人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．教學(xué)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示．知識(shí)點(diǎn)二2×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．2．定義一對(duì)分類變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表．知識(shí)點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)1．定義：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”．簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.3．獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．思考獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法的思想類似，那么獨(dú)立性檢驗(yàn)是反證法嗎？〖答案〗不是．因?yàn)榉醋C法不會(huì)出錯(cuò)，而獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率事件幾乎不發(fā)生．教學(xué)案例案例一等高堆積條形圖的應(yīng)用例1.某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系．解：作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向總計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例，從圖中可以看出考前緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān)．反思感悟等高堆積條形圖的優(yōu)劣點(diǎn)(1)優(yōu)點(diǎn)：較直觀地展示了eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的差異性．(2)劣點(diǎn)：不能給出推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率．跟蹤訓(xùn)練1.研究人員選取170名青年男女大學(xué)生，對(duì)他們進(jìn)行一種心理測驗(yàn)．發(fā)現(xiàn)60名女生對(duì)該心理測驗(yàn)中的最后一個(gè)題目的反應(yīng)是：作肯定的有18名，否定的有42名.110名男生在相同的題目上作肯定的有22名，否定的有88名．試判斷性別與態(tài)度之間是否有關(guān)系．解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)建立如下列聯(lián)表：肯定否定總計(jì)女生184260男生2288110總計(jì)40130170相應(yīng)的等高條形圖如圖所示．比較來看，女生中肯定的人數(shù)比要高于男生中肯定的人數(shù)比，因此可以在某種程度上認(rèn)為性別與態(tài)度之間有關(guān)．案例二由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)命題角度1有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”例2.為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？解：(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此在該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為eq\f(70,500)×100%＝14%(2)χ2＝eq\f(500×(40×270－30×160)2,200×300×70×430)≈9.967.因?yàn)?.967>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)．反思感悟用χ2進(jìn)行“相關(guān)的檢驗(yàn)”步驟(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系．(2)計(jì)算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2.某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：〖50,60)，〖60,70)，〖70,80)，〖80,90)，〖90,100〗分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率．(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？解：(1)由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名．所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人)，25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人)．從中隨機(jī)抽取2名工人，記至少抽到一名25周歲以下組工人的事件為A，故P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，故所求概率為eq\f(7,10).(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計(jì)3070100所以得χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝eq\f(100×(15×25－15×45)2,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79.因?yàn)?.79<2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．命題角度2有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”例3.對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作心臟病合計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別.解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2==1.78.因?yàn)?.78＜3.841,所以我們沒有理由說“心臟搭橋手術(shù)”與“又發(fā)作過心臟病”有關(guān)，可以認(rèn)為病人又發(fā)作心臟病與否與其做過何種手術(shù)無關(guān).反思感悟獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．跟蹤訓(xùn)練3.為了研究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高一在校生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對(duì)外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對(duì)外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．試分析學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語的興趣是否有關(guān)？解：問題是判斷學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語的興趣有關(guān)．列出2×2列聯(lián)表如下：理文總計(jì)有興趣13873211無興趣9852150總計(jì)236125361由公式得K2的觀測值k＝eq\f(361×（138×52－73×98）2,236×125×211×150)≈1.871×10－4.因?yàn)?.871×10－4<2.706，故可以認(rèn)為學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語的興趣無關(guān)．課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)分類變量．(2)2×2列聯(lián)表．(3)等高堆積條形圖．(4)獨(dú)立性檢驗(yàn)，χ2公式．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理不理解，導(dǎo)致不會(huì)用χ2分析問題．當(dāng)堂檢測1.下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0a2173X＝182533合計(jì)b46則表中a，b處的值分別為()A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,52〖答案〗C〖解析〗∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.2．某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：性別作業(yè)量合計(jì)大不大男生18927女生81523合計(jì)262450則推斷“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過()A．0.01 B．0.005C．0.05 D．0.001〖答案〗C〖解析〗由公式得χ2＝eq\f(50×(18×15－8×9)2,26×24×27×23)≈5.059>3.841＝x0.05.∴犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05.3．(多選)若在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，則下列說法中正確的是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙和患肺癌有關(guān)系B．1個(gè)人吸煙，那么這個(gè)人有99%的概率患有肺癌C．在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人D．在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒有〖答案〗AD〖解析〗獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果只是說明事件發(fā)生的可能性的大小，具體到一個(gè)個(gè)體，則不一定發(fā)生．4．某銷售部門為了研究具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷和能按時(shí)完成銷售任務(wù)的關(guān)系，對(duì)本部門200名銷售人員進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：能按時(shí)完成銷售任務(wù)不能按時(shí)完成銷售任務(wù)合計(jì)具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷574299不具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷3665101合計(jì)93107200根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出結(jié)論：有________以上的把握認(rèn)為“銷售人員具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷與能按時(shí)完成銷售任務(wù)是有關(guān)系的”．〖答案〗99%〖解析〗由公式χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，得χ2＝eq\f(200×(57×65－42×36)2,99×101×93×107)≈9.67.因?yàn)?.67>6.635＝x0.01，所以有99%以上的把握認(rèn)為“銷售人員具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷與能按時(shí)完成銷售任務(wù)是有關(guān)系的”．5．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對(duì)高三文科學(xué)生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù)．總成績好總成績不好總計(jì)數(shù)學(xué)成績好478a490數(shù)學(xué)成績不好39924423總計(jì)bc913(1)計(jì)算a