人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第2課時組合數公式1．計算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)等于()A．120B．240C．60D．480〖答案〗A〖解析〗Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝eq\f(7×8,2×1)＋eq\f(6×7×8,3×2×1)＋eq\f(8×9,2×1)＝120.2．從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有()A．60種B．48種C．30種D．10種〖答案〗C〖解析〗從5名志愿者中選派2人參加星期六的公益活動，有Ceq\o\al(2,5)種方法，再從剩下的3人中選派2人參加星期日的公益活動，有Ceq\o\al(2,3)種方法，由分步乘法計數原理可得不同的選派方法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)＝30(種)，故選C.3．(多選)下列等式正確的有()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！) B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1) D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)〖答案〗ABC〖解析〗A是組合數公式；B是組合數性質；由eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(m＋1,n＋1)×eq\f(n＋1！,m＋1！n－m！)＝Ceq\o\al(m,n)得C正確；D錯誤．4．200件產品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A．Ceq\o\al(32,197)·Ceq\o\al(2,3)種 B．Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)種C．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(5,197)種 D．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,197)種〖答案〗B〖解析〗至少2件次品包含兩類：(1)2件次品，3件正品，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)種抽法，(2)3件次品，2件正品，共Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)種抽法，由分類加法計數原理得，抽法共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)種．5．空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內，其余點無三點共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數為()A．205B．110C．204D．200〖答案〗A〖解析〗方法一可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類，則得到所有的取法總數為Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,5)＝205.方法二從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構成四面體的個數為Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝205.6有______種．〖答案〗36〖解析〗把4名學生分成3組有Ceq\o\al(2,4)種方法，再把3組學生分配到3所學校有Aeq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)保送方案．7．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是________．(用數字作答)〖答案〗336〖解析〗當每個臺階上各站1人時有Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)種站法；當兩個人站在同一個臺階上時有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)種站法．因此不同的站法種數為Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)＝210＋126＝336.8．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有________種．〖答案〗600〖解析〗可以分情況討論：①甲、丙同去，則乙不去，有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)選法；②甲、丙同不去，有Aeq\o\al(4,6)＝360(種)選法，所以共有600種不同的選派方案．9．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數列，求Ceq\o\al(12,n)的值．解由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2×eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，于是Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.10．現有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)．現在要從中挑選5名青年承擔一項任務，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？解可以分三類：第一類，讓兩項工作都能勝任的青年從事英語翻譯工作，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)種選法；第二類，讓兩項工作都能勝任的青年從事德語翻譯工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)種選法；第三類，兩項工作都能勝任的青年不從事任何工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)種選法．根據分類加法計數原理，一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)＝42(種)不同的選法．11．若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，則n等于()A．12B．13C．14D．15〖答案〗C〖解析〗因為Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，即Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.12．在∠AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共(m＋n＋1)個點，現任取其中三個點為頂點作三角形，則可作出的三角形的個數為()A．Ceq\o\al(1,m＋1)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n＋1)Ceq\o\al(2,m) B．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)C．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n) D．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n＋1)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m＋1)〖答案〗C〖解析〗第一類：從OA邊上(不包括O)任取一點與從OB邊上(不包括O)任取兩點，可構造一個三角形，有Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)個；第二類：從OA邊上(不包括O)任取兩點與從OB邊上(不包括O)任取一點，可構造一個三角形，有Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)個；第三類：從OA邊上(不包括O)任取一點與從OB邊上(不包括O)任取一點，與O點可構造一個三角形，有Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n)個．由分類加法計數原理知，可作出的三角形的個數為Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n).13．若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A．60種B．63種C．65種D．66種〖答案〗D〖解析〗從1,2,3，…，9這9個數中取出4個不同的數，其和為偶數的情況包括：(1)取出的4個數都是偶數，取法有Ceq\o\al(4,4)＝1(種)；(2)取出的4個數中有2個偶數、2個奇數，取法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＝60(種)；(3)取出的4個數都是奇數，取法有Ceq\o\al(4,5)＝5(種)．根據分類加法計數原理，滿足題意的取法共有1＋60＋5＝66(種)．14．某企業有4個分廠，新培訓了一批6名技術人員，將這6名技術人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數為________．〖答案〗1560〖解析〗先把6名技術人員分成4組，每組至少一人．若4個組的人數按3,1,1,1分配，則不同的分配方案有eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(3,3))＝20(種)．若4個組的人數為2,2,1,1，則不同的分配方案有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))×eq\f(C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＝45(種)．故所有分組方法共有20＋45＝65(種)．再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有65Aeq\o\al(4,4)＝1560(種)．15．(多選)6位同學在畢業聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品．已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數可能為()A．1B．2C．3D．4〖答案〗BD〖解析〗任意兩位同學之間交換紀念品共要交換Ceq\o\al(2,6)＝15(次)，如果都完全交換，每個人都要交換5次，也就是每人得到5份紀念品．現在6位同學總共交換了13次，少交換了2次，這2次若不涉及同一人，則收到4份紀念品的同學有4人，若涉及同一個人，則收到4份紀念品的同學有2人．故選BD.16．已知件次品為止．(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數是多少？(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有的4件次品，則這樣的不同測試方法數是多少？解(1)先排前4次測試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的