人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE18.1.2樣本相關系數基礎達標一、選擇題1．已知某產品產量與產品單位成本之間的線性相關系數為－0.97，這說明二者之間存在著()A．高度相關 B．中度相關C．弱度相關 D．極弱相關〖解析〗由|－0.97|比較接近1知選A.〖答案〗A2．關于兩個變量x，y與其線性相關系數r，有下列說法：①若r>0，則x增大時，y也相應增大；②若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關程度越強；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關系完全對應(有函數關系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上．其中正確的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③〖解析〗根據相關系數的定義，變量之間的相關關系可利用相關系數r進行判斷：當r為正數時，表示變量x，y正相關；當r為負數時，表示兩個變量x，y負相關；|r|越接近于1，相關程度越強；|r|越接近于0，相關程度越弱．故可知①②③正確．〖答案〗D3．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量進行線性相關試驗，并分別求得相關系數r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學的試驗結果能體現出A，B兩變量有更強的線性相關性的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁〖解析〗由相關系數的意義可知，相關系數的絕對值越接近于1，相關性越強，結合題意可知，丁的線性相關性最強，故選D.〖答案〗D4．對于相關系數r，下列結論正確的個數為()①r∈〖－1，－0.75〗時，兩變量負相關很強②r∈〖0.75，1〗時，兩變量正相關很強③r∈(－0.75，－0.3〗或〖0.3，0.75)時，兩變量相關性一般④r＝0.1時，兩變量相關性很弱A．1 B．2C．3 D．4〖解析〗由相關系數的性質可知4個結論都正確．〖答案〗D5．對四對變量y和x進行線性相關檢驗，已知n是觀測值組數，r是相關系數，且已知：①n＝7，r＝0.9533；②n＝15，r＝0.3012；③n＝17，r＝0.4991；④n＝13，r＝0.9950.則變量y和x線性相關程度最高的兩組是()A．①② B．①④C．②④ D．③④〖解析〗相關系數r的絕對值越接近于1，變量x，y的線性相關程度越高．〖答案〗B二、填空題6．已知某個樣本點中的變量x，y線性相關，相關系數r>0，平移坐標系，則在以(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))為坐標原點的坐標系下的散點圖中，大多數的點都落在第__________象限．〖解析〗因為r>0，所以大多數的點都落在第一、三象限．〖答案〗一、三7．若已知eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2是eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2的4倍，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))是eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2的1.5倍，則相關系數r的值為__________．〖解析〗由r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，得r＝eq\f(3,4).〖答案〗eq\f(3,4)8．部門所屬的10個工業企業生產性固定資產價值x與工業增加值y資料如下表(單位：百萬元)：固定資產價值33566789910工業增加值15172528303637424045根據上表資料計算的相關系數為__________．〖解析〗eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝6.6.eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45,10)＝31.5.∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))≈0.9918.〖答案〗0.9918三、解答題9．5個學生的數學和物理成績如表：學生學科ABCDE數學8075706560物理7066686462試用散點圖和相關系數r判斷它們是否有線性相關關系，若有，是正相關還是負相關？解散點圖法：涉及兩個變量：數學成績與物理成績，可以以數學成績為自變量，考察因變量物理成績的變化趨勢．以x軸表示數學成績，y軸表示物理成績，可得相應的散點圖．由散點圖可見，兩者之間具有線性相關關系且是正相關．(相關系數r法)列表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi1807064004900560027566562543564950370684900462447604656442254096416056062360038443720∑350330247502182023190∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))))＝eq\f(23190－23100,\r(250×40))＝0.9＞0.∴兩變量具有相關關系且正相關．10．某火鍋店為了了解營業額y(百元)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機統計并制作了某6天當天營業額與當天氣溫的對比表．氣溫/℃261813104－1營業額/百元202434385064畫出散點圖并判斷營業額與氣溫之間是否具有線性相關關系．解畫出散點圖如圖所示．eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1286，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，由r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xiyi－6\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－6\o(y,\s\up6(－))2))，可得r≈－0.98.由于|r|的值較接近1，所以x與y具有很強的線性相關關系．能力提升11．為考察兩個變量x，y的相關性，搜集數據如下表，則兩個變量的線性相關程度()x510152025y103105110111114A.很強 B．很弱C．無相關 D．不確定〖解析〗eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xi＝75，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))y＝543，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1375，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi＝8285，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝59051，eq\o(x,\s\up6(－))＝15，eq\o(y,\s\up6(－))＝108.6，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(8285－5×15×108.6,\r(1375－5×152)×\r(59051－5×108.62))≈0.9826，故相關程度很強．〖答案〗A12．下圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應年份2012～2018.由折線圖看出，y與t有線性相關關系，請用相關系數加以說明．附注：參考數據：eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關系數r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).解由折線圖中數據和附注中參考數據得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55.eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))tiyi－eq\o(t,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關系數近似為0.99，所以y與t的線性相關程度相當高．創新猜想13．(多