＝0.7859，兩個變量u，v的樣本相關系數r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是()A．變量x與y正相關，變量u與v負相關，變量x與y的線性相關性較強B．變量x與y負相關，變量u與v正相關，變量x與y的線性相關性較強C．變量x與y正相關，變量u與v負相關，變量u與v的線性相關性較強D．變量x與y負相關，變量u與v正相關，變量u與v的線性相關性較強〖答案〗C〖解析〗由樣本相關系數r1＝0.7859>0知x與y正相關，由樣本相關系數r2＝－0.9568<0知u，v負相關，又|r1|<|r2|，∴變量u與v的線性相關性比x與y的線性相關性強．故選C.4．據兩個變量x，y之間的成對樣本數據畫出散點圖如圖，這兩個變量是否具有線性相關關系________．(填“是”或“否”)〖答案〗否〖解析〗圖中的點分布雜亂，兩個變量不具有線性相關關系．5．部門所屬的10個工業企業生產性固定資產價值與工業增加值資料如下表(單位：百萬元)：固定資產價值33566789910工業增加值15172528303637424045根據上表資料計算的樣本相關系數約為________．〖答案〗0.9918〖解析〗eq\x\to(x)＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝6.6，eq\x\to(y)＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋3